专题03 与绝对值有关的问题之五大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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借着数轴化简绝对值
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．

2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空： 0， 0， 0；
(2)化简．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
绝对值非负性的应用
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如果，那么a，b的值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中），则的值是（ ）
A．B．C．D．1
2.（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若，则（ ）
A．B．C．5D．3
分类讨论化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若， ；若， ；
（2）若，则＝ ；
（3）若，则 ．
利用几何意义化简绝对值
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

解绝对值方程
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或．
若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：．
一、单选题
1．（2022上·河北唐山·七年级统考期末）已知，则的值为（）
A．2019B．C．D．1
2．（2023上·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（ ）
A．B．C．4D．-2
3．（2022下·四川遂宁·七年级统考期末）方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：（ ）
A．B． C．D．
二、填空题
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若，则的值是 ．
6．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）有理数在数轴上的位置如图，化简： ．

7．（2021上·广西南宁·七年级统考期中）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ．
三、解答题
8．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
9．（2022上·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
10．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
11．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
12．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离 ；
③当，时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则 ．
②若，则 ．
③若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ．