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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 生活中的变量关系教案
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 生活中的变量关系教案，共8页。教案主要包含了导入新课，新知探究，巩固练习，归纳小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1．从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系．
2．能利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．
3．在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．
教学重难点
重点：生活中的变量关系与函数关系的区分．
难点：生活中的变量关系与函数关系的区分．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、导入新课
★资源名称：【情景演示】函数概念的发展．
★使用说明：本资源简单讲解了函数概念的发展过程，适用于函数知识的引入或者拓展教学．
注：此图片为“情景演示”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题1：实例分析，匀速直线运动中，速度、时间、路程哪个是变量？哪个是常量？时间、路程是否有关系，什么关系？
师生活动：学生独立思考，师生合作分析、概括这些实例共同特征，共同总结出变量和常量以及依赖关系的概念．
数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．
当一个变量的变化从某个角度影响另一个变量的变化时，说明两个变量有依赖关系．
预设答案：速度是常量，时间和路程是变量；时间越久，路程越长．
设计意图：教师列举生活中的实例，激发学生的学习热情，又为新知作好铺垫．
二、新知探究
问题2：两个变量之间的对应关系让你联想到什么？
预设答案：函数关系．
追问：初中学过的函数怎么定义的？
预设答案：如果在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，其中是自变量，是因变量．表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式．
问题3：经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪里？怎样存储的？
如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度、截面半径，油面高度、油面宽度、储油量．
（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．
预设答案：（1），为常量，，，为变量．（2）储油量与油面高度存在着依赖关系；储油量与油面宽度也存在着依赖关系．（3）对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和它对应，但是每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量；储油量是油面高度的函数，储油量不是油面宽度的函数．
设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．
问题4：自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km．图中表示的是中国高铁年运营里程的变化．
（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．
预设答案：从图中可看出：（1）时间、高铁运营里程是变量．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．（3）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多；高铁年运营里程是时间的函数．
教师总结：在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量的每一个取值，变量是否都有唯一确定的值与它对应；这一点非常重要，需要认真理解．
设计意图：通过以上三个问题的分析，加强学生对函数关系的理解和认识，突破本节课的难点．
★资源名称：【知识点解析】函数的概念．
★使用说明：本资源为《函数的概念》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数的概念, 有利于学生预习或复习所学知识，为学生（教师）解惑，启发教学.
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问1：两个变量的依赖关系与函数关系有什么联系？研究函数关系时，应该注意什么问题？
师生活动：师生共同发现总结依赖关系和函数关系的区别与联系．
预设答案：（1）函数关系一定是依赖关系，依赖关系不一定是函数关系．（2）若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量有函数关系．(3)研究函数关系时，应首先确定自变量的取值范围．
设计意图：明确函数关系与依赖关系的区分从而突破难点．
三、巩固练习
例1分析材料中的变量的函数关系
材料1：弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数．
材料2：如下表，记录了几个不同气压下水的沸点：
材料3：绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图．
材料4：国内某快递公司邮寄普通货物限重30kg，从A城市到B城市的快递资费标准是，质量1kg及以下收费12元，以后质量每增加1kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg计算．请写出邮件的质量kg与邮资元的函数解析式，并画出局部图象．
师生活动：小组合作交流，用自己的文字语言陈述变量之间的函数关系，教师归纳总结．再次巩固函数关系的概念，同时引入分段函数．
预设答案：材料1中，对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数．
材料2中，对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．
材料3中，图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系．
材料4中，邮件的质量kg与邮资元的函数解析式为．
该函数的局部图象如图所示：
注意：形如上述的函数，称为分段函数．
设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．
例2“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系：
（1）上表反映的变化关系中， 是自变量， 是因变量；
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么用h表示t的关系式是 ；
（3）你能猜出距离地面7千米的高空温度是多少吗？
师生活动：学生独立完成，核对答案．
预设答案：（1）距离地面的高度，温度；（2）；（3）．
解析：（1）由图可知，表中自变量是距离地面的高度，因变量是温度；
（2）设，则，解得，即h与t关系为t＝−6h+20；
