河北省邢台市平乡县实验中学、平乡县第五中学2022-2023学年九年级上学期期末联考数学试题答案

这是一份河北省邢台市平乡县实验中学、平乡县第五中学2022-2023学年九年级上学期期末联考数学试题答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共42分）
一、选择题（本大题共16个小题，共42分．1-10小题各3分；11-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义解答．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键．
2. 下列慈善公益图标中，是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不合题意；
C、D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，绕一个点旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形即为中心对称图形，理解该基本定义是解题关键．
3. 如图，△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则ΔA′B′C′面积为（ ）
A. B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，
，
△ABC的面积为9，
ΔA′B′C′面积为，
故选C．
【点睛】本题考查了位似的性质，掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4. 如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看上面第一层是一个小正方形，正面一层是三个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解：设y=（k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y=，
则y与x的函数图象大致是C，
故选C．
6. 小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．
【详解】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，
根据题意即可列方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．
7. 已知函数y=mx2+nx﹣3，且2m﹣n=1，若不论m取何正数时，函数值y都随自变量x的增大而减小，则满足条件的x的取值范围是（ ）
A. ﹣4≤x≤﹣2B. -2≤x≤-C. 1＜x≤3D. 3≤x≤5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以求得抛物线的对称轴，由m＞0可知，抛物线开口向上，从而可以解答本题．
【详解】解：y=mx2+nx-3，
该函数图象的对称轴为直线x=-，
∵2m-n=1，
∴n=2m-1，
∴x=−＝−=-1+＞-1，
不论m取何正数时，函数值y都随自变量x的增大而减小，
∴x不大于-1均符合要求，故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
8. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时，
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得出，由三角形外角的性质求出，由旋转的性质得出，进而得出，由三角形内角和定理求出，继而得出答案．
【详解】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
旋转的角度为，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
10. 如图，中，，O是AB边上一点，与AC、BC都相切，若，，则的半径为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OD=OE=r，易得四边形ODCE为正方形，则CD=OD=r，再证明△ADO∽△ACB，然后利用相似比得到，再根据比例的性质求出r即可．
【详解】解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O与AC、BC都相切，
∴OD=OE=r，
而∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=OD=r，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴
∵AF=AC-r，BC=3，AC=4，
代入可得，
∴r=．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过A，B，O，C四点，，，则圆心点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2，OA=，所以然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABO=180°-120°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO=60°，
∴OB=AB=2， ∴OA=，
∴
∴D点坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质，勾股定理的应用．
12. 如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. 4π﹣3C. 4π﹣4D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接CD、OE，根据题意证明四边形OCED是菱形，然后分别求出扇形OCD和菱形OCED以及△AOB的面积，最后利用割补法求解即可．
【详解】解：连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，弧＝弧，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2，
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（2×2）+＝2（π﹣2）+＝π﹣3，
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质，圆周角定理，求解圆中阴影面面积等知识，解题的关键是根据题意做出辅助线，利用割补法求解．
13. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出树状图，得出所有等可能情况数及两次摸出的小球的标号之和等于6的情况数，根据概率公式即可得答案．
【详解】画树状图如下：
∵共有16种等可能情况，两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，
∴两次摸出的小球的标号之和等于6的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图，熟练掌握概率公式是解题关键．
14. 如图，P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，点Q的横坐标大于点P的横坐标，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，A，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，C．PB与CQ交于点E，设四边形ACEP的面积为S1，四边形BDQE的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A. S1＞S2B. S1＝S2C. S1＜S2D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由k的几何意义可知，S四边形AOBP＝S四边形ODQC，则S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，即可得到S1＝S2．
【详解】解：∵P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，
∴OA•OB＝OC•OD＝k，
∴S四边形AOBP＝S四边形ODQC，
∴S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15. 如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A. B. C. D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，得BE＝CF，由坡比得BE＝CF＝DF＝CD＝6（米），AE＝2BE＝12（米），再由勾股定理解答即可．
【详解】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD=米，∴CF=DF=CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= ，∴AE=2BE=12（米），
∴AB=（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将代入函数解析式即可判断⑤对错．
【详解】解：图象开口向上，与轴交点在负半轴，
，，
图象对称轴在x轴负半轴，
、同号，
，
，①错误；
对称轴为直线，
，
，②正确；
对称轴为直线，且与的一个交点坐标为，
图象与x轴的另一个交点坐标为，③正确；
图象与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，④错误；
图象与x轴的两个交点为，
，
，
，⑤正确，
正确的结论有②③⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．
卷Ⅱ（非选择题，共78分）
1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．
2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上．
二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共12分）
17. 某段公路全长，一辆汽车要行驶完这段路程，则所行速度和时间间的函数关系为
________．若限定汽车行驶速度不超过，则所用时间至少要________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据等量关系“速度=路程÷时间”即可列出关系式，再求至少所用的时间．
【详解】解：由题意得：速度v（km/h）和时间t（h）间的函数关系为v=,
∴当v=80时，t=2.5h．
故本题答案为：v=;2.5．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
18. 已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是________．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为________．
【答案】 ①. y＝x+2 ②.
