专题11 反比例函数的图象和性质之八大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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根据定义判断是否是反比例函数
例题：（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】按反比例函数的定义比较即可．
【详解】A. 与比较，即可知是反比例函数，故不符合题意；
B. 是反比例函数，故不符合题意；
C. 是反比例函数，故不符合题意；
D. 不是反比例函数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，准确理解定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；
B、该函数属于正比例函数，故本选项不合题意；
C、该函数属于一次函数，故本选项不合题意；
D、该函数属于一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做反比例函数．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意；
B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意；
C、叫做是的反比例函数，则此项符合题意；
D、是正比例函数，则此项不符题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟记定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做是的反比例函数．
判断点是否在反比例函数上
例题：（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）下列各点在反比例函数图象上是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．
【详解】解：A、将代入中得：，故本选项符合题意；
B、代入中得：，故本选项不符合题意；
C、代入中得：，故本选项不符合题意；
D、代入中得：，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）双曲线要经过点，则m的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】直接把点代入函数解析式即可求得的值．
【详解】解：将代入双曲线得，
，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）函数的图像经过点，则下列点中不在此函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于8的点即可．
【详解】解：函数的图象经过点，
．
A、，在反比例函数图象上，不符合题意；
B、，在反比例函数图象上，不符合题意；
C、，不在反比例函数图象上，符合题意；
D、，在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等．
比较反比例函数值或自变量的大小
例题：（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数判断函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为，其中，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∵在反比例函数上，
∴在第二象限，
又∵，
∴，
又∵在第四象限，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当，在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大．
【变式训练】
1．（2023下·浙江金华·八年级统考期末）已知点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：反比例函数的中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
点，，，，，都在反比例函数的图象上，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．（2023下·四川内江·八年级统考期末）在反比例函数的图象上有三个点，则的大小关系为 ．（用“<”连接）
【答案】
【分析】先由得到函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，然后即可得到，，的大小关系．
【详解】解：，
反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断的正负．
反比例函数的图象和性质
例题：（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第一、三象限；②当时，随的增大而减少；③图象经过点，；④若点，，，都在图象上，且，则，其中正确的是( )
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象性质逐项分析，可得答案．
【详解】解：对于反比例函数，
∵
∴图象分布在第一、三象限，故①正确，
②当时，随的增大而减少，故②正确，
③当时，，故③正确，
④不确定与的大小关系，
∴不能确定点、所在的象限，故不能判断的大小关系，④不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象性质．
【变式训练】
1．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为B．点在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：双曲线经过点，可得，即，A选项正确，不符合题意；
将代入得，，B选项正确，不符合题意；
∵
∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意；
当当时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是( )
A．当时，随增大而增大B．该函数图象经过点
C．该函数图象位于第一、三象限D．当时，
【答案】A
【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：∵
∴
A．当时，随增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；
B．当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
D．当时，，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
已知比例系数求特殊图形的面积
例题：（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ．

【答案】
【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点．则的面积为 ．

【答案】5
【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解．
【详解】解：过点作轴于点，

∵轴，，
∴，
∴四边形为矩形，
设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形，
∵点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积，
∵为矩形的对角线，
∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于；
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用值的几何意义，求图形的面积．熟练掌握反比例函数值的几何意义，是解题的关键．
2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，反比例函数的图象x经过边上的点D和边上的点E，若D好是的中点，其坐标为，连接，则四边形的面积为 ．

【答案】6
【分析】根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段的中点即可找出点的坐标，根据k值几何意义得出求解即可；
【详解】∵D坐标为，点在反比例函数的图象上
∴
∵D好是的中点
∴点的坐标为
∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数 的图象上，
∴
∴，
故答案为：6．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数k值是解题的关键．
已知反比例函数经过的象限或增减性求参数
例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数，当为何值时：
(1)函数的图象在第二、四象限？
(2)在每个象限内，随的增大而减小？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，解得；
（2）∵在每个象限内，随的增大而减小，
∴，解得．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知反比例函数的图像在二、四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质列式计算即可得解．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内．
2．（2023下·江苏南京·八年级校考期末）若反比例函数的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数 （），（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．
一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2023下·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，函数与在同一坐标系中，图象只能是下列图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别利用k的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，
四个选项中只有B符合，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图象的性质．
【变式训练】
1．（2023下·湖南株洲·八年级校考期末）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐项分析即可．
【详解】解：A.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，相矛盾，故A选项错误，不符合题意；
B.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、三、四象限相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
C.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
D.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、二、四象限相符合，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟知一次函数与反比例函数的图象的特点是解答此题的关键，利用数形结合的思想解答．
2．（2023下·黑龙江大庆·九年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据a、b与0的大小关系对图象即可作出判断．
【详解】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，
反比例函数经过二、四象限，则，正确，符合题意；
B、一次函数的图象经过二、三、四象限，则，，
反比例函数经过二、四象限，则，矛盾，不符合题意；
C、一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，
反比例函数经过一、三象限，则，矛盾，不符合题意；，；
D、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，
反比例函数经过一、三象限，则，矛盾，不符合题意；，；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的判断，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．
一次函数与反比例函数交点问题
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴将代入，得，
∴.
将，代入，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由可知，
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．

