河北省张家口市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份河北省张家口市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共24页。试卷主要包含了选择题，三象限D. 第一，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共15小题）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 长度相等的弧是等弧B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 弧是半圆D. 三点确定一个圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据轴对称图形和中心对称图形的定义对B进行判断；根据弧的定义对C进行判断；根据确定圆的条件对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以A选项错误；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B选项正确；
C、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以C选项错误；
D、不共线的三点确定一个圆，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合；掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目的已知设AB为12k，AC为13k，然后利用勾股定理求出BC即可解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，csA=，
∴设AB=12k，AC=13k，
∴BC==5k，
∴sinA=，
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，根据题目的已知设AB为12k，AC为13k，然后利用勾股定理求出BC是解题的关键．
3. 若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A. B. 3C. 3或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键．
4. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2.5，则k的值为（ ）
A. 2.5B. －2.5C. 5D. －5
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数y= (x<0)系数k的几何意义得到，然后得到k的值．
【详解】∵过点A作AB⊥y轴，垂足为B，△OAB的面积为2.5
∴=2.5
又∵点A在第二象限
∴==2.5
k=-5
故答案选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数y= (x<0)系数k的几何意义，解题的关键在用A的坐标表示出三角形的面积．
5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴的交点坐标为B. 图象的对称轴为
C. 当时，y随x的增大而减小D. y有最大值3
【答案】C
【解析】
【分析】求出当时，即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B、C、D．
【详解】解：当时，，则二次函数与y轴的交点坐标为，故A不符合题意；
∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，故B不符合题意；
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，y有最大值4，故C符合题意，D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键．
6. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限
C. 第二、三象限D. 第一、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根判别式可得a的范围，然后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及反比例函数的图象与性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及反比例函数的图象与性质是解题的关键．
8. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A. 2＋B. 2C. 3＋D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，
所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=，
故选A.
9. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【详解】连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵，
∴∠CAB=∠DAB=35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10. 如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为
故选：C
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
11. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，
∴，
∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD=，
∴AD=OAcs30°，
∴OA=，
∴S圆=．
故答案为A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
12. 已知二次函数（）在时有最小值，则m等于（ ）
A. 5B. 或C. 5或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可．
【详解】解：当时，
二次函数的开口向上，
此时该函数对称轴为直线，
即当时，函数有最小值，
∵二次函数（）在时有最小值，
∴，
解得，；
当时，
二次函数的开口向下，
此时该函数对称轴为直线，
即当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
∵二次函数的自变量x的取值范围为，
∴当时，函数有最小值，
∵二次函数（）在时有最小值，
∴，
解得，；
综上，或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．
13. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口方向判断的符号，由抛物线的与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴的交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
【详解】抛物线开口向下，
，
对称轴为，
，
抛物线与轴的交点为，
，
，故错误；
当时，，
当时，，
，
，
即，故正确；
函数图象与轴有两个不同的交点，
，
，故正确；
对称轴为，
即，
，
二次函数可改写为，
当时，，
，
，故正确；
当时，，
当时，，
当时，，
，
即，
同理时，，，
，故正确；
故正确的有，共个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数系数符号的确定：由抛物线开口方向确定，开口方向向上，则；否则；由对称轴和的符号确定，由对称轴公式判断符号；由抛物线与轴的交点确定，交点在轴正半轴，则；否则；由抛物线与轴交点的个数确定，个交点，；个交点，；没有交点，．
14. 如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
二、填空题（共6小题）
15. 已知斜坡坡比，则坡角＝________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．
【详解】解：∵斜坡的坡角为α，则有，
∵，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=___．
【答案】9
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．
17. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．
【答案】（，2）或（﹣，2）
【解析】
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（）或（-）
【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
18. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴，
的长，
∴阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
三、解答题（共6小题）
19. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各项，再算乘法，最后从左往右依次进行计算即可得；
（2）先化简各项，再算除法、乘法，最后从左往右依次进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简各项，掌握运算顺序．
20. 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线；
（2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径．
【小问1详解】
证明：如图，连接、，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的半径为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）进一步探究函数图象，直接写出：
①方程的实数根有______个；
②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是______．
【答案】（1）0 （2）见解析
（3）①2，②
【解析】
【分析】（1）直接代入解析式中，即可求解；
（2）描点即可画出函数图象；
（3）①设，从图象看与有两个交点，即可求解；
②当与有4个交点时，a在x轴的下方，即可求解．
【小问1详解】
当时，，
故答案为：0；
【小问2详解】
描点画出如下函数图象；
【小问3详解】
①设，如图，从图象看与有2个交点；

②与有4个交点时，a在x轴的下方，如图，

故；
故答案为：2，．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价45元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，当销售单价为50元时，每天的销售量为90桶；当销售单价为60元时，每天的销售量为70桶．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价－进价）
【答案】（1）y=-2x＋190
（2）销售单价定为70元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1250元．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间函数表达式为y=kx+b，将点（50，90）、（60，70）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
设y与销售单价x之间的函数关系式为：，
据题意可得：，解得：
∴函数关系式为y=-2x＋190；
【小问2详解】
设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
W=（x-45）（-2x＋190）=-2（x-70）2＋1250，
∵–2<0，函数有最大值，
∴当x=70时，W有最大值，此时最大值是1250，
故销售单价定为70元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1250元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
23. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【答案】（1）C (0,3)；（2）t的值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【解析】
【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【详解】（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
3
m
0
0
3
…