2021-2022学年山东省泰安市泰山区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2021-2022学年山东省泰安市泰山区九年级（上）期中数学试卷（五四学制），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省泰安市泰山区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题；每小题4分，共48分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1．（4分）计算tan60°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．（4分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x﹣1 D．xy＝10
3．（4分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．（4分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．其最小值为5
5．（4分）如果等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
6．（4分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（　　）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
7．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣1 B．y＝（x﹣4）2+7
C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x+2）2+7
8．（4分）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上结论都正确
11．（4分）如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。只要求填写最后结果）
13．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　 　．
14．（4分）若二次函数y＝的图象开口向上，则m＝　 　．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1，若其顶点在x轴上，则m＝　 　．
16．（4分）如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得图象为点P′．则经过点P′的反比例函数图象的关系式是 　 　．

17．（4分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是4，则k的值为 　 　．

18．（4分）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A…An﹣1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 　 　

三、解答题（本大题共7个小题，满分78分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求k的值．

21．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，﹣3）和点B（2，5）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）求这个函数图象的顶点坐标；
（3）在所给坐标系中画出这个函数的图象．

22．（12分）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3.8米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

23．（13分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

24．（13分）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．
②当S取得最值时，求点P的坐标；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


2021-2022学年山东省泰安市泰山区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题；每小题4分，共48分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1．（4分）计算tan60°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝，
故选：D．
2．（4分）下列函数不是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x﹣1 D．xy＝10
【分析】根据反比例函数的定义，知道反比例函数的形式有：y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．
【解答】解：A，C，D选项都是反比例函数的形式，故A，C，D选项都不符合题意；
B选项不是反比例函数的形式，它是正比例函数，故该选项符合题意；
故选：B．
3．（4分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
k＝﹣6＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝3，即该函数过点（﹣2，3），故选项A不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（4分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．其最小值为5
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+5，a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＝1时取得最大值5，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（4分）如果等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】利用三角形面积公式得出xy＝6，进而得出答案．
【解答】解：∵等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy＝6，
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故选：A．
6．（4分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（　　）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
【分析】根据解直角三角形需要满足的条件，逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵选项C、D缺少边的条件，A缺少锐角的条件，
∴不能解直角三角形，
选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC．
故选：B．
7．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣1 B．y＝（x﹣4）2+7
C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x+2）2+7
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线表达式为y＝（x﹣1+3）2+3﹣4，即y＝（x+2）2﹣1．
故选：C．
8．（4分）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
【分析】根据一元二次方程判别式判断抛物线与x轴交点个数，注意m﹣1≠0．
【解答】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝﹣ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
10．（4分）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上结论都正确
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，
ax2+bx+c＝﹣x变形为ax2+（b+1）x+c＝0，
∴ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
11．（4分）如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G，由S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF求解．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G．

把x＝a代入y＝得y＝，
把x＝3a代入y＝得y＝，
∴AD＝3BE，
∴点B是AC的三等分点，
∴DE＝a﹣3a＝﹣2a，CE＝﹣a，
∵k＜0，
∵S△AOF＝＝﹣，
∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（AF+OE+CE）•OF+＝×（﹣5a）×（）+＝12，
∴k＝﹣6．
故选：A．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴即可判断①；由二次函数的性质即可判断②④，由x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即可判断③．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随着x的增大而增大，所以②错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。只要求填写最后结果）
13．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　　．
【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于sinA＝＝，可设a＝k，则c＝5k，
由勾股定理得，b＝＝2k，
∴tanA＝＝，
故答案为：．
14．（4分）若二次函数y＝的图象开口向上，则m＝　2　．
【分析】根据二次函数的定义和性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝的图象开口向上，
∴，
解得m＝2，
故答案为：2．
15．（4分）抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1，若其顶点在x轴上，则m＝　﹣3　．
【分析】抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标＝0，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．（4分）如图，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得图象为点P′．则经过点P′的反比例函数图象的关系式是 　y＝　．

【分析】先将P点横坐标代入解析式求出P点纵坐标，再根据平移规律求出P′的坐标，利用待定系数法即可求出经过点P'的反比例函数图象的解析式．
【解答】解：∵点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且横坐标为2，
∴点P的纵坐标为y＝，
∴P点坐标为（2，）；
将点P先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得图象为点P'（4，）．
设经过点P'的反比例函数图象的解析式是y＝，
把点P'（4，）代入得：＝，
∴k＝10．
∴反比例函数图象的解析式是y＝．
故答案为：y＝．
17．（4分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是4，则k的值为 　﹣8　．