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标，再根据坐标特征可求得顶点所在直线的解析式；在抛物线解析式中令x＝0，可求得C点坐标，再由a的取值范围，可求得OC的取值范围，可求得C点经过的路径的长．
【详解】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣）2+，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝，
当﹣1≤a≤时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝时，OC＝，此时点C经过的路径长为；
当≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝时，OC＝，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为+＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是会求抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质求得点C经过的路径长．
19. 曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点旋转180°，得到；……依次类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为______；在第2020s时，点P的坐标为______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】如图，设的圆心为，过点作于．解直角三角形求出的长，即可得到点坐标，再求出点的运动路径，判断出点的位置，求出可得结论．
【详解】解：如图，设的圆心为，过点作于．

由题意，，
，
，，
，
，
，
的长，点的运动路径，
又，
点在轴上，的长，
此时．
故答案为，．
【点睛】本题考查弧长公式，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式．
（1）请计算抽到甲、乙两张卡片的结果；
（2）已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由；
（3）已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，请直接写出x的值．
【答案】（1）﹣2x2﹣x+3；（2）抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1；（3）x＝﹣或x＝1．
【解析】
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出答案；
（2）假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，根据列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可求得答案；
（3）根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值．
【详解】解：（1）由题意可知：（﹣2x2+3x﹣1）﹣（4x﹣4）
＝﹣2x2+3x﹣1﹣4x+4
＝﹣2x2﹣x+3；
（2）假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，
由题意可知：（﹣2x2+3x﹣1）﹣（x2﹣3x+2）＝1，
∴﹣2x2+3x﹣1﹣x2+3x﹣2＝1，
∴﹣3x2+6x﹣4＝0，
∴3x2﹣6x+4＝0，
∵，
∴，
∴该方程没有实数根，
∴抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1；
（3）由题意可知：（﹣2x2+3x﹣1）﹣（4x﹣4）﹣（x2﹣3x+2）＝0，
∴﹣2x2+3x﹣1﹣4x+4﹣x2+3x﹣2＝0，
∴﹣3x2+2x+1＝0，
∴3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（3x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣或x＝1．
【点睛】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21. 我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元．调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用，为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”．设售价为元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．
注：月利润=月总售价-月总进价-其它费用，或月利润=月总销售量×单台利润-其它费用．
（1）当元/台时，___________台，___________元；
（2）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元；
（4）因为新品快要上市了，卖场既要想使该种电器平均每月获利7000元，又想要减少库存，售价应定为多少元．
【答案】（1）950，3750；（2）y=－10x+1800（80≤x≤180），w=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180）；（3）每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元；（4）售价应定为90元
【解析】
【分析】（1）根据题中等量关系直接求解即可；
（2）根据等量关系得出二次函数关系式求解即可；
（3）根据二次函数求最值的方法求解即可；
（4）由w=7000解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）根据题意，当x=85时，月平均销售量y=1000－（85－80）×10=950台，
月平均利润w=950×（85－60）－20000=3750元，
故答案为：950，3750；
（2）根据题意，月平均销售量y=1000－（x－80）×10=－10x+1800（80≤x≤180），
月平均利润w=y×（x－60）－20000
=(－10x+1800)（x－60）－20000
=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180），
即y=－10x+1800（80≤x≤180），
w=－10x2+2400x－128000（80≤x≤180）；
（3）w=－10x2+2400x－128000=－10（x－120）2+16000，
∵－10＜0，80≤x≤180，
∴当x=120时，w有最大值，最大值为16000，
答：每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元；
（4）当w=7000时，由－10（x－120）2+16000=7000得：x1=90，x2=150，
∵想要减少库存，
∴x=90，
答：售价应定为90元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系正确列出函数关系式是解答的关键．
22. 有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．
