四川省巴中市巴州区巴中中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份四川省巴中市巴州区巴中中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分100分，考试时间90分钟）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1．在中，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线分别为，线与地平面所成的角分别为，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（ ）
A．5sin36°米B．5cs36°米C．5tan36°米D．10tan36°米
6．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为( )
A．B．C．D．
8．在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=csAB．sinA＞csAC．sinA＞tanAD．sinA＜csA
10．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ）
A．10B．8C．5D．2.5
11．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为( )
A．B．C．D．
12．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为【 】
A．20米B．米C．米D．米
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．
14．已知，直角三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为 ．
15．如图所示，某河提的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且边的坡度为，则河堤的高为 米．
16．在中，，则是 三角形．
17．如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行 海里．
18．如图，在中， ，平分，与交于点D，，与交于点E，，那么 ．
三、解答题（本大题6个小题，共64分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
19．计算
(1)；
(2)．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上的一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．
21．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．
（上述2小题的结果都保留根号）
22．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
，
，
．
利用这些公式求出下列三角函数值．
(1)
(2)
23．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图 所示是一辆自行车的实物图．车架档 与 的长分别为 ，且它们互相垂直，座杆 的长为 20cm，点 在同一条直线上，且 ，如图 （结果精确到 ，参考数据：）

(1)求车架档 的长．
(2)求车座点 到车架档 的距离．
24．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作于点P，求的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：，，，）
参考答案与解析
1．B
【分析】根据中，，，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．
【详解】解：，
，
是直角三角形，，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
2．C
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
【详解】解：∵，
∴，
∵为锐角，
∴，
解得：，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据图形，可以得到的值，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，
，
故选：A．
4．B
【分析】根据三角函数的定义，分别求的甲、乙、丙三人风筝的高度，即可求解．
【详解】解：根据三角函数的定义可以得到，甲、乙、丙三人风筝的高度分别为、、，
，
，
∵
∴所放风筝最高的是乙
故选为B
【点睛】此题考查了三角函数的应用，根据三角函数的定义求得每个风筝的高度是解题的关键．
5．C
【详解】∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．
故选C．
6．B
【分析】过D作EF⊥，交于E，交于F，可得DE=1，DF=2．再证明，可得DE=CF=1，然后根据勾股定理可得，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过D作EF⊥，交于E，交于F，
∵，
∴EF与都垂直，
∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，


又
∴∠α=∠CDF，


∴DE=CF=1，
∴在中，

故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，平行线间的距离，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．D
【分析】过A点作AD⊥BC，垂足为D，根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．
【详解】解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，由题意可得，
∵AD⊥BC，AD＝120m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
在Rt△ABD中，（m），
在Rt△ACD中，（m），
∴（m），
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．C
【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
【详解】∵在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
9．B
【详解】：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，csA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．
：解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cs45°，sinA随角度的增大而增大，csA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞csA，
故选：B．
10．C
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
【详解】解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴PC=OC=10，∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的判定；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
11．C
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°
∴∠DCF=∠AFE
∴在Rt△DCF中，CF=5，CD=4
∴DF=3
∴tan∠AFE=tan∠DCF=
故选：C.
【点睛】考点：1.翻折变换；2.矩形的性质；3.锐角三角函数的定义.
12．A
【详解】∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线．∴AB=2EG=30米．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=ABtan∠BAC=30×=10米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=10米，
则FD=AF•tanβ=10×∴=10米．
综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故选A．
考点：解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
13．
【详解】列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．
解：
共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，
所以概率为
故答案为．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在第四象限的情况数是解决本题的关键．
14．或
【分析】分两种情况分别计算：当第三边为斜边时以及当斜边为时分别运用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条边长分别为和，
∴当第三边为斜边时，第三边＝，
当斜边为时，第三边＝，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，在题意没有明确直角边和斜边时，注意分类讨论．
15．12
【分析】由已知斜坡的坡度，可得到的比例关系，进而由勾股定理求得的长，由此得解．
【详解】解：由已知斜坡的坡度，得：
，
设米，则米，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：或（舍去），
，
即河堤高等于12米．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形．
16．钝角
【分析】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出和，进而求出和，再求出，即可求解．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
是钝角三角形．
故答案为：钝角．
17．
【分析】如图，过点作于，根据平行线的性质得出，，根据甲船速度可求出的长，利用的余弦函数可求出的长，利用的余弦函数求出即可得答案；本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
【详解】如图，过点作于，
∴，
∴，，
∵甲货以4海里/小时的速度，行驶2小时，
∴，
∴，
∴，
∴乙货船每小时航行（海里），
故答案为：
18．10
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，作边的中线，根据可得，进而可得，结合角平分线的定义可得，则有，即可得到答案；
【详解】解：作边的中线，
∵，是边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数运算，特殊角的三角函数值；
（1）把三角函数值代入，再根据实数运算法则进行计算；
（2）把三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，，，，
原式
．
（2）解：，，，，
原式
．
20．AB＝15.
【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长．
【详解】解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DBC＝45°，
∴CD＝CB＝6，
又∵sinA＝，
∴＝，
∴AB＝15.
【点睛】本题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
21．（1）;（2）
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，构造直角三角形BDP和PDA，PD即为点P到海岸线l的距离，应用锐角三角函数即可求解．
（2）过点B作BF⊥CA于点F，构造直角三角形ABF和BFC，应用锐角三角函数即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，
设PD=x，
由题意可知 ，PBD=45°，∠PAD=30°，
∴在Rt△BDP中，BD=PD=x
在Rt△PDA中，AD=PD=
∵AB=2，∴
解得
∴点P到海岸线l的距离为
（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F，
在Rt△ABF中，，
在Rt△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°，
∴在Rt△BFC中，
∴点C与点B之间的距离为
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是根据题目中所给公式对待求式进行变形；
（1）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果；
（2）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．(1)．
(2)．
【分析】（1）在中利用勾股定理求即可．
（2）过点E作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．
【详解】（1）在中，，，
，
车架档的长是．
（2）过点作，垂足为，

，
，
车座点到车架档的距离约为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
24．（1）59°；（2）沿海城市B不会受到台风影响，见解析
【分析】（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°，再由BP⊥AC知∠ABP=60°，结合∠CBN=29°，∠ABN=90°得∠ABC=119°，继而根据∠PBC=∠ABC-∠ABP可得答案；
（2）先求出∠C=31°，由tan31°=0.60知，设BP为x海里，表示出海里，海里，根据AC=200海里建立关于x的方程，解之求出x的值，与50进行大小比较可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
设BP为x海里，
则海里，海里，
∴，
解得：，
∵，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用．