2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学高一上学期期中考试数学试题

北仑中学2020学年第一学期高一年级期中考试数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则                 （    ）

A． B． C． D．

2.已知关于的不等式 的解集为，则的值为             （    ）

A． B． C． D．

3.函数的图像可能是                            （    ）

A.     B.   C. D. 

4.已知，则“”是“”的                       （    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5.设函数在区间上的最大值和最小值分别为､,则                                                              (     )

A． B．13 C． D．12

6.已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于                                            （    ）

A． B． C．2 D．

7.已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是                                                                  （    ）

A． B． C． D．

8.设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，．那么函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．下列各式中一定成立的有                                             （    ）

A． B．

C． D．

10．若，则下列命题一定成立的是                               （    ）

A．若,则              B．若,则

C．若,则 D．若,则

11．定义在上的奇函数和偶函数满足：，则下列结论正确的有                                                                     （    ）

A．，且  

B．，总有

C．，总有

D．，使得

12.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则以下说法错误的有                                                                （     ）

A．当时，     

B．函数的单调递减区间是

C．的解集为         

D．有4个解

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．幂函数的图像经过点，则_________.

14．函数的递增区间是              ．

15．已知二次不等式的解集为，且，则的最小值为__________.

16．已知函数()的值域为，函数，.如果

，总，使得成立，则实数的取值范围为     .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题8分）

（1）计算：；

（2）若，化简：．

18.（本题12分）

已知，命题：,使得；命题：,使得.

（1）写出命题的否定，并求为真时，实数的取值范围；

（2）若命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．

19.（本题12分）

已知集合，集合．

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

20（本题12分）、已知且 ．

（1）求实数的最小值；

（2）求的取值范围；

（3）若对于任意的，存在实数，使得成立，求实数的取值范围．

21．（本题12分）

已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；

（3）求关于的不等式的解集．

22.（本题14分）

已知函数的定义域为，如果存在区间，使得，则称区间为函数的一个和谐区间．

（1）直接写出函数的所有和谐区间；

（2）若区间是函数的一个和谐区间，求实数的值；

（3）若函数存在和谐区间，求实数的取值范围．

2020-2021学年度高中数学期中考试答案

【答案】

一、单选题

1-8   DBDAC  BAB

二、多选题

9-12   BD  BC  ABC  ABD

三、填空题

13.16    14.    15.    16.

17（本题10分）．（1）计算；

（2）若，化简．

解（1）原式

（2）原式

18、已知，命题：存在使得；命题：对于使得

（1）若命题的否定为真，求的取值范围

（2）若命题、有且只有一个为真，求的取值范围

解：（1）：使得，即，得解得．

（2）命题：存在使得为真，则；

命题：对于使得为真，则，得．

若真假则有； 假真则有；综上，、有且只有一个为真时，的取值范围是或

19、  

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

解：

（1）当时，求集合，

（2）因为，由有或，解得．

20、已知且 （1）求实数的最值；

（2）求的取值范围；

（3）若对于任意的，且，存在实数，使得

成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，取得最小值2，无最大值

（2）

（3）对于任意的 都有，且当时，

①当时，有，对于存在实数

不等式成立，有，即，解得或，所以

②当时，，所以，对于任意的，原不等式不可能恒成立，综上，所求所以实数的范围是

21、设函数

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）判断函数的单调区间，并用单调性的定义证明；

（3）求关于的不等式的解集

解：（1）函数为奇函数

（2）的单调递减区间是和，无调递增区间．

（3）

由函数为奇函数，且，得，

又由（2）知，当时， ；当时， ．所以①当时，，，有，，故原不等式成立；②当时，，在内单调递减，由，得，有，解得，

综上，原不等式的解集为

22、已知函数的定义域为，如果存在区间，使得，则称区间为函数的一个和谐区间．

（1）直接写出函数的所有和谐区间：，

（2）若区间是函数的一个和谐区间，求实数的值．

（3）若函数存在和谐区间，求实数的取值范围．

解：（1），，

（2）或

（ 3）①当时，在上时单调递减函数，由题意有，

得，因为，所以，且,即，解得舍去，或，。由，得，所以，当时，和谐区间为．

②时，在上时单调递增函数，由题意有，所以是方程的两个不等实根．因为，又，得，因而有，故方程在和内各有一个实根，即且， 解得， 故当时，和谐区间为．

（或者根分布，解得，此时和谐区间为）．

③当时，，得

当时，即，则，得，又，得，得 或，又由及，解得

，此时和谐区间为．

当时，即，则，得，解得。若，则由知,舍去；若，，解得，又，所以，此时和谐区间为

综上，所求范围是

（③当时，，   ，解法二：

，则有或．

由和，得，得 （舍去）或，又，得，即，解得，此时和谐区间为．

由和，得且．由，解

得,此时,舍去；或，，解得，又，所以，此时和谐区间为）

综上，当时，和谐区间为；

当时，和谐区间为和；

当时，此时和谐区间为．