（3）当h＝7时，t＝−6×7+20＝−22℃，所以距离地面7千米的高空温度是−22℃．
设计意图：巩固两个变量的关系．
例3一辆汽车出发后，前在柏油路面行驶，速度为，然后转入沙石路面，速度为，行驶了，到达目的地，写出行驶总路程与行驶时间的函数表达式．
师生活动：学生到黑板板书过程，教师指导点拨．
预设答案：．
设计意图：加强学生对分段函数的理解．
四、归纳小结
问题5：本节课你学到哪些数学知识？有什么生活感悟？
师生活动：学生自己先总结，教师帮助梳理，提升学生研究问题的能力．
预设答案：本节课我们学习了量与量之间的关系、两个变量之间的依赖关系、函数关系；生活中处处有数学，数学帮我们解决了很多实际问题，我们一定要努力学好数学这门学科．
设计意图：通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识，再次巩固依赖关系与函数关系的概念和区分．
作业布置：
1．自己寻找一个实际生活中的变量关系，写一份报告．
要求：①有现实意义和研究价值；②变量简单的函数关系．
2．教材P51页，习题2-1，A组1、2、3．
五、目标检测设计
1．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
设计意图：巩固变量之间的函数关系的概念．
2．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
设计意图：强化看图识别两个变量的关系．
3．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
设计意图：突出数学的应用意识．
4．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )
设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题．
5．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题，强化解答题的解题步骤．
参考答案：
1．答案：C．
解析：A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．
2．答案：C．
解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．
3．答案：A．
解析：下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
4．C．
解析：从亮亮的体温变化，可以看出图象应为：早晨37℃以上，中午37℃以下，下午37℃以上，半夜37℃以下，结合图象可知，只有C项符合．
5．解：(1)上午8时气温是0℃；全天最高气温大约是9℃，在14时达到；全天最低气温大约是－2℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时、22时，气温为0℃．
(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量-2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有函数关系；随着时间的增加，气温呈现先降再升再降的变化趋势，所以θ与t既具有依赖关系，也具有函数关系．距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
教学目标
1．从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系．
2．能利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．
3．在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．
教学重难点
重点：生活中的变量关系与函数关系的区分．
难点：生活中的变量关系与函数关系的区分．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、导入新课
★资源名称：【情景演示】函数概念的发展．
★使用说明：本资源简单讲解了函数概念的发展过程，适用于函数知识的引入或者拓展教学．
注：此图片为“情景演示”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题1：实例分析，匀速直线运动中，速度、时间、路程哪个是变量？哪个是常量？时间、路程是否有关系，什么关系？
师生活动：学生独立思考，师生合作分析、概括这些实例共同特征，共同总结出变量和常量以及依赖关系的概念．
数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．
当一个变量的变化从某个角度影响另一个变量的变化时，说明两个变量有依赖关系．
预设答案：速度是常量，时间和路程是变量；时间越久，路程越长．
设计意图：教师列举生活中的实例，激发学生的学习热情，又为新知作好铺垫．
二、新知探究
问题2：两个变量之间的对应关系让你联想到什么？
预设答案：函数关系．
追问：初中学过的函数怎么定义的？
预设答案：如果在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，其中是自变量，是因变量．表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式．
问题3：经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪里？怎样存储的？
如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度、截面半径，油面高度、油面宽度、储油量．
（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．
预设答案：（1），为常量，，，为变量．（2）储油量与油面高度存在着依赖关系；储油量与油面宽度也存在着依赖关系．（3）对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和它对应，但是每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量；储油量是油面高度的函数，储油量不是油面宽度的函数．
设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．
问题4：自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km．图中表示的是中国高铁年运营里程的变化．
（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．
预设答案：从图中可看出：（1）时间、高铁运营里程是变量．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．（3）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多；高铁年运营里程是时间的函数．
教师总结：在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量的每一个取值，变量是否都有唯一确定的值与它对应；这一点非常重要，需要认真理解．
设计意图：通过以上三个问题的分析，加强学生对函数关系的理解和认识，突破本节课的难点．
★资源名称：【知识点解析】函数的概念．
★使用说明：本资源为《函数的概念》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数的概念, 有利于学生预习或复习所学知识，为学生（教师）解惑，启发教学.
