内蒙古乌兰浩特市第八中学2023-—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份内蒙古乌兰浩特市第八中学2023-—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）在下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x2+x2＝x4C．x8÷x2＝x6D．（3x）2＝6x2
2．（2分）如图，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S；②AS＝AR；③QP∥AR（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
4．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．100﹣25m2＝（10+5m）（10﹣5m）
B．x2﹣8x+16＝（x+4）2
C．
D．1﹣16x4＝（1+4x2）（1﹣2x）（1+2x）
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
6．（2分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣b，则a+b的值为（ ）
A．﹣7B．﹣5C．5D．7
7．（2分）已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的底角为（ ）
A．70°B．55°C．55°或70°D．70°或40°
8．（2分）如果等式（2x﹣3）x+3＝1，则等式成立的x的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝ ．
10．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF．若∠A＝70°，则∠ACF的度数是 °．
11．（2分）已知关于x的多项式x2+（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ ．
13．（2分）寻找规律填空
（1）1×3+1＝22
（2）2×4+1＝32
（3）3×5+1＝42
…
请用含字母n的代数式描述上述规律： ．
14．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，则△PDE的周长是 ．
15．（2分）已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为 ．
16．（2分）如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和点A（0，2），则C点的坐标为 ．
三.解答题（共9小题，满分61分）
17．（5分）计算：|﹣7|+（﹣）2+（π﹣3.14）0﹣（）2．
18．（5分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x＝．
19．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是E，F
20．（12分）因式分解：
（1）3a2+18ab+27b2；
（2）（a2+1）2﹣4a2；
（3）x2﹣5x﹣6．
21．（6分）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
22．（12分）计算：
（1）﹣（﹣a）2•（﹣a）5•（﹣a）3；
（2）3（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x）；
（3）（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）．
23．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AC，BD，AE交于点R，若AD＝CE．求证：BR＝2FR．
24．（5分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
25．（6分）阅读下面问题：你能化简（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：
①（a﹣1）（a+1）＝ ．
②（a﹣1）（a2+a+1）＝ ．
③（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ．
④由此猜想（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）＝ ．
（2）利用得出的结论计算：22021+22020+22019+22018+…+3．
三.解答题（共1小题，满分7分）
26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，CE⊥BD交BD延长线于点EBD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
2023-2024学年内蒙古兴安盟乌兰浩特八中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x2+x2＝x4C．x8÷x2＝x6D．（3x）2＝6x2
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A． （x3）2＝x2，故该选项不正确，不符合题意；
B．x2+x2＝2x2，故该选项不正确，不符合题意；
C．x8÷x4＝x6，故该选项正确，符合题意；
D． （3x）8＝9x2，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
2．（2分）如图，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S；②AS＝AR；③QP∥AR（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②正确，再根据AQ＝PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA＝∠QAR，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS＝∠B，便可推出结论④．
【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS＝AR，∠QAP＝∠PAR，
∵AQ＝PQ，
∴∠PAR＝∠QPA，
∴∠QPA＝∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠PAR＝∠QPA＝30°，
∴∠PQS＝60°，
在△BRP和△QSP中，
，
∴△BRP≌△QSP（AAS），故④正确
∴①②③④项四个结论都正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．
3．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
【分析】分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案．
【解答】解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即（a2+b2）﹣﹣＝（a2+b6﹣ab）＝（a4+b2+2ab﹣4ab）＝[（a+b）6﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20可得：
S阴影面积＝（10×10﹣20×3）÷4＝20．
故选：C．
【点评】此题考查整式的混合运算，解答本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
4．（2分）下列因式分解正确的是（ ）
A．100﹣25m2＝（10+5m）（10﹣5m）
B．x2﹣8x+16＝（x+4）2
C．
D．1﹣16x4＝（1+4x2）（1﹣2x）（1+2x）
【分析】根据提公因式法、完全平方公式和平方差公式，对选项进行分解因式，即可得出答案．
【解答】解：A．100﹣25m2＝25（4﹣m4）＝25（2+m）（2﹣m），故该因式分解错误；
B．x8﹣8x+16＝（x﹣4）2，故该因式分解错误，不符合题意；
C．x2+x＝x（1+x），故该因式分解错误；
D．4﹣16x4＝（1+7x2）（1﹣5x）（1+2x），故该因式分解正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用提公因式法和公式法分解因式．