【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是4，得出BC×OE＝8，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．
【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是4，
∴×BC×OE＝4，即BC×OE＝8，
∵AB∥OE，
∴＝，即BC•EO＝AB•CO，
∴8＝b×（﹣a），即ab＝﹣8，
∴k＝﹣8，
故答案为：﹣8．
18．（4分）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A…An﹣1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 　　

【分析】设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（2，y2），P3点的坐标为（3，y3）…Pn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn﹣1的值，故可得出结论．
【解答】解：（1）设OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…Pn（n，yn），
∵P1，P2，P3…Pn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
∴Sn﹣1＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝（1﹣+﹣+﹣+…﹣）＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共7个小题，满分78分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．

【分析】由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB＝＝＝4，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求k的值．

【分析】由y＝﹣3x+k求得C为（，0），即可得出B的横坐标，代入y＝（x＞0）求得纵坐标为3，从而求得D的坐标，代入y＝﹣3x+k即可求得k的值．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+k，得x＝，
∴C（，0），
.∵BC⊥x轴，
∴点B横坐标为，
把x＝代入y＝，得y＝3，
∴B（，3），
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∴D（，3），
∵点D在直线y＝﹣3x+k上，
∴3＝﹣3×+k，
∴k＝6．
21．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，﹣3）和点B（2，5）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）求这个函数图象的顶点坐标；
（3）在所给坐标系中画出这个函数的图象．

【分析】（1）将点A（﹣2，﹣3）和点B（2，5）分别代入解析式，列方程组即可求出b、c的值，从而得到抛物线解析式．
（2）根据（1）中的解析式，配方后即可求出图象的顶点坐标和对称轴．
（3）找到对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点即可画出图象．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣3）和点B（2，5）分别代入解析式得，
解得，
则二次函数的解析式y＝x2+2x﹣3．

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．

（3）当y＝0时，原式可化为x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1或x2＝﹣3，
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）（﹣3，0），
又∵其顶点坐标和对称轴分别为（﹣1，﹣4）直线x＝﹣1，
∴函数图象为：
．
22．（12分）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3.8米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

【分析】过C作CM∥AB交AD于点M，过M作MN⊥AB于点N，由题意得＝，求出CM的长，再在Rt△AMN中利用tan60°＝，求出AN的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过C作CM∥AB交AD于点M，过M作MN⊥AB于点N．
则四边形BCMN是矩形，
∴MN＝BC＝4米，BN＝CM，
由题意得：＝，
即＝，
解得：CM＝1.9（米），
在Rt△AMN中，∠ANM＝90°，MN＝BC＝4米，∠AMN＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴AN＝4（米）．
∵BN＝CM＝1.9米，
∴AB＝AN+BN＝4+1.9≈8.8（米），
答：旗杆的高度约为8.8米．

23．（13分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可求得△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝6，
又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；

（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
∴CO＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+＝9．
24．（13分）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45）、（24，36）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∵15≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元．
25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．
②当S取得最值时，求点P的坐标；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）①求出顶点坐标，直线MB的解析式，由PD⊥x轴且OD＝m知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代数式表示出S；②在①和情况下，将S与m的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；
（3）分情况讨论，如图2﹣1，当∠CPD＝90°时，推出PD＝CO＝3，则点P纵坐标为3，即可写出点P坐标；如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，证∠PDC＝∠OCD，由锐角三角函数可求出m的值，即可写出点P坐标；当∠PDC＝90°时，不存在点P．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得 ，
解得，，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线BM的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），M（1，4）代入，
得 ，
解得 ，
∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，
∵PD⊥x轴且OD＝m，
∴P（m，﹣2m+6），
∴S＝S△PCD＝PD•OD＝m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m，
即S＝﹣m2+3m，
∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），
∴1≤m≤3；

②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＞0，
∴当m＝时，S取最大值，
∴P（，3）；

（3）存在，理由如下：
如图2﹣1，当∠CPD＝90°时，
∵∠COD＝∠ODP＝∠CPD＝90°，
∴四边形CODP为矩形，
∴PD＝CO＝3，
将y＝3代入直线y＝﹣2x+6，
得，x＝，
∴P（，3）；

如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，
∵OC＝3，OD＝m，
∴CD2＝OC2+OD2＝9+m2，
∵PD∥OC，
∴∠PDC＝∠OCD，
∴cos∠PDC＝cos∠OCD，
∴＝，
∴DC2＝PD•OC，
∴9+m2＝3（﹣2m+6），
解得，m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3，
∴P（﹣3+3，12﹣6），

当∠PDC＝90°时，
∵PD⊥x轴，
∴不存在，
综上所述，点P的坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）．