专题1.1 一元二次方程的定义及解（3个考点七大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 一元二次方程的判断】
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
【题型3 一元二次方程的一般形式】
【题型4 由一元二次方程的解求字母的值】
【题型5 由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】
【题型7 已知一元二次方程的跟求另一方程的根】
满分必练
【题型1 判断一元二次方程】
1．（2023春•南岗区校级期中）下列方程，是一元二次方程（其中x，y是未知数）的个数是（ ）
①x2+1＝0，②2x2﹣3xy＝﹣1，③，④ax2﹣x+2＝0
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①x2+1＝0符合一元二次方程的定义，符合题意；
②2x2﹣3xy＝﹣1属于二元二次方程，不符合题意；
③是分式方程，不符合题意；
④当a＝0时，方程ax2﹣x+2＝0不是关于x的一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
2．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
C．（x+1）（x﹣2）＝x2
D．3x2+1＝0
【答案】D
【解答】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、（x+1）（x﹣2）＝x2整理得：﹣x﹣2＝0，是一元一次方程，不符合题意；
D、3x2+1＝0是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
3．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
C．（x﹣1）（x+2）＝1
D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【答案】C
【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，
A选项不是整式方程，故A不符合题意；
B选项，当a＝0时，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C选项符合题意；
D选项是二元二次方程，故D不符合题意，
故选：C．
4．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c＝0
C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4D．x2﹣3x+2＝0
【答案】D
【解答】解：A． ，是分式方程，不符合题意；
B．ax2+bx+c＝0，若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C． （x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，为一元一次方程，故不符合题意；
D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
5．（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【答案】C
【解答】解：根据题意得m+1＝2，
∴m＝1，
故选：C．
6．（2023春•定远县校级月考）已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．±2B．2
C．﹣2D．以上选项都不对
【答案】C
【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：C．
7．（2023春•攸县月考）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝±1D．m＝2
【答案】A
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
8．（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A．m≠0B．m≠﹣2C．m≠2D．m＝2
【答案】C
【解答】解：由原方程得：（m﹣2）x2﹣4x+1＝0，
∵该方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2，
故选：C．
9．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 且 a≠2B．a≥0 且 a≠2C．a≥2D．a≠2
【答案】D
【解答】解：由题意得：
a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
10．（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4
【答案】D
【解答】解：由题意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2
解得a≠3，b＝4．
故选：D．
【题型3 一元二次方程的一般形式】
11．（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（ ）
A．3x2﹣5x﹣1＝0B．3x2+5x﹣1＝0C．3x2﹣5x+1＝0D．3x2+5x+1＝0
【答案】C
【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．
故选：C．
12．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【答案】D
【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，
移项得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．
故选：D．
13．（2022秋•双峰县期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣3x2，1，6B．3x2，1，6C．3，1，6D．3，﹣1，﹣6
【答案】D
【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，为3x2﹣x﹣6＝0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、﹣1、﹣6，
故选：D．
14．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，0B．0，1，0C．0，﹣1，0D．1，﹣1，0
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次项系数是1，一次项系数为﹣1，常数项为0．
故选：D．
15．（2022秋•甘井子区期末）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25
【答案】C
【解答】解：4x（x+2）＝25可化为4x2+8x﹣25＝0，
∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．
故选：C．
16．（2022秋•达川区期末）一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，1B．3，1，5C．3，﹣5，1D．3，1，﹣5
【答案】C
【解答】解：∵3x2+1＝5x，
∴3x2﹣5x+1＝0，
∴一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，1，
故选：C．
【题型4 由一元二次方程的解求字母的值】
17．（2023春•庐阳区校级期中）若关于x的方程x2+3x+c＝0有一个根为﹣1，则c的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，
解得：c＝2．
故选：B．
18．（2023•金水区校级三模）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个实数根，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】A
【解答】解：将x＝1代入该方程，得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故选：A．
19．（2023春•鄞州区校级期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．4B．5C．﹣4D．﹣5
【答案】D
【解答】解：将x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，
解得：k＝﹣5，
∴k的值为﹣5．
故选：D．
20．（2023春•龙湾区期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，
∴1+a+2＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
21．（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，
∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【题型5 由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】
22．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】C
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：
m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+m
＝2023﹣（m2﹣m）
＝2023﹣2
＝2021，
故选：C．
23．（2023•官渡区校级模拟）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．﹣4或﹣10
【答案】A
【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一个根，
∴a2+3a+2＝0，
∴a2+3a＝﹣2，
故选：A．
24．（2023春•瑶海区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，则2018﹣a﹣b的值是（ ）
A．2022B．2012C．2019D．2023
【答案】D
【解答】解：∵x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，
∴a+b+5＝0，
∴a+b＝﹣5，
∴2018﹣a﹣b＝2018﹣（a+b）＝2018+5＝2023．
故选：D．
