北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数综合训练题

一元二次函数

[A级　基础巩固]

1．设abc＞0，一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D　因为abc＞0，一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，所以可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不合题意；

B中，a＜0，b＞0，c＞0，不合题意；

C中，a＞0，c＜0，b＞0，不合题意，故选D.

2．将一元二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是(　　)

A．(3，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，3)

C．(5，＋∞)  D．(－∞，5)

解析：选D　∵y＝x2－4x＋a＝(x－2)2－4＋a，

∴将一元二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数的图象的解析式为y＝(x－2＋1)2－4＋a＋1，

即y＝x2－2x＋a－2，

将y＝2代入，得2＝x2－2x＋a－2，

即x2－2x＋a－4＝0，

由题意，得Δ＝4－4(a－4)＞0，解得a＜5.

3．(多选)在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中正确的是(　　)

A．y的最小值为1

B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2

C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

解析：选ABD　一元二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1＞0，

∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，1)，当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小；

故选项A、B的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1的图象，故选项D的说法正确．

4．已知函数y＝ax2＋bx＋3，在(－∞，－1]上函数值y随自变量x的增大而增大，在[－1，＋∞)上函数值y随自变量x的增大而减小，则(　　)

A．b＞0且a＜0  B．b＝2a＜0

C．b＝2a＞0  D．a，b的正负不定

解析：选B　由函数值的变化趋势，可知函数为一元二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，

∴∴b＝2a＜0.

5．一元二次函数y＝－x2＋2tx在[1，＋∞)上最大值为3，则实数t＝(　　)

A．±  B．

C．2  D．2或

解析：选B　y＝－x2＋2tx的图象的对称轴x＝t，开口向下，

①若t≤1，则当x＝1时，y＝－12＋2t＝3⇒t＝2，无解，

②若t＞1，则当x＝t时，y＝－t2＋2t·t＝3⇒t＝.

6．已知函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则实数t的值是________．

解析：因为函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝16－4×(－1)×t＝0，得t＝－4.

答案：－4

7．若函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，函数y＝2x－4表示一条直线，不满足题意；当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则需满足a＜0且Δ＝22－4a×(－4)＜0，解得a＜－.综上，实数a的取值范围是.

答案：

8．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为________．

解析：当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，

解得x1＝0，x2＝2.

∵当a≤x≤a＋1时，函数有最小值1，

∴a＝2或a＋1＝0，

∴a＝2或a＝－1.

答案：2或－1

9．已知一元二次函数y＝－(x＋1)2－1.

(1)画出这个函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点；

(2)抛物线y＝－x2经过怎样的变换可以得到抛物线y＝－(x＋1)2－1?

解：(1)图象如图所示，抛物线y＝－(x＋1)2－1的开口方向向下、对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．

(2)把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1.

10．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x＋x＝.若该函数的图象是由y＝－3(x－1)2的图象向上平移k个单位长度得到的，求实数k的值，并写出此函数的解析式．

解：由题意可知所求函数的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，即y＝－3x2＋6x－3＋k.

由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝.

又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，

所以4－＝，解得k＝，

所以该函数的解析式为y＝－3(x－1)2＋，

即y＝－3x2＋6x－.

[B级　综合运用]

11．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0，1]　　　　　　 B．[0，2]

C．[－2，0]  D．[－1，0]

解析：选D　y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.∵函数在[0，1]上的最大值是a2，∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.

12．是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1，1]上的取值范围为[－2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：存在，理由如下：y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2.

当a＜－1时，函数在 [－1，1]上y随x的增大而增大，∴解得a＝－1(舍去)；

当－1≤a≤0时，解得a＝－1；

当0＜a≤1时，a不存在；

当a＞1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而减小，

∴a不存在；

综上可知存在实数a，且a＝－1满足题意．