2020-2021年浙江省宁波市慈溪市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年浙江省宁波市慈溪市高一数学下学期期中试卷及答案，共7页。试卷主要包含了单选题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．若向量，，则＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
D．
2．在等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝1，则等于（ ）
A．B．C．D．
C．
3．在△ABC中，点D在BC边上，且，设，，则可用基底，表示为（ ）
A．B．C．D．
C．
4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）
A．2+B．C．D．1+
A．
5．复数2+i与复数在复平面内对应的点分别是A、B，若O为坐标原点，则∠AOB为（ ）
A．B．C．D．
B．
6．设，是非零向量，则“⊥”是“函数f（x）＝（x+）•（x﹣）为一次函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
B．
7．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
A．
8．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是（ ）
A．B．C．D．
BD．
10．已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ）
A．四面体表面积为
B．四面体的高
C．四面体体积为
D．四面体的内切球半径为
ABCD．
11．在△ABC中，下列命题正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若sin2A＝sin2B，则△ABC定为等腰三角形
C．若acsB﹣bcsA＝c，则△ABC定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角
ACD．
12．若点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则点O为△ABC的重心
B．若，则点O为△ABC的垂心
C．若，则点O为△ABC的外心
D．若，则点O为△ABC的内心
AC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在复数范围内，方程x2+4x+5＝0的解集为 {﹣2+i，﹣2﹣i} ．
14．已知点A（1，﹣2），若点A、B的中点坐标为（3，1）且与向量a＝（1，λ）共线，则λ＝ ．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B＝60°，a+c＝1，则b的取值范围为 [，1） ．
16．已知z1＝2（1﹣i），且|z|＝1，则|z﹣z1|的最大值为 1+2 ．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．
解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．
∵
∴
∴
答：圆锥的母线长为cm．
18．已知复数z满足|3+4i|+z＝1+3i．
（1）求；
（2）求的值．
解：（1）由|3+4i|+z＝1+3i，得，
所以5+z＝1+3i，所以z＝﹣4+3i，
所以；
（2）＝＝．
19．已知，，．
（1）求；
（2）求与的夹角；
（3）若在方向上的投影向量为，求的值．
解：（1）因为，，，
所以4﹣4•﹣3＝61，
即64﹣4•﹣27＝61，解得•＝﹣6，
所以＝＝＝＝．
（2）cs＜，＞＝＝＝﹣，
因为＜，＞∈[0，π]，
所以＜，＞＝，
即与的夹角为．
（3）＝||cs＜＜，＞＝4×（﹣）×＝﹣，
所以＝﹣•（+）＝﹣（•+）＝﹣（﹣6+9）＝﹣2．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若，，求△ABC的面积．
解：（1）由正弦定理知，＝＝，
∵，
∴（sinB﹣sinA）csC＝sinCcsA，
∴sinBcsC＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，∴csC＝，
∵C∈（0，π），∴C＝．
（2）由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•csC，
∴c2＝32+2c2﹣2•4•c•csC，即c2﹣8c+32＝0，
解得c＝4，
∴b＝c＝8，
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×8×＝16．
21．已知＝（csα，sinα），＝（csβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|﹣|＝，求证：⊥；
（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．
解：（1）由＝（csα，sinα），＝（csβ，sinβ），
则＝（csα﹣csβ，sinα﹣sinβ），
由＝2﹣2（csαcsβ+sinαsinβ）＝2，
得csαcsβ+sinαsinβ＝0．
所以．即；
（2）由
得，①2+②2得：．
因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．
所以，，
代入②得：．
因为．所以．
所以，．
22．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 nmile，与小岛D相距为．∠BAD为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin（2α+β）的值．
解：（1）∵sinA＝，且A为钝角，∴csA＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•csA，
∴，即AD2+8AD﹣20＝0，
解得：AD＝3或AD＝﹣10（舍去）．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2 nmile．
∵A、B、C、D四点共圆，∴A与C互补，则sinC＝，
csC＝cs（180°﹣A）＝﹣csA＝．
在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•csC＝BD2，
∴，得CD2﹣8CD﹣20＝0，
解得CD＝﹣2（舍去）或CD＝10．
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+CB•CD•sinC
＝×5×2×+×5×10×＝3+15＝18（平方nmile）；
（2）在△BDC中，由正弦定理得：，
即，解得sinα＝．
∵DC2+DB2＞BC2，∴α为锐角，则csα＝，
又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝，
cs（α+β）＝cs（180°﹣C）＝﹣csC＝﹣，
∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcs（α+β）+csαsin（α+β）
＝＝．