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问1：两个变量的依赖关系与函数关系有什么联系？研究函数关系时，应该注意什么问题？
师生活动：师生共同发现总结依赖关系和函数关系的区别与联系．
预设答案：（1）函数关系一定是依赖关系，依赖关系不一定是函数关系．（2）若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量有函数关系．(3)研究函数关系时，应首先确定自变量的取值范围．
设计意图：明确函数关系与依赖关系的区分从而突破难点．
三、巩固练习
例1分析材料中的变量的函数关系
材料1：弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数．
材料2：如下表，记录了几个不同气压下水的沸点：
材料3：绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图．
材料4：国内某快递公司邮寄普通货物限重30kg，从A城市到B城市的快递资费标准是，质量1kg及以下收费12元，以后质量每增加1kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg计算．请写出邮件的质量kg与邮资元的函数解析式，并画出局部图象．
师生活动：小组合作交流，用自己的文字语言陈述变量之间的函数关系，教师归纳总结．再次巩固函数关系的概念，同时引入分段函数．
预设答案：材料1中，对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数．
材料2中，对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．
材料3中，图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系．
材料4中，邮件的质量kg与邮资元的函数解析式为．
该函数的局部图象如图所示：
注意：形如上述的函数，称为分段函数．
设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．
例2“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系：
（1）上表反映的变化关系中， 是自变量， 是因变量；
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么用h表示t的关系式是 ；
（3）你能猜出距离地面7千米的高空温度是多少吗？
师生活动：学生独立完成，核对答案．
预设答案：（1）距离地面的高度，温度；（2）；（3）．
解析：（1）由图可知，表中自变量是距离地面的高度，因变量是温度；
（2）设，则，解得，即h与t关系为t＝−6h+20；
（3）当h＝7时，t＝−6×7+20＝−22℃，所以距离地面7千米的高空温度是−22℃．
设计意图：巩固两个变量的关系．
例3一辆汽车出发后，前在柏油路面行驶，速度为，然后转入沙石路面，速度为，行驶了，到达目的地，写出行驶总路程与行驶时间的函数表达式．
师生活动：学生到黑板板书过程，教师指导点拨．
预设答案：．
设计意图：加强学生对分段函数的理解．
四、归纳小结
问题5：本节课你学到哪些数学知识？有什么生活感悟？
师生活动：学生自己先总结，教师帮助梳理，提升学生研究问题的能力．
预设答案：本节课我们学习了量与量之间的关系、两个变量之间的依赖关系、函数关系；生活中处处有数学，数学帮我们解决了很多实际问题，我们一定要努力学好数学这门学科．
设计意图：通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识，再次巩固依赖关系与函数关系的概念和区分．
作业布置：
1．自己寻找一个实际生活中的变量关系，写一份报告．
要求：①有现实意义和研究价值；②变量简单的函数关系．
2．教材P51页，习题2-1，A组1、2、3．
五、目标检测设计
1．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
设计意图：巩固变量之间的函数关系的概念．
2．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
设计意图：强化看图识别两个变量的关系．
3．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
设计意图：突出数学的应用意识．
4．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )
设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题．
5．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题，强化解答题的解题步骤．
参考答案：
1．答案：C．
解析：A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．
2．答案：C．
解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．
3．答案：A．
解析：下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
4．C．
解析：从亮亮的体温变化，可以看出图象应为：早晨37℃以上，中午37℃以下，下午37℃以上，半夜37℃以下，结合图象可知，只有C项符合．
5．解：(1)上午8时气温是0℃；全天最高气温大约是9℃，在14时达到；全天最低气温大约是－2℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时、22时，气温为0℃．
(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量-2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有函数关系；随着时间的增加，气温呈现先降再升再降的变化趋势，所以θ与t既具有依赖关系，也具有函数关系．距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
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﹣4
﹣10
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