内蒙古呼和浩特实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份内蒙古呼和浩特实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。

A．B．
C．D．
2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
4．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形两底角的平分线相等
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形全等
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，则x的取值范围为1＜x＜5
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，AD平分∠BAC，AF垂直于BC的延长线于F（ ）
A．AF是△ABE的高
B．若AE，AD，AF重合，则△ABC为等腰三角形
C．∠EAD＝∠CAF
D．S△AEB＝S△ACE
6．（3分）如图，在△ABD和△ACD中，AP，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，则△ABC的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（3分）下列三角形一定为直角三角形的是（ ）
①三角形的三边之比为1：2：3；
②△ABC的三个内角的关系为；
③三角形的三个内角之比为4：5：9；
④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，若FG＝3，ED＝7（ ）
A．9B．10C．11D．12
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其沿CD折叠，使点A落在CB边上的A′处 ．
12．（3分）若A（a，b+2）与B（﹣b﹣1，2a+1）关于x轴对称，求（a+b）2023＝ ．
13．（3分）正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BDC＝ ，连接AD，则∠BAD＝ ．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 ．
16．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接PD，则t的值为 ．
一、解答题（共52分）
17．（6分）如图，四边形ABCD中，点E为AD的中点，且EF＝CE，若CD＝4
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）求AB的长．
18．（6分）如图，是A，B，C三个岛的平面图，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向上．求∠ABC和∠ACB的度数．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）如图1，求△ABC的面积 ．
（2）如图2，在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（3）如图3，在y轴上找出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，连接AD，E为是AD上一点且BE＝CE．
（1）求证：AD垂直平分BC．
（2）已知∠ABC＝75°，AB＝3，求△ABC的面积．
21．（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝∠B＝90°，连接AE，DE
（1）如图（1），若DE＝AE，证明：BC＝AB+CD．
（2）如图（2），DE平分∠ADC，证明：AD＝CD+AB．
23．（9分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
2023-2024学年内蒙古呼和浩特实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可．
【解答】解：A，B，C三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合；
C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键在于寻找出对称轴，使直线两旁的部分重合是解题的关键．
2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝55°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝55°，
∴∠ACD＝∠BCE＝55°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
4．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形两底角的平分线相等
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形全等
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，则x的取值范围为1＜x＜5
【分析】根据全等三角形的判定对A，B，C选项判断，根据三角形三边关系对D选项进行判断即可作出选择．
【解答】解：A．等腰三角形两底角的平分线相等，不符合题意；
B．一组角和腰对应相等的两等腰三角形不一定全等，符合题意；
C．两边及一边上的中线分别相等的两三角形全等，不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为2，3，x，此选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，AD平分∠BAC，AF垂直于BC的延长线于F（ ）
A．AF是△ABE的高
B．若AE，AD，AF重合，则△ABC为等腰三角形
C．∠EAD＝∠CAF
D．S△AEB＝S△ACE
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．
【解答】解：A、∵AF⊥BC，
∴AF是△ABE的BC边上的高，本选项说法正确；
B、若AE，AF重合，本选项说法正确；
C、∠EAD与∠CAF的大小不能确定，符合题意；
D、∵BE＝CE，
∴S△ABE＝S△ACE，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABD和△ACD中，AP，CD的垂直平分线，若∠PAQ＝30°，则△ABC的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由垂直平分线得到AB＝AD＝AC＝2，由等腰三角形的性质求得∠BAC＝60°，证得△ABC为等边三角形，即可求得答案．
【解答】解：∵AP，AQ分别为BD，
∴AB＝AD＝AC＝2，
∴∠BAP＝∠DAP＝∠BAD∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝5（∠DAP+∠DAQ）＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝7，
∴△ABC的周长为＝AB+BC+AC＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活应用相关知识是解决问题的关键．
7．（3分）下列三角形一定为直角三角形的是（ ）
①三角形的三边之比为1：2：3；
②△ABC的三个内角的关系为；
③三角形的三个内角之比为4：5：9；
④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由1+2＝3，3＝3，可得出三条长度之比为1：2：3的线段不能组成三角形；
②由∠A＝∠B＝∠C，结合三角形内角和定理，可求出∠C＝90°，进而可得出该三角形是直角三角形；
③根据三个内角的度数之比，结合三角形内角和定理，可求出最大内角的度数是90°，进而可得出该三角形是直角三角形；
④由三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°，结合三角形的外角性质，可求出该外角的度数为90°，结合邻补角互补，可求出与该外角相邻的内角的度数为90°，进而可得出该三角形是直角三角形．
【解答】解：①∵1+2＝8，3＝3，
∴三条长度之比为6：2：3的线段不能组成三角形，①不符合题意；
②∵∠A＝∠B＝，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，②符合题意；
③∵三角形的三个内角之比为5：5：9，
∴最大内角的度数为×180°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，③符合题意；
④∵三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为180°，
∴该外角的度数为180°÷2＝90°，
∴与该外角相邻的内角的度数为180°﹣90°＝90°，
∴该三角形是直角三角形，④符合题意．
∴符合题意的有②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、三角形的三边关系以及邻补角，逐一分析四个条件所表示的三角形是否为直角三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质分别得出AD＝DB＝2，DE＝CD＝1，即可求解．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AD＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AC⊥CD，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CA＝∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝3，
∴BC＝BD+DC＝2+1＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质以及角平分线的性质，根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质分别得出AD＝DB＝2，DE＝CD＝1是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，若FG＝3，ED＝7（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△EBG和△DFC都是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DF＝DC，然后利用等量代换和线段的和差关系可得EB+DC＝ED+FG＝10，即可解答．
【解答】解：∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠GBC，∠ACF＝∠BCF，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠BCF，
∴∠ABG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝3，ED＝7，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证明等腰三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由“筝形”的性质可得AB＝BC，AD＝CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，由直角三角形的性质可得BD＝2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD＝×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN＝EN，由线段和差关系可得MN＝AM+CN，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB＝BC，AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵AD＝CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴BD＝2AD，故②正确；
∵∠DOC＝∠DAC+∠ADB＝60°+30°＝90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD＝×AC×OD+×AC×BD；
延长BC到E，使CE＝AM，如图所示：
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCE＝90°，
又∵AM＝CE，AD＝CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∵∠ADC＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠CDN＝∠EDN＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝CE+CN＝AM+CN，
∴AM+CN＝MN，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其沿CD折叠，使点A落在CB边上的A′处 20° ．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝35°，由翻折的性质可知∠DA′C＝55°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝20°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝35°．
由翻折的性质可知：∠DA′C＝∠A＝55°．
∵∠B+∠A′DB＝∠DA′C，
∴∠A′DB＝∠DA′C﹣∠B＝55°﹣35°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，求得∠B与∠DA′C的度数是解题的关键．
12．（3分）若A（a，b+2）与B（﹣b﹣1，2a+1）关于x轴对称，求（a+b）2023＝ ﹣1 ．
【分析】关于x轴对称，所以横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵A、B关于x轴对称，
∴，
解得：a＝﹣2，b＝5，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣2，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了对称点的坐标，关键是根据关于何对称，判断横纵坐标变化．
13．（3分）正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 72° ．
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°．
【解答】解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BDC＝ 115° ，连接AD，则∠BAD＝ 25° ．
【分析】根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝130°，再根据角平分线的性质得∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）即可求出∠BDC的度数，根据三角形角平分线的性质得AD平分∠BAC，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BD与CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣65°＝115°，
连接AD，则AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°．
故答案为：115°，25°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理及三角形角平分线的性质，熟记定理和概念是解题的关键．
15．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 1.5 ．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即9+S＝12﹣S，
解得S＝1.8．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，使∠DCP＝90°，连接PD，则t的值为 2或6 ．
【分析】利用全等三角形的判定与性质解得即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS），
∴AP＝BD，
当BD＝2BP时，当0＜t≤8时，＝，
解得：t＝8，
当BD＝2BP时，当t＞3时，＝，
解得：t＝6，
综上所述，t的值为3或6，
故答案为：2或5．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
一、解答题（共52分）
17．（6分）如图，四边形ABCD中，点E为AD的中点，且EF＝CE，若CD＝4
