专题01 一元二次方程定义、解法、根与系数的关系之八大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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一元二次方程的定义
例题：（2023上·广西柳州·九年级校考期末）下列式子是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是等式，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．2B．C．2或D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义及常数项为0得出，进行计算即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为0，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，经过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解题的关键．
2．（2023下·江苏·八年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
一元二次方程的一般形式
例题：（2023下·浙江·八年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为求解即可．
【详解】解：由得：，则，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，由此即可完成解答．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的各项系数，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是1，常数项是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】首先移项把3移到等号左边，然后再确定常数项．
【详解】解：，
移项，得，
即一元二次方程化成一般式后，一次项系数是1，常数项是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
一元二次方程的解
例题：（2023上·云南红河·九年级统考期末）若是方程的一个根，则m的值是（ ）
A．16B．C．D．10
【答案】A
【分析】将代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．解题的关键是掌握方程的解是使方程成立的未知数的值．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2021C．D．2025
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）关于的一元二次方程有一根为，则 ．
【答案】
【分析】将代入中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有一根为，
，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．
3．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如果是关于x的方程的一个根，则 ．
【答案】0或1/1或0
【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得：或，
故答案为：0或1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程．
一元二次方程的解法
例题：（2023下·福建福州·八年级校考期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)方程没有实数根
(2)
【分析】对于（1），根据配方法解该方程；
对于（2），先提出公因式得到因式乘积的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解：移项，两边都加上4，得，
配方，得，
∴方程没有实数根；
（2）提公因式，得，
即，
∴或，
∴．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择不同的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·九年级统考期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴，
∴，；
（2）解：原方程变形得，
，
因式分解得，
，
∴，；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
2．（2023下·陕西西安·八年级校考期末）解一元二次方程：
(1)（配方法）； (2)（公式法）．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）以移项，再配方，开方，最后求解即可；
（2）先确定a、b、c的值，再求出根的判别式，最后将a、b、c的值代入求根公式即可求解．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，即，
开方，得：或，
解得：，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了用配方法和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握完全平方公式，以及求根公式．
根据判别式判断一元二次方程的根的情况
例题：（2023下·山东烟台·八年级统考期末）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】先计算出一元二次方程根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【变式训练】
1．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可.
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
【点睛】本题主要考查根的判别式，要熟练掌握各种情况，准确判断根的个数.
2．（2023上·河南周口·九年级统考期末）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判定
【答案】B
【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据一元二次方程根的情况求参数
例题：（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k值．
【详解】解：方程，
这里，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：方程整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
2．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】由题意得根的判别式大于等于0，即可得到关于m的不等式，同时结合二次项不为0，即可得到结果．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
一元二次方程的根与系数的关系
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系、一元二次方程解的概念，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
【变式训练】
1．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）已知m，n是方程的两根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】先根据根与系数的关系得到，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
所以
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
2．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值为
【答案】6
【分析】根据题意整理代数式，由于，是一元二次方程的根，则，．
【详解】解：整理得：，
，是一元二次方程的两根，
，，
代入原式得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系解题的关键．
判别式和根与系数的关系综合问题
例题：（2023上·湖南张家界·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
（2）将转化为，再代入计算即可解答．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023下·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为，，且满足，求的值．
【答案】(1)且；
(2)．
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，用表示出和的值，由条件可得到关于的方程，则可求得的值．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即且，
解得且；
（2）解：由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，即，
解得或，
由（1）可知且，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为和，，求的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，，
即，，
解得且；
（2）解：根据题意，得，，
∵，
∴，
解得，
经检验得，是分式方程的解，且符合题意；
是分式方程的解，但不符合题意．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方程化为一般形式后，找出常数项即可．
【详解】解：方程整理得：，
则常数项为．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为：为常数且．
2．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）如果是方程的根，那么的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将代入方程并求解即可获得答案．
【详解】解：将代入方程，
可得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程，解题关键是理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（2019上·山东菏泽·九年级阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得的值可求．
【详解】解：是关于的一元二次方程，，即
由一个根是，代入，可得，解之得；
由得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
4．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．B．3C．D．不存在
【答案】C
【分析】利用一元二次方程定义可得，且，再解出m的值即可．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
5．（2023下·北京平谷·八年级统考期末）已知关于的方程有两个不等实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的方程有两个不等实数根，
，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·八年级校考期末）一元二次方程一次项系数为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找项的系数时带着前面的符号．
7．（2023上·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，得到，，求解即可得出m的值．
【详解】解：是关于x的一元二次方程，
，
或，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．
8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点，能求出和是解此题的关键．
9．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）若a是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵a是关于x一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
10．（2023上·湖南永州·九年级统考期末）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长＝ ．
【答案】11
【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：，
或，
当时，
，
能组成三角形，
三角形的周长为，
当时，
，
不能组成三角形，
故答案为：11．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
三、解答题
11．（2023下·山东威海·八年级统考期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
提公因式，得，，
∴；
（2）解：，
，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键．
12．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）解下列方程：
(1)；(公式法)
(2)；(配方法)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：，
∵，，
∴，
解得：；
（4）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）把代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴m的取值范围是且．
（2）解：把代入方程得：，
解得：．
∴原方程为，
设方程的另一个根为a，
∵方程有一个根是，
∴，
解得：，
即方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．（2023上·广东广州·九年级校考期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值．
【答案】(1)的取值范围为：且
(2)或
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
整理得：，
解得：，
，
的取值范围为：且；
（2）解：该方程的两个实数根分别为，
，，
，
，
即，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15．（2023上·江西宜春·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为，且，求a的值．
【答案】(1)；
(2)a的值为1．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可；
（2）用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，即，
整理得：，
解得：；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，即，
整理得：，即，
解得：(舍去)或，
则a的值为1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键．