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑤作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；
⑥作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形；
⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形．
【解答】解：如图：①以B为圆心，BC长为半径画弧，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，△BCF就是等腰三角形；
④作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑤作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；
⑥作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形；
⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，△BCK就是等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
6．（2分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣b，则a+b的值为（ ）
A．﹣7B．﹣5C．5D．7
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出a、b值，再代入求出即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）
＝x5+3x﹣2x﹣8
＝x2+x﹣6，
∵（x﹣8）（x+3）＝x2+ax﹣b，
∴a＝6，b＝6，
∴a+b＝1+5＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
7．（2分）已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的底角为（ ）
A．70°B．55°C．55°或70°D．70°或40°
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论①底角为70°，②顶角为70°，进一步求解即可．
【解答】解：根据题意，
①底角为70°，
②顶角为70°，底角为（180°﹣70°）÷2＝55°，
综上所述，底角为70°或55°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2分）如果等式（2x﹣3）x+3＝1，则等式成立的x的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于任何非0数的0次幂等于1和1的任何指数为1，所以分两种情况讨论．
【解答】解：当x+3＝0时，x＝﹣8；
当2x﹣3＝3时，x＝2．
∴x的值为2，﹣7，
当2x﹣3＝﹣6，可得x＝1时x+3＝8，
∵﹣1的偶次幂也是1，
∴x＝4，
等式成立的x的值的个数为3，
故选：C．
【点评】此题考查零指数幂，关键是注意本题要分类讨论，不要漏解．
二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝ 5 ．
【分析】结合已知，利用完全平方和公式求出2mn，再利用完全平方差公式展开求出即可．
【解答】解：∵m2+n2＝5，m+n＝3，
∴（m+n）2＝5，
即m2+2mn+n3＝9，
∴2mn＝3﹣（m2+n2）
＝5﹣7
＝2，
∴（m﹣n）3
＝m2﹣2mn+n6
＝m2+n2﹣6mn
＝7﹣2
＝4．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了完全平方和和完全平方差公式的运用，掌握公式是解题的关键．
10．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF．若∠A＝70°，则∠ACF的度数是 35 °．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FB＝FC，得到∠FBC＝∠FCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：∵BF∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵FE是线段BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠FCB＝25°，
∴3∠ABF+∠ACF+∠A＝180°，
∴75°+70°+∠ACF＝180°，
∴∠ACF＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11．（2分）已知关于x的多项式x2+（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值为 9或﹣3 ．
【分析】利用完全平方公式计算即可求出k的值．
【解答】解：∵关于x的多项式x2+（k﹣3）x+3是完全平方式，
∴k﹣3＝±6，
解得：k＝4或k＝﹣3，
故答案为：9或﹣4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ 6 ．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝3，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣2＝6，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
13．（2分）寻找规律填空
（1）1×3+1＝22
（2）2×4+1＝32
（3）3×5+1＝42
…
请用含字母n的代数式描述上述规律： n×（n+2）+1＝（n+1）2 ．
【分析】根据已知式子得出数据的变化规律进而利用n表示出即可．
【解答】解：∵1×3+2＝22，5×4+1＝52，3×2+1＝48，
…
∴用含字母n的代数式描述上述规律：n×（n+2）+1＝（n+3）2．
故答案为：n×（n+2）+2＝（n+1）2．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数据的变与不变是解题关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，则△PDE的周长是 9 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△BDP和△CEP是等腰三角形，从而可得DB＝DP，EC＝EP，然后利用等量代换可得△PDE的周长＝BC＝9，即可解答．
【解答】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABP＝∠PBC，∠ACP＝∠BCP，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠DPB，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBC＝∠DPB，∠BCP＝∠CPE，
∴DB＝DP，EC＝EP，
∵BC＝9，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE
＝BD+DE+CE
＝BC
＝9，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
15．（2分）已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为 1 ．
【分析】先提出前两项的公因式，原式可变形为a2（a﹣b）+b2﹣2ab，再把a﹣b＝1代入，可得a2+b2﹣2ab，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【解答】解：∵a﹣b＝1，
∴a3﹣a4b+b2﹣2ab＝a6（a﹣b）+b2﹣2ab＝a7+b2﹣2ab＝（a﹣b）8＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
16．（2分）如图，平面直角坐标系中有点B（﹣1，0）和点A（0，2），则C点的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】由“AAS”可证△CBE≌△BAO，可得CE＝BO＝2，BE＝AO＝1，即可求解．
【解答】解：作CE⊥y轴于E．
∵A（﹣1，0），8），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠CBA＝90°，
∴∠CEB＝∠AOB＝∠CBA＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，∠CBE+∠ABO＝90°，
