专题03 与一元二次方程有关的易错之五大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”
例题：（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．B．3C．D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得
且．
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式训练】
1．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
2．（2023上·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，得到，，求解即可得出m的值．
【详解】解：是关于x的一元二次方程，
，
或，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．
利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”
例题：（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】直接把代入方程中结合一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即．
2．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入关于x的一元二次方程得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把代入方程，得：
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”
例题：（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】A
【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解．
【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程，
解得，符合题意；
②当时，方程是一元二次方程，
∵于x的方程有实数根，
∴，
∴，
即，
∴，
∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且，
综上所述：m的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】根据、进行求解判断即可；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴且．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023·安徽池州·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据二次项系数不为0和根的判别式列出且，解得答案即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
即关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且
故答案为：且
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，读懂题意正确计算是解题的关键．
利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”
例题：（2023上·湖南张家界·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
（2）将转化为，再代入计算即可解答．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023下·湖南长沙·八年级校联考期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用根的判别式即可求解；
（2）运用根与系数的关系，韦达定理即可求解．
【详解】（1）解∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为．
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，或，
∵由（1）可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据与系数的关系，韦达定理求未知量，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即根的判别式，韦达定理的解参数的方法是解题的关键．
与几何图形结合时取舍不当或考虑不全
例题：（2023上·天津南开·九年级统考期末）若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．15或17D．16或18
【答案】A
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【详解】解：将变形为，
解得：， ，
∵三角形两边长分别为5和4，
∴第三边的边长，
即第三边的边长在1和9之间，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是．
故选A．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系，解题的关键在于根据三角形三边关系对一元二次方程的根进行取舍．
【变式训练】
1．（2023上·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是 ．
【答案】9
【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系定理，能组成三角形，不能组成三角形，
当第三边的长是2时，周长，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出第三边的长是解此题的关键．
一、单选题
1．（2023下·山东济宁·八年级统考期中）若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项的系数不能为0，可得，由此可解．
【详解】解：由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．（2023上·新疆和田·九年级统考期末）一元二次方程的一个根为0，则（ ）
A．2B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．
【详解】解：一元二次方程的一个根为0，
且，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
3．（2023上·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数满足（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义可知，再根据一元二次方程有实数根可知进而即可解答．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∴，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴，
∴,
∴实数的取值范围是且，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题
4．（2022上·河南开封·九年级统考期末）已知：是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义即得出且，解出m即可．
【详解】根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0是解题关键．
5．（2022下·山东东营·八年级统考期末）如果关于x的一元二次方程（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是 ．
【答案】3
【分析】把x＝0代入（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0计算即可得到m的值，注意二次项系数不为0．
【详解】解：由题意，把x＝0代入（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0，得m2﹣9＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣3．
又∵m+3≠0，即m≠﹣3，
则m＝3符合题意．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．已知方程的一个根，解题时往往都是将其代入方程进行计算其它字母的值或是去求方程的另一根等．
6．（2023上·四川自贡·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
三、解答题
7．（2023上·四川自贡·九年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：当时，方程总有两个不相等实数根；
(2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)，，(答案不唯一)
【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可知，，
即：．
以下答案不唯一，如：
当，时，方程为．
解得．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型．
8．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）已知：关于x的方程；
(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)5
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出的值，进而求出周长即可．
【详解】（1）证明：关于的方程，
，
则无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当时，则，解得，
∴方程为，
解得：，
此时三边长为1，2，2，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，，
此时三边长为1，1，2，不能组成三角形，
综上所述，的周长为5．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
9．（2022上·上海·八年级上海市进才实验中学校考阶段练习）已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足
(1)求证：是等边三角形．
(2)若a，b为方程的两根，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出，即，代入可得，代入得；
（2）根据题意知方程有两个相等的实数根，据此得，即，解之可得或，代回方程求得的值，判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：方程有两个相等的实数根，
△，即，
，
，即，
将代入得：，
，
是等边三角形；
（2）、为方程两根，且，
△，即，
解得：或，
当时，方程为，解得：（舍）；
当时，方程为，解得：，（符合题意）；
故．
【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于、、及的等式是解题的关键．
10．（2023·广东江门·统考二模）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根；
（2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】（1）证明：
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若为底边，则为腰长，，，
∴，
解得：，
此时原方程化为，
∴，即，
此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则中一边为腰，
把代入方程，，
∴，
则原方程化为，
，
∴，，
此时三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：三边为6，6，2，
∴周长为．
【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．