适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题4概率与统计培优拓展七非线性回归问题课件

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通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的回归关系,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先选择函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.
例题(2023福建质检)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
(1)根据散点图判断,y=bx+a与y=cln(x-2012)+d哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并根据表中数据建立经验回归方程,由此预测2023年该机场飞往A地航班的放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6.若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值,且2023年该机场飞往B地及其他地区(不包含A,B两地)航班放行准点率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率;②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
解 (1)由散点图判断,y=cln(x-2 012)+d适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.令t=ln(x-2 012),先建立y关于t的经验回归方程.
(2)设事件A1=“该航班飞往A地”,事件A2=“该航班飞往B地”,事件A3=“该航班飞往其他地区”,事件C=“该航班准点放行”,则P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75.①由全概率公式得,P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)·P(C|A3)=0.2×0.84+0.2×0.8+0.6×0.75=0.778,所以该航班准点放行的概率约为0.778.
增分技巧非线性经验回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图(或观察题目中已经给出的散点图);(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程;(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性经验回归方程.
(2023山西临汾二模)一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表所示:
(1)画出散点图,根据散点图判断y=c+dx与y=aebx哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程.附:
解 (1)散点图如图所示,
根据散点图可以判断,y=aebx适宜作为产卵数y关于温度x的经验回归方程类型.