25．（2022秋•信都区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的一个根，则a﹣2b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．2
【答案】B
【解答】解：将x＝1代入x2+ax﹣2b＝0，
得1+a﹣2b＝0，
整理得a﹣2b＝﹣1．
故选：B．
26．（2023•衡南县一模）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，
∴4+2m+2n＝0，
∴2m+2n＝﹣4，
∴m+n＝﹣2．
故选：B．
27．（2022秋•德惠市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．不能确定
【答案】A
【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，
故选：A．
28．（2023•芜湖模拟）设a是方程x2+x﹣2023＝0的一个根，则a2+a+1的值为 2024 ．
【答案】2024．
【解答】解：把x＝a代入x2+x﹣2023＝0中得：a2+a﹣2023＝0．
∴a2+a＝2023，
把a2+a＝2023代入a2+a+1＝2023+1＝2024，
故答案为：2024．
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】
29．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣6D．﹣4
【答案】C
【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，
∴t2﹣1011t+3＝0，
∴t2﹣1011t＝﹣3，
∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：C．
30．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣6D．﹣4
【答案】C
【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，
∴t2﹣1011t+3＝0，
∴t2﹣1011t＝﹣3，
∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：C．
31．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】D
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2018
＝3（2m2﹣3m）+2018
＝3×1+2018
＝3+2018
＝2021，
故选：D．
32．（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2 的值是（ ）
A．4046B．﹣4046C．﹣2023D．0
【答案】C
【解答】解：∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故选：C．
33．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2017的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，
∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，
∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，
故选：B．
34．（2023春•沭阳县月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为 2023 ．
【答案】2023．
【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023．
故答案为：2023．
【题型7 已知一元二次方程的跟求另一方程的根】
35．（2022秋•福州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．D．
【答案】A
【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，
∴当x＝﹣2时，代入方程ax2+bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；
综上可知，方程必有一根为﹣2．
故选：A．
36．（2023春•瑞安市期中）已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝﹣1B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝6，x2＝﹣1D．x1＝6；x2＝1
【答案】D
【解答】解：设t＝x﹣4，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0变为t2+bt+c＝0，
∵方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，
∴t＝2或﹣3，
∴x﹣4＝2或﹣3，
∴x＝6或1，
∴方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是x1＝6，x2＝1．
故选：D．
37．（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．1，﹣2C．1，﹣1D．无法确定
【答案】B
【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
所以方程的根分别为1或﹣2．
故选：B．
38．（2022秋•仙居县期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是（ ）
A．m+1，﹣m﹣1B．m+1，﹣m+1C．m+1，m+2D．m﹣1，﹣m+1
【答案】A
【解答】解：设关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的另一个根为t，
根据根与系数的关系得t+m＝﹣＝﹣2，
解得t＝﹣m﹣2，
即关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的根为m，﹣m﹣2，
把方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，
所以x﹣1＝m或x﹣1＝﹣m﹣2，
解得x1＝m+1，x2＝﹣m﹣1．
故选：A．
39．（2023春•花山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】D
【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化为：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0
关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，
∴把x﹣1看作是整体未知数，则x﹣1＝2023，
∴x＝2024，
即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根为x＝2024．
故选：D．
40．（2023春•北仑区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2023，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．B．C．2023D．﹣2023
【答案】A
【解答】解：把x＝2023代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20232a+2023b+c＝0，
两边除以20232，得a+b+•c＝0，
∴c+b+a＝0，
∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．
故选：A．
41．（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（ ）
A．x＝mB．x＝﹣mC．D．x＝1﹣m
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，
∴am2+bm+1＝0，
在等式的两边同时除以m2得：a+b•+（）2＝0，
∴方程x2+bx+a＝0有一个根是x＝．
故选：C．
42．（2023春•瓯海区期中）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3．则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0的两根分别为 x1＝0，x2＝5 ．
【答案】x1＝0，x2＝5．
【解答】解：把方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0看作关于（x﹣2）的一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴x﹣2＝﹣2或x﹣2＝3，
解得x＝0或x＝5，
∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0的两根分别为x1＝0，x2＝5．
故答案为：x1＝0，x2＝5．
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43．（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为 ．
【答案】x＝6．
【解答】解：∵a（x﹣1）2+bx﹣3＝b，
∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0．
令x﹣1＝t，则at2+bt﹣3＝0，
∵方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，
∴方程at2+bt﹣3＝0有一根为t＝5，
∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0有一根为x﹣1＝5，
∴x﹣1＝5，
∴x＝6．
故答案为：x＝6．
44．（2023春•花山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程+bx+2b＝1必有一根为 2020 ．
【答案】2020．
【解答】2解：一元二次方程+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，
所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根x＝2022，
所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是2022，
x+2＝2022，
解x＝2020，
所以一元二次方+bx+2b＝1必有一根为2020，
故答案为：2020