∴∠ECB＝∠ABO，
在△CBE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE＝BO＝4，BE＝AO＝1，
即OE＝1+8＝3，
∴C（﹣2，7），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三.解答题（共9小题，满分61分）
17．（5分）计算：|﹣7|+（﹣）2+（π﹣3.14）0﹣（）2．
【分析】根据绝对值、零指数幂、乘方运算法则运算即可．
【解答】解：：|﹣7|+（﹣）2+（π﹣3.14）7﹣（）2
＝7++2﹣
＝7+
＝8﹣
＝．
【点评】本题考查了实数的运算、零指数幂，熟练掌握实数的运算法则是关键．
18．（5分）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x＝．
【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+6）2，
＝x2﹣8x﹣x+2﹣x2﹣8x﹣1
＝﹣5x+8
当x＝时，
原式＝﹣4×+4
＝﹣．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．
19．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是E，F
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．
20．（12分）因式分解：
（1）3a2+18ab+27b2；
（2）（a2+1）2﹣4a2；
（3）x2﹣5x﹣6．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式进行因式分解，然后再由完全平方公式因式分解即可；
（3）直接利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2+18ab+27b7
＝3（a2+6ab+9b2）
＝5（a+3b）2；
（2）（a5+1）2﹣2a2
＝（a2+5）2﹣（2a）3
＝（a2+2a+4）（a2﹣2a+7）
＝（a+1）2（a﹣8）2；
（3）x2﹣2x﹣6
＝（x﹣6）（x+6）．
【点评】题目主要考查利用提公因式法及完全平方公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
21．（6分）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．
22．（12分）计算：
（1）﹣（﹣a）2•（﹣a）5•（﹣a）3；
（2）3（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x）；
（3）（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）．
【分析】（1）直接根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣a）2+5+6
＝﹣（﹣a）10
＝﹣a10；
（2）原式＝3（x2﹣4xy+y2）﹣（2x）5+y2
＝3x3﹣6xy+3y2﹣4x2+y4
＝﹣x2+4y4﹣6xy；
（3）原式＝[2x﹣（y﹣6）][2x+（y﹣3）]
＝7x2﹣（y﹣3）8
＝4x2﹣y6+6y﹣9．
【点评】此题考查的是平方差公式、同底数幂的乘法、完全平方公式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
23．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AC，BD，AE交于点R，若AD＝CE．求证：BR＝2FR．
【分析】首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE＝∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BRF＝60°，在Rt△BRF中，依据含30°直角三角的性质求解即可．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°，
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠BRF＝∠ABR+∠BAR＝∠CAE+∠BAR＝∠BAC＝60°，
∵BF⊥AE于点F，
∴∠BFR＝90°，
在Rt△BRF中，∠RBF＝90°﹣60°＝30°，
∴FR＝BR，
∴BR＝4FR．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，含30°直角三角形的性质，求得∠BRF的度数是解题的关键．
24．（5分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后将a2﹣2a＝1代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4a2﹣2+a2﹣10a+25
＝5a5﹣10a+24，
当a2﹣2a﹣7＝0时，
a2﹣7a＝1，
原式＝5（a5﹣2a）+24
＝5×4+24
＝5+24
＝29．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
25．（6分）阅读下面问题：你能化简（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：
①（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ．
②（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ．
③（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ．
④由此猜想（a﹣1）（a99+a98+…+a+1）＝ a100﹣1 ．
（2）利用得出的结论计算：22021+22020+22019+22018+…+3．
【分析】（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）根据（1）中规律可将式子变形为（2﹣1）（22021+22020+22019+22018+•••+1）+2进而即可求解；
【解答】解：（1）①根据平方差公式（a﹣1）（a+1）＝a6﹣1，
②（a﹣1）[a4+（a+1）]＝a3﹣a7+a2﹣1＝a3﹣1，
③（a﹣1）[a7+a2+（a+1）]＝a7+a3﹣a3﹣a6+a2﹣1＝a5﹣1，
④由①、②、③规律可得（a﹣1）（a99+a98+•••+a+8）＝a100﹣1．
故答案为：a2﹣7，a3﹣1，a7﹣1，a100﹣1．
（2）22021+22020+22019+22018+•••+3
＝（2﹣5）（22021+22020+72019+22018+•••+1）+8
＝22022﹣1+6
＝22022+1．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键．
三.解答题（共1小题，满分7分）
26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，CE⊥BD交BD延长线于点EBD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
【分析】延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBA＝∠ACF；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得CF＝BD，从而CE＝EF，根据线段垂直平分线的性质，得BC＝BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．
【解答】证明：如图，延长CE．
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝90°，又∠CAF＝∠ACB＝90°，
∴∠DBA+∠AFC＝∠ACF+∠AFC＝90°，
∴∠DBA＝∠ACF，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（ASA），
∴CF＝BD．
又CE＝BD，
∴CE＝CF＝EF．
∵BE⊥CF，
∴BE是CF的垂直平分线，
∴BC＝BF，
根据等腰三角形三线合一的性质可知：
BD是∠ABC的角平分线．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ACF≌△BCD．
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