（1）从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率；
（2）从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或面树状图的方法，求抽到的方程都有实数根的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式分别判断三个方程根的情况，再运用概率公式求解即可；
（2）画出树状图展示所有9种等可能的结果，找出恰好抽到两个方程都有实数根的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）方程有实数根，则>
甲方程：
∴甲方程没有实数根；
乙方程：
∴乙方程有实数根
丙方程：

∴丙方程有实数根
所以，抽到方程没有实数根的概率；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果，其中恰好抽到两个方程都有实数根的结果数为4，
所以恰好抽到两个方程都有实数根的概率=．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝13，DM＝5．
（1）在旋转过程中．
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2．如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝20，求BD2的长．
【答案】（1）①AM＝8或18；②AM＝12或；（2）BD2＝
【解析】
【分析】（1）①分两种情况讨论，由线段和差关系可求解；
②分两种情况讨论，由勾股定理可求解；
（2）由旋转的性质可得AD1＝AD2＝13，∠D2AD1＝90°，由勾股定理可求D1C的长，由“SAS”可证△BAD2≌△CAD1，可得D1C＝BD2＝．
【详解】解：（1）①由题意可知：当点M在线段AD的延长线上时，AM＝AD+DM＝13+5＝18，
当点M在线段AD上时，AM＝AD﹣DM＝13﹣5＝8；
综上所述：AM＝8或18；
②若AM为斜边，则AM＝，
若AD为斜边，则AM＝，
综上所述：AM＝12或；
（2）如图，连接CD1，
由旋转90°可知：AD1＝AD2＝13，∠D2AD1＝90°，
∴∠AD2D1＝∠AD1D2＝45°，
∴D1D2＝13，
∴∠D1D2C＝∠AD2C﹣∠AD2D1＝90°，
在Rt△D1D2C中由勾股定理得：D1C＝，
由△ABC为等腰直角三角形可知：AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠D2AD1，
∴∠BAC﹣∠D2AC＝∠D2AD1﹣∠D2AC，
即：∠BAD2＝∠CAD1，
又∵AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1（SAS），
∴D1C＝BD2＝．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24. 如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为米．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出2米的通道，试判断距离点5米的货物是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：，．）
【答案】（1）新传送带AC的长度为8米；（2）距离B点5米的货物不需要挪走，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形30度角的性质求出AC；
（2）根据正切函数的定义求出CD，求出PC的长度，比较大小得到答案．
【详解】（1）在Rt△ABD中，∠ADB=90，，
sin∠ABD=，
∴，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8，
答：新传送带AC的长度为8米；
（2）距离B点5米的货物不需要挪走，
理由如下：
在Rt△ABD中，∠ADB=90，∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
在Rt△ACD中，∠ADC=90，∠ACD=30°，AC=8，
∴(米) ，
∴CB=CD-BD≈2.8，
∴PC=PB-CB≈2.2，
∵2.2＞2，
∴距离B点5米的货物不需要挪走．
【点睛】本题实际考查是解直角三角形的应用，在两个直角三角形拥有公共边的情况下，先求出这条公共边是解答此类题目的关键．
25. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．

【答案】（1）y=，y=x+6；（2）；（3）（，2）或（，2）．
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y=图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y=-x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
∴G（，1），A（ ，4），
∴AG=4-1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=．
（3）①当∠AOE=90°时，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线OE的解析式为y=x，
当y=2时，x=-，
∴E（-，2）；
②当∠OAE=90°时，可得直线AE的解析式为y=-x+，
当y=2时，x=，
∴E（，2）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（-，2）或（，2）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26. 如图，在中，，，，半径为2的从点开始（如图1）沿直线向右滚动，滚动时始终与直线相切（切点为），当与只有一个公共点时滚动停止，作于点．
（1）图1中，在边上截得的弦长______；
（2）当圆心落在上时，如图2，判断与的位置关系，并说明理由．
（3）在滚动过程中，线段的长度随之变化，设，，求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围．
【答案】）（1）2；（2）相切，理由见解析；（3），此时的取值范围为
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）过点作于，连接，求得，得出，即可得到结果；
（3）分两种情况讨论①当点在的左侧时，②当点在的右侧时，即可得到结果；
【详解】解：（1）连接OA，
由题可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答案为2；
（2）与相切；
理由：如图2，过点作于，连接，
∵与相切于，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴与相切，
（3）①当点在的左侧时，
连接交于，如备用图1，
∵与相切于，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
即，此时的取值范围为；
②当点在的右侧时，
连接并延长交于，如备用图2，
同①的方法得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，此时的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合圆的切线证明、直角三角形的性质、三角函数的定义、一次函数的应用的计算是解题的关键．