2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线2x﹣y+3＝0在y轴上的截距为（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（5分）已知直线l的一个方向向量（1，2，m），平面α的一个法向量（﹣1，﹣2，3），若l⊥α，则m＝（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
3．（5分）双曲线的两个焦点坐标是（ ）
A．（0，1）和（0，﹣1）B．（1，0）和（﹣1，0）
C．和D．和
4．（5分）若数列{an}满足：，则a3＝（ ）
A．9B．3C．D．
5．（5分）如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线x2＝﹣8y，已知水利人员在某个时刻测得水面宽|AB|＝8m，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A．8mB．6mC．4mD．2m
6．（5分）已知一个乒乓球从m米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的k（0＜k＜1）倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若64λ，则λ＝（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
8．（5分）已知双曲线，直线l经过点（2021，0），若直线l与双曲线C的右支只有一个交点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）若抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件：Ri＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；G1＝“点数不大于2“，G2＝“点数大于2”，G3＝“点数大于4”；则（ ）
A．R1与R2互斥B．R2与R3为对立事件
C．G1∪G2＝Ω，G1G2＝∅D．G2∩G3＝G3
（多选）10．（5分）已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，O2：（x﹣5）2+y2＝4，则（ ）
A．圆O1的圆心坐标是（1，﹣2）
B．圆O1的半径等于4
C．圆O1与圆O2相离
D．圆O1与y轴相交，且截得的弦长等于
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则（ ）
A．B．
C．D．
（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+8n+3，则（ ）
A．数列{an}的通项公式an＝9﹣2n
B．数列{an}单调递减
C．数列{an2}的所有项中第四项或第五项最小
D．数列{|an|}的前n项和
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在下列三个问题中：
（1）甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
（2）掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，那么1日﹣30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是 （用序号表示）
14．（5分）设θ为三角形的一个内角，已知曲线，则C可能是 .（写出不同曲线的名称，尽可能多．注：在一些问题情景中，直线可以理解成是特殊的曲线）
15．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，若PD＝DC＝2，则点D到平面PAM的距离为 ．
16．（5分）已知数列{an}满足：，且an+1＝an（an+1），记，若，则a2022＝ .（用a1表示）
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）某公司有员工80人，对他们进行年龄和学历情况的调查，其结果如表：
现从这80名员工中随机抽取一人，设A＝“抽取的人具有本科学历”，B＝“抽取的人年龄在30岁以下“，试求：
（1）P（A）；
（2）P（）；
（3）P（B）．
18．（12分）已知三条直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+y﹣6＝0，l3：kx﹣y+k+1＝0（k是常数），
（1）若l1，l2，l3相交于一点，求k的值；
（2）若l1，l2，l3不能围成一个三角形，求k的值；
（3）若l1，l2，l3能围成一个直角三角形，求k的值．
19．（12分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，过圆M外一点P（3，﹣1）作圆M的两条切线PA，PB，A，B为切点，设Q为圆M上的一个动点．
（1）求|PQ|的取值范围；
（2）求直线AB的方程．
20．（12分）如图，正方体ACBD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别在棱BC，CD上运动，且BE＝CF．
（1）求证：B1F⊥D1E；
（2）求三棱锥C﹣EFC1的体积的最大值；
（3）当E，F分别是棱BC，CD的中点时，求平面C1EF与平面A1ADD1的夹角的正弦值．
21．（12分）设Sn是首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和，Tn是首项为1的等比数列{bn}的前n项和，Hn为数列{anbn}的前n项和，Dn为数列{an+bn}的前n项和，已知D2＝3．
（1）若T3＝13，求Sn；
