浙江省嘉兴市秀洲区浙江师范大学附属秀洲实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省嘉兴市秀洲区浙江师范大学附属秀洲实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，本大题共30分）
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
2．在不透明的袋中有5个白球，3个黑球，除颜色外其余条件均相同．从中任意摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角为，则下列关系式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．过三点一定能作一个圆B．相似三角形的面积之比等于相似比
C．圆内接平行四边形一定是矩形D．三角形的重心是三角形三边中垂线的交点
6．把二次函数的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
8．如图，是的外接圆，是的直径，，点E为弧中点，连接交于D点，连接，若，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
9．如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8
10．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，本大题共24分）
11．抛物线y＝2x2的顶点坐标是 ．
12．如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
13．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
14．某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约 （（结果精确到，参考数据：）．
15．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点E，则与的周长比为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（共有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22，23每题10分，第24题12分，共66分）
17．（1）计算：
（2）抛物线图象经过，求抛物线的最大值．
18．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
19．如图，D，E分别是上的点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．已知二次函数的图像经过直线上的两点，．
(1)求b，c，m，n的值．
(2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由．
21．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求，的长．
22．曹老师家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶，桶盖直径．（参考数据：，，），问：
(1)若，求垃圾桶盖打开张角的度数？
(2)垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？
23．已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值．
24．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】由抛物线的顶点式可直接看出对称轴是x=h.
【详解】解：∵抛物线的顶点式是
∴对称轴是x=1.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质. 掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，定点坐标为.
2．C
【分析】概率计算公式：，其中“A”表示事件，“m”表示事件A发生的总数，“n”是总事件发生的总数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的计算，解决本题的关键是正确理解概率的计算公式．
3．D
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟知弧长公式是解题的关键：弧长（n为扇形圆心角度数，R为扇形半径）．
【详解】解：由题意得，，则，，
∴四个选项中，只有D选项关系式错误，符合题意，
故选D．
4．A
【分析】根据比例性质，设a=2k，b=9k(k≠0)，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴设a=2k，b=9k(k≠0)，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用比的意义得出a=2k，b=9k是解题关键．
5．C
【分析】根据不共线的三点确定一个圆；相似三角形的面积之比等于相似比的平方；圆内接四边形对角互补；三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项判断即可．
【详解】解：A.过不共线的三点一定能作一个圆，原命题错误；
B.相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题错误；
C.∵圆内接四边形对角互补，且平行四边形的对角相等，
∴圆内接平行四边形的对角都是，
∴圆内接平行四边形一定是矩形，正确；
D.三角形的重心是三角形三边中线的交点，原命题错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的重心等知识；熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，先求得原抛物线的顶点坐标，再求得平移后的顶点坐标，根据题意得到等式，即可求解．
【详解】解：∵，此时抛物线的顶点坐标为，
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为
，即，
∵平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴，
解得：，
故选：B．
7．A
【分析】连接BC，由勾股定理得AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，则AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC＝45°，即可得出结果．
【详解】连接BC，如图3所示；
由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，延长交于M，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明，进而证明得到，进一步证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，延长交于M，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E是弧中点，
∴弧弧，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
∴，
，
（负值舍去），
，
，
同理可证，
，
，
，
,
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式得到抛物线对称轴为直线，再由，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当时，离对称轴越远，函数值越大，则，当时，离对称轴越远，函数值越小，则，两种情况都可以得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过点，，，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
当时，离对称轴越远，函数值越大，则，
∴，
∴，
当时，离对称轴越远，函数值越小，则，
∴，
∴，
综上所述，下列不等式一定成立的是D，
故选：D．
11．（0,0）．
【分析】由抛物线的顶点式的性质直接求解．
【详解】抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0,0），
故答案为：（0,0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用顶点坐标公式求得答案即可，较简单．
12．或（答案不唯一）
【分析】根据图形，结合相似三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：根据图形，可得：，
∴添加或，
∴．
故答案为：或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定定理．
13．六
【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形．
【详解】解：如图，连接OB，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出．
14．
【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，设，解可得，则，然后在中，解直角三角形求出x，即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于H，
由题意得，，，，
设，
在中，∵，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数与相似三角形综合，先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标，再根据题意求出点D的坐标，从而得到的长，再证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴，
∵轴且点D在抛物线上，
∴点C与点D关于抛物线对称轴对称轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴与的周长比，
故答案为：．
16．##2.5
【分析】以CE为边作等边△CEH，利用SAS证明△CEG≌△HEF，推出CG=FH，当FH⊥AB时，FH有最小值，即CG有最小值，再利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：以CE为边作等边△CEH，连接FH，如图甲所示，
∵△EFG和△CEH都是等边三角形，
∴EF=EG，EH=EC，∠FEG=∠HEC=60°，
∴∠FEH=∠GEC，
∴△CEG≌△HEF(SAS)，
∴CG=FH，
当FH⊥AB时，FH有最小值，即CG有最小值，
过点H作HI⊥BC于点I，如图乙所示，
∵∠B=90°，FH⊥AB，
∴四边形BFHI是矩形，
∴FH=BI，
∵△CEH是等边三角形，
∴EI=CI=CE=(BC-BE)=，
∴FH=BI=BE+EI=1+，
∴CG最小值为．
故答案为：．

图甲 图乙
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的判定，以CE为边作等边△CEH得到△CEG≌△HEF是解题的关键．
17．（1）；（2）4
【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，特殊角三角函数值的混合计算，正确求出抛物线解析式和熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）45度角的正切值为1，30度角的正弦值为，据此代值计算即可；
（2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵抛物线图象经过，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4．
18．(1)随机
(2)
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）根据题意可得，，，根据两组角对应相等的两三角形相似，即可证明；
（2）由相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
20．(1)，，，
(2)不在，理由见解析．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图像上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式即可．
（1）把点的横，纵坐标分别代入函数解析式求得相关字母的取值即可．
（2）把点的横纵坐标分别代入函数解析式的两边，若等式成立，则点在函数图像上，否则点不在函数的图像上．
【详解】（1）解：把，代入，
得：，，
∴，，
∴，
把，代入，
得：，
解得：，，
（2）由（1）知，二次函数为：，
，
将C点代入，
左边，右边，
两边不相等，∴C点不在函数图像上．
21．(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）首先连接，由为直径，可，又由是的切线，易证得，然后由，证得；
（2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案，然后由，即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
即，
，
，
，
．
（2）（2）如图，连接，
，
设，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
，
，
，解得．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．
22．(1)
(2)桶盖完全打开没有碰到桌子下沿
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图所示，连接，根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得答案；
（2）如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形，可得，解得到，
则，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴垃圾桶盖打开张角的度数为；
（2）解：如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴桶盖完全打开没有碰到桌子下沿．
23．（1）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）或．
【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论；
（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．
（3）分t＜0；；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）∵，∴顶点坐标为．
（2）∵顶点坐标为，∴当时，，
∵当时，随着的增大而增大，∴当时，．
∵当时，随着的增大而减小，∴当时，．
∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．
（3）当时，对进行分类讨论．
①当时，即，，随着的增大而增大．
当时，．
∴．
∴，解得（不合题意，舍去）．
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴．
i）当时，在时，，
∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
ii）当时在时，，
∴．
∴，解得，，（不合题意舍去）．
③当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴
∴，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．
24．(1)①3；②
(2)，
(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．