(1)求k，b的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接OA，OB，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）将代入得，将代入即可求解；
（2）根据图象中一次函数与反比例函数的交点即可求解；
（3）由即可求解；
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
（2）将，分别代入得，
∴，
∴，
由图象可知当时，x的取值范围为或，
（3）令，则，解得：；
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键．
2．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）点和点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的系数，得出，解得即可．
【详解】解：点和点在反比例函数的图象上，
，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限；不可能与坐标轴相交；时，，时，；时，．逐一判断．
【详解】∵该反比例函数解析式为，
∴，
∴图象位于第二、四象限，故A错误，不符合题意；
当时，，当时，，故B错误，不符合题意；
图象不可能与坐标轴相交，故C正确，符合题意；
当时，，
∴图象必经过点，而不过点，故D错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象不与坐标轴相交，函数值在同一象限内的增减性，函数值在不同象限内的正负性，点与图象的位置关系，是解题关键．
3．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）已知，两点均在函数的图象上，则m与n的数量关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】根据反比例函数的增减性即可得．
【详解】解：，两点均在函数的图象上，
因为，双曲线经过第二、四象限
故点在第二象限，在第四象限，
所以
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分和两种情况，分别判断出一次函数图象和反比例函数图象所过的象限，结合选项可得答案．
【详解】解：分类讨论：
①当时，的图象过第一、二、四象限，
的图象过第二、四象限，
②当时，的图象过第一、三、四象限，
的图象过经过第一、三象限．
综上，符合题意的选项为D．
故选：D．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图象，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与系数的关系是解决此题的关键．
5．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故选A．

【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，，解不等式即可得结果．
【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，
则，
解得：．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一、三象限；时，函数位于二、四象限．
7．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ．
【答案】
【分析】由点为反比例函数的图象与一次函数的图象的交点，可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出、是解题的关键．
8．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，，
∴，
∴，；
作出一次函数和反比例函数的图象如图所示：

由图可知：的解集为：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象．
9．（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知的顶点分别在反比例函数和的图像上，且轴．若的面积为3，则 ．

【答案】
【分析】根据题意，设，则，再由轴．若的面积为3，利用平面直角坐标系中三角形面积的求法列方程求解即可得到答案．
【详解】解：的顶点分别在反比例函数和的图像上，
设，则，
轴．若的面积为3，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形综合，涉及反比例函数图像与性质、平面直角坐标系中三角形面积的求法及解方程等知识，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的求法是解决问题的关键．
10．（2023上·广东广州·九年级统考期末）点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①此反比例函数图象经过点；
②此反比例函数的解析式为 ；
③若点在此反比例函数图象上，则点）也在此反比例函数图象上；
④点，在此反比例函数的图象上．
【答案】②③/③②
【分析】根据，可得反比例函数的解析式为，再结合函数图象特点，逐个分析即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∵反比例函数在第一象限内，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
故②正确；
，故结论①错误；
若点在此反比例函数图象上，则，
∴，
∴点）也在此反比例函数图象上故结论③正确；
∵点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，轴，垂足为点B，
∴点B在x上，故结论④错误；
综上所述，正确结论为②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了函数图象系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象的特点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
三、解答题
11．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）设该函数的解析式为，再把当时，代入可得的值，进而可得函数的解析式；
（2）把代入（）中的函数解析式可得答案．
【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系，
∴设该函数的解析式为，
∵当时，
∴，，
∴与之间的函数表达式为：；
（2）解：当时，．
【点睛】考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（）设出含有待定系数的反比例函数解析式（为常数，）；（）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（）解方程，求出待定系数；（）写出解析式．
12．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求b与m的值；
(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．
【答案】(1)的值为2，的值为6
(2)=2或
【分析】（1）把代入可得的值，进而可求出一次函数解析式，得到点A 的坐标，再将点A的坐标代入反比例解析式即可求得的值；
（2）确定与点的坐标之间的等量关系即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
解得，
∴．
把A代入得：
解得，
∴．
把代入得=6．
故的值为2，的值为6．
（2）解：由（1）可知，．
∵为轴上一动点，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．
13．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，已知，是一次函数和反比例函数图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）设反比例函数解析式为：，把代入反比例函数，得出的值，再把代入求出n，设一次函数的解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）设直线与轴交于点，把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
在上，
，即，
．
设一次函数的解析式，
经过，，
．
解之得．
一次函数的解析式为．
（2）解：设是直线与轴的交点，
当时，，
解得，
点．
．
∵，
．
（3）解：由图象可知当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
14．（2023下·福建泉州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)若点，点B的横坐标为4．
①求反比例函数的解析式；
②已知点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①将点代入即可求解；②作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，求出直线的解析式即可求解；
（2）求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求证．
【详解】（1）解：①将点代入得：
∴反比例函数的解析式为：
②作关于轴的对称点，连接交轴于点，

∵点B的横坐标为4，
∴，
∵点，
∴关于轴的对称点，
设直线的解析式为：，
则：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令则，
∴；
（2）证明：将，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令则，
故，
令则，
故，
,，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题．掌握待定系数法求函数解析式、线段最值问题的求解、两点间的距离公式是解题关键．
15．（2023下·山西长治·八年级统考期末）探究函数图象与性质
勇毅班同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是勤奋小组同学记录的探究过程，请你补充完整．
(1)函数的自变量的取值范围是__________．
(2)列出与的对应值，请直接写出的值：__________，__________；
(3)在平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值，并画出图象；

(4)请写出函数的一条性质．
【答案】(1)
(2)，
(3)见解析
(4)①图象无限接近直线，但与直线永不相交；②；③图象关于点中心对称；④当或随的增大而减小.（写出一条即可）
【分析】（1） 根据分母非零即可得出，解之即可得出自变量的取值范围；
（2） 将，分别代入求得a，b值即可；
（3） 描点、 连线画出函数图象；
（4） 观察函数图象， 写出函数的一条性质即可 ．
【详解】（1），
．
故答案为：．
（2）将代入得：，
解得：，
将代入得：，
故答案为：； ．
（3）描点、 连线画出图象如图所示 ．

（4）①图象无限接近直线，但与直线永不相交；
②；
③图象关于点中心对称；
④当或随的增大而减小.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及函数图象， 根据给定数据描点、 连线画出函数图象是解题的关键 ．
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