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）求AB的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△AEF≌△DEC；
（2）由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）解：∵△AEF≌△DEC，
∴CD＝AF＝4，
∵BF＝7，
∴AB＝BF﹣AF＝2﹣4＝3．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△AEF≌△DEC解答．
18．（6分）如图，是A，B，C三个岛的平面图，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向上．求∠ABC和∠ACB的度数．
【分析】根据方向角和平行线的性质，求出∠EBA＝100°即可；根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．
【解答】解：由题意可知，∠DAC＝50°，∠EBC＝40°，
∵DA∥BE，
∴∠DAB+∠EBA＝180°，
∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；
过点C作CF∥DA，
∵DA∥BE，
∴CF∥EB，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．
答：∠ABC＝60°；∠ACB＝90°．
【点评】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）如图1，求△ABC的面积 6 ．
（2）如图2，在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（3）如图3，在y轴上找出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）取点B关于y轴的对称点B1，连接AB1，交y轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积为＝6．
故答案为：7．
（2）如图2，△A1B2C1即为所求．
A1（﹣2，3），B1（﹣7，1），C1（8，﹣1）．
（3）如图3，取点B关于y轴的对称点B6，连接AB1，交y轴于点P，连接PB，
此时PA+PB最小，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，连接AD，E为是AD上一点且BE＝CE．
（1）求证：AD垂直平分BC．
（2）已知∠ABC＝75°，AB＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定即可证的结论；
（2）过点B作BF⊥AC于F，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BAC＝30°，由含30度直角三角形的性质求出BF，根据三角形面积公式即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AD垂直平分BC；
（2）解：△ABC中，
∵AB＝AC＝3，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
过点B作BF⊥AC于F，
∴BF＝AB＝，
∴△ABC的面积＝AC•BF＝＝．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，三角形面积公式，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
21．（8分）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【分析】首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．
【解答】
已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求证：BC＝AB．
证明：
证法一：如答图所示，延长BC到D，连接AD，∠BAD＝60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD，
∴BC＝CD＝ABAB．
证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD＝，
∴∠DCA＝∠A＝30°，∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝ABAB．
证法三：如答图所示，在AB上取一点D，
∵∠B＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB＝60°，∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°＝∠A．
∴DC＝DA，即有BC＝BD＝DA＝，
∴BC＝AB．
证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，AB为⊙O的直径，
连DC有DB＝DC，∠BDC＝2∠A＝5×30°＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝DA＝ABAB．
【点评】此题考查了直角三角形性质的证明过程，能够熟练运用等边三角形的判定和性质进行证明．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝∠B＝90°，连接AE，DE
（1）如图（1），若DE＝AE，证明：BC＝AB+CD．
（2）如图（2），DE平分∠ADC，证明：AD＝CD+AB．
【分析】（1）由“AAS”可证△DCE≌△EBA，可得CE＝AB，BE＝CD，可得结论；
（2）由“ASA”可证△ADE≌△AHE，可得DE＝EH，AD＝AH，由“AAS”可证△DCE≌△HBE，可证DC＝BH，即可求解．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AE，
∴∠DEA＝90°＝∠C＝∠B，
∴∠CDE+∠DEC＝90°＝∠DEC+∠AEB，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△DCE和△EBA中，
，
∴△DCE≌△EBA（AAS），
∴CE＝AB，BE＝CD，
∴BC＝BE+CE＝AB+CD；
（2）如图（2），延长DE交AB的延长线于H，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△AHE中，
，
∴△ADE≌△AHE（ASA），
∴DE＝EH，AD＝AH，
在△DCE和△HBE中，
，
∴△DCE≌△HBE（AAS），
∴DC＝BH，
∴AD＝AH＝AB+BH＝AB+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（9分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
【分析】（1）延长CA交BE延长线于N点，根据∠1＝∠2，CE⊥CN，可得BE＝EN＝CN再证明△BAN≌△CAD可得CD＝CN即可解决；
（2）过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，证明△BQN≌△MQD，方法与（1）类似．
【解答】解：（1）2BE＝CD，
理由：延长CA交BE延长线于N点，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAN＝90°，∠1+∠5＝90°，
∴∠BAN＝∠BAC＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠7+∠3＝90°，
∵∠4＝∠4，
∴∠1＝∠3，
∵AB＝AC，
∴△BAN≌△CAD（ASA），
∴CD＝CN，
∵∠6＝∠2，CE⊥CN，
∴BE＝EN＝CN，
∴CN＝2BE，
∴CD＝2BE；
（2）8BE＝DM，
理由：过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，
∴∠ACB＝∠BMN，∠BAC＝∠BQM＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠B＝BMQ，
∴BQ＝QM，
∵，
∴＝，，
∴∠BMD＝∠NMQ，
同理可得：∠NBQ＝∠NMD，
∵∠BQN＝∠MQD＝90°，
∴△BQN≌△MQD（ASA），
∴DM＝BN，
∵∠BMD＝∠NMQ，ME⊥BN，
∴BE＝NE＝BN，
∴BN＝3BE，
∴DM＝2EB．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定合性质，属于综合题，中考常考题型．
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