（2）若D3＝10，求Hn．
22．（12分）已知椭圆G的中心在原点O，对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，抛物线M：y2＝8x，若抛物线M的焦点在椭圆G上，且椭圆G的离心率为．
（1）求椭圆G的方程；
（2）已知斜率存在且不为零的直线l满足：与椭圆G相交于不同两点A、B，与直线x+4＝0相交于点Q．若椭圆G上一动点P满足：AO∥PB，BO∥PA，且存在点T（x0，0），使得恒为定值，求x0的值．
2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）直线2x﹣y+3＝0在y轴上的截距为（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：∵直线2x﹣y+3＝0，∴令x＝0，解得y＝3，
故直线2x﹣y+3＝0在y轴上的截距为3．
故选：A．
2．（5分）已知直线l的一个方向向量（1，2，m），平面α的一个法向量（﹣1，﹣2，3），若l⊥α，则m＝（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【解答】解：∵直线l的一个方向向量（1，2，m），平面α的一个法向量（﹣1，﹣2，3），l⊥α，
∴，
∴，
解得m＝﹣3．
故选：D．
3．（5分）双曲线的两个焦点坐标是（ ）
A．（0，1）和（0，﹣1）B．（1，0）和（﹣1，0）
C．和D．和
【解答】解：双曲线，a2＝4，b2＝3，
则c，
因为双曲线的焦点在y轴上，
所以两个焦点坐标是和．
故选：C．
4．（5分）若数列{an}满足：，则a3＝（ ）
A．9B．3C．D．
【解答】解：由已知可得．
故选：C．
5．（5分）如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线x2＝﹣8y，已知水利人员在某个时刻测得水面宽|AB|＝8m，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A．8mB．6mC．4mD．2m
【解答】解：∵|AB|＝8，
∴可设B点的坐标为（4，y），
∵抛物线x2＝﹣8y，
∴将B（4，y）代入可得，y＝﹣2，
故此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米．
故选：D．
6．（5分）已知一个乒乓球从m米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的k（0＜k＜1）倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，乒乓球从第一次落地到第二次落地的路程为2mk，
此后，从第n次落地到第n+1次落地的路程组成以2mk为首项，k为公比的等比数列，
故当它第8次着地时，经过的总路程是S＝m+S7＝m，
故选：C．
7．（5分）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若64λ，则λ＝（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【解答】解：，
即，
整理得，
由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2，
故选：B．
8．（5分）已知双曲线，直线l经过点（2021，0），若直线l与双曲线C的右支只有一个交点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]
【解答】解：双曲线的两条渐近线为y＝x和y＝﹣x，
两渐近线的倾斜角分别为和，
由经过点（2021，0）的直线l与双曲线C的右支只有一个交点，
可知直线1的倾斜角取值范围为[0，]∪[，π）
故直线l的斜率的取值范围是[﹣1，1]．
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）若抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件：Ri＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；G1＝“点数不大于2“，G2＝“点数大于2”，G3＝“点数大于4”；则（ ）
A．R1与R2互斥B．R2与R3为对立事件
C．G1∪G2＝Ω，G1G2＝∅D．G2∩G3＝G3
【解答】解：抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件：Ri＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6，
G1＝“点数不大于2“，G2＝“点数大于2”，G3＝“点数大于4”，
对于A，R1与R2不能同时发生，∴R1与R2互斥，故A正确；
对于B，R2与R3不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故B错误；
对于C，∵G1与G2是对立事件，∴G1∪G2＝Ω，G1G2＝∅，故C正确；
对于D，∵G2⊇G3＝G3∴G2∩G3＝G3，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，O2：（x﹣5）2+y2＝4，则（ ）
A．圆O1的圆心坐标是（1，﹣2）
B．圆O1的半径等于4
C．圆O1与圆O2相离
D．圆O1与y轴相交，且截得的弦长等于
【解答】解：圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝4的圆心坐标是O1（1，﹣2），半径r1＝2，故A正确，B错误；
圆O2：（x﹣5）2+y2＝4的圆心坐标是O2（5，0），半径r1＝2，
两圆的圆心距|O1O2|2r1+r2＝4，故圆O1与圆O2相离，故C正确；
令圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝4中的x＝0，可得y1＝﹣2，y2＝﹣2，
则截y轴所得的弦长为|y1﹣y2|＝2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图所示：
对于A，因为，所以选项A正确；
对于B，因为，所以选项B正确；
对于C，因为，所以选项C错误；
对于D，因为，所以选项D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+8n+3，则（ ）
A．数列{an}的通项公式an＝9﹣2n
B．数列{an}单调递减
C．数列{an2}的所有项中第四项或第五项最小
D．数列{|an|}的前n项和
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+8n+3，则a1＝S1＝﹣1+8+3＝10，不符合an＝9﹣2n，A错误；
对于B，数列{an}中，a1＝10，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝9﹣2n，必有an＞an+1，且a2＝S2﹣S1＝5，有a2＜a1，则数列{an}单调递减，B正确；
对于C，由A、B的结论，an，则an2，分析可得数列{an2}的所有项中第四项或第五项最小，C正确；
对于D，an，则|an|，故当n≤4时，Tn＝Sn，当n≥5时，Tn＝S4﹣（Sn﹣S4）＝2S4﹣Sn＝19+（n﹣4）2，故，D正确；
故选：BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在下列三个问题中：
（1）甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
（2）掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，那么1日﹣30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是 （1）（2） （用序号表示）
【解答】解：（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，
样本空间Ω＝{（正正），（正反），（反正），（反反）}，
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则P（A）＝P（B），
故这个游戏是公平的，故（1）正确；
（2）由概率的定义得：掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，
当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率，故（2）正确；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，
1日﹣30日中就有可能6天是下雨的，故（3）错误．
故答案为：（1）（2）．
14．（5分）设θ为三角形的一个内角，已知曲线，则C可能是 焦点在y轴上的椭圆，焦点在x轴上的双曲线，两条直线 .（写出不同曲线的名称，尽可能多．注：在一些问题情景中，直线可以理解成是特殊的曲线）
【解答】解：若0＜θ，则曲线C：1，
而1＞sinθ＞0，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆；
若θ，则曲线C：x2＝1⇒x＝1或x＝﹣1，曲线C表示两条直线；
若θ＜π，则曲线C：1，
而sinθ＞0，0，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线．
故答案为：焦点在y轴上的椭圆，焦点在x轴上的双曲线，两条直线．
15．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，若PD＝DC＝2，则点D到平面PAM的距离为 ．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），M（1，2，0），
所以（﹣1，2，0），（﹣2，0，2），（0，0，2），
设平面PAM的一个法向量为（x，y，z），
则，即，令x＝2，y＝1，z＝2，
所以平面PAM的一个法向量为（2，1，2），
所以D与平面PAM的距离为d．
故答案为：．
16．（5分）已知数列{an}满足：，且an+1＝an（an+1），记，若，则a2022＝ .（用a1表示）
【解答】解：因为an+1＝an（an+1），
所以，即，
所以，
因为，所以，又，
所以．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）某公司有员工80人，对他们进行年龄和学历情况的调查，其结果如表：
现从这80名员工中随机抽取一人，设A＝“抽取的人具有本科学历”，B＝“抽取的人年龄在30岁以下“，试求：
（1）P（A）；
（2）P（）；
（3）P（B）．
【解答】（1）解：由表格中的数据可得．
（2）解：由表格中的数据可得，所以．
（3）解：可知即30岁以下且专科学历，所以．
18．（12分）已知三条直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+y﹣6＝0，l3：kx﹣y+k+1＝0（k是常数），
（1）若l1，l2，l3相交于一点，求k的值；
（2）若l1，l2，l3不能围成一个三角形，求k的值；
（3）若l1，l2，l3能围成一个直角三角形，求k的值．
【解答】解：（1）因为三条直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+y﹣6＝0，l3：kx﹣y+k+1＝0相交于一点，
所以，解得，即交点为（1，3），
所以k﹣3+k+1＝0，解得k＝1．
（2）当l1与l3平行（或重合）时，可得﹣2+k＝0，解得k＝2；
当l2与l3平行（或重合）时，可得﹣3﹣k＝0，解得k＝﹣3；
当l1与l2与l3三线共点时，由（1）可得k＝1，
综上，若l1，l2，l3不能围成一个三角形，则k＝2或k＝﹣3或k＝1．
（3）显然l1与l2不垂直，所以（1，3）∉l3，且l1⊥l3或l2⊥l3，
因为l1的斜率k1＝2，l2的斜率k2＝﹣3，
所以k的值为或．
19．（12分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，过圆M外一点P（3，﹣1）作圆M的两条切线PA，PB，A，B为切点，设Q为圆M上的一个动点．
（1）求|PQ|的取值范围；
（2）求直线AB的方程．
【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，
∴（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圆心M（2，3），r＝1，
∵P（3，﹣1），
∴，
∴|PQ|min＝|PM|﹣r，|PQ|max＝|PM|+r，
故PQ的取值范围为．
（2）由题意可知，切线PA，PB中至少有一条斜率存在，设为k，
则此切线为y+1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣1＝0，
圆心M到此切线的距离等于半径r，即，即k，
故两条切点的方程为y+1，即x＝3，
将切线分别与圆联立可得切点坐标为（3，3），，
故，
故直线AB的方程为，即x﹣4y+9＝0．
20．（12分）如图，正方体ACBD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别在棱BC，CD上运动，且BE＝CF．
（1）求证：B1F⊥D1E；
（2）求三棱锥C﹣EFC1的体积的最大值；
（3）当E，F分别是棱BC，CD的中点时，求平面C1EF与平面A1ADD1的夹角的正弦值．
【解答】（1）证明：如下图所示，以D原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设BE＝CF＝x，则B1（2，2，2），F（0，2﹣x，0），D1（0，0，2），E（2﹣x，2，0），
则，，
因为，
所以，即B1F⊥D1E．
（2）解：因为，
所以，
故的最大值为．
（3）解：设平面C1EF的一个法向量，
因为此时，，
所以，
取a＝1，得b＝﹣1，，
又可取平面A1ADD1的一个法向量，
所以
故平面C1EF与平面A1ADD1的夹角的正弦值．
21．（12分）设Sn是首项为﹣1的等差数列{an}的前n项和，Tn是首项为1的等比数列{bn}的前n项和，Hn为数列{anbn}的前n项和，Dn为数列{an+bn}的前n项和，已知D2＝3．
（1）若T3＝13，求Sn；
（2）若D3＝10，求Hn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则an＝﹣1+（n﹣1）d，bn＝qn﹣1，
因为T3b1（1+q+q2）＝13，
即1+q+q2＝13，解得q＝3或q＝﹣4，
又因为D2＝（a1+b1）+（a2+b2）＝3，得﹣1+d+q＝3，
所以或，
故Sn＝na1dn2n，或Sn＝na1d＝4n2﹣5n．
（2）因为D2＝（a1+b1）+（a2+b2）＝3，D3＝（a1+b1）+（a2+b2）+（a3+b3）＝10，
所以a2+b2＝3，a3+b3＝7，
所以由，解得q＝0（舍）或q＝2，于是d＝2，
所以an＝2n﹣3，bn＝2n﹣1，
因为Hn＝a1b1+a2b2+…+anbn＝（﹣1）×1+1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1，
所以2Hn＝（﹣1）×2+1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）×2n，
两式相减可得﹣Hn＝﹣1+2（2+22+23+24+…+2n﹣1）﹣（2n﹣3）×2n
＝﹣1+2（2n﹣3）×2n＝﹣5﹣（2n﹣3）×2n+2n+1，
故Hn＝5+（2n﹣3）×2n﹣2n+1＝5+（2n﹣5）×2n．
22．（12分）已知椭圆G的中心在原点O，对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，抛物线M：y2＝8x，若抛物线M的焦点在椭圆G上，且椭圆G的离心率为．
（1）求椭圆G的方程；
（2）已知斜率存在且不为零的直线l满足：与椭圆G相交于不同两点A、B，与直线x+4＝0相交于点Q．若椭圆G上一动点P满足：AO∥PB，BO∥PA，且存在点T（x0，0），使得恒为定值，求x0的值．
【解答】解：（1）由条件可设椭圆G：1（a＞b＞0），
因为抛物线M：y2＝8x的焦点为（2，0），所以1，解得a＝2，
因为椭圆G的离心率为，所以，则c＝1，b，
故椭圆G的方程为1．
（2）设直线l：y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
把直线1的方程代入椭圆G的方程，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
所以x1+x2，y1+y2，
因为AO∥PB，BO∥PA，所以四边形OAPB为平行四边形，
得，即P（x1+x2，y1+y2），得P（，），
由P在椭圆G上可得1，即4m2＝4k2+3，
因为T（x0，0），又Q（﹣4，m﹣4k），
所以（﹣4﹣x0，m﹣4k），（，），
所以（﹣4﹣x0）（m﹣4k），
将4m2＝4k2+3代入得，
所以1+x0＝0，即x0＝﹣1．
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本科
专科
合计
年龄
30岁以下
40
5
45
30﹣45岁
15
5
20
45岁以上
5
10
15
合计
60
20
80
学历
本科
专科
合计
年龄
30岁以下
40
5
45
30﹣45岁
15
5
20
45岁以上
5
10
15
合计
60
20
80