吉林省吉林市昌邑区第九中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份吉林省吉林市昌邑区第九中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，A错误，故不符合要求；
B. 是反比例函数，B正确，故符合要求；
C. 不反比例函数，C错误，故不符合要求；
D. 不是反比例函数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2. 已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，的对称轴为，顶点坐标为．
【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线，
故选：C．
3. 下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据一元二次方程有实数根，可以判断，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
∴解得：，
故选：D．
5. 如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．由相似三角形的判定，逐项判定即可．
【详解】解：A、两三角形两边对应成比例，但两边夹角和不一定相等，不能判定与相似，故此选项不符合题意；
B、由，只能推出，不能判定与相似，故此选项不符合题意；
C、，，不能判定与相似，故此选项不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判定与相似，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，在半径为5的中，弦长5，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件判定是等边三角形，得到，然后由圆周角定理推出，即可获得答案．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 已知与相似且面积比为，则与周长比为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵，
∴与的面积比等于相似比的平方，
∵，
∴与的相似比为．
故答案为：．
8. 若反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，则常数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大，得出，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
9. 如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a=________.
【答案】-6
【解析】
【详解】∵，
∴，
∴ a= -6.
10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的度数为_________．

【答案】##40度
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11. 如图，若抛物线上的，它的对称轴对称，则当时，x的取值范围是______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的图象可求当时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
12. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形ABCD的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，过点作轴于点，则四边形是矩形，根据反比例函数系数的几何意义可得，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，，
四边形是矩形，，
点是反比例函数的图象上一点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
13. 为了测量树木的高度，小壮把老师教学用的直角三角板直立于地面进行测量．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，则树高________m．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
【详解】解：由题意可得，，
，
，
，
即，
解得，
∴树高，
故答案为：6．
14. 如图，在，，，，以为直径的半圆交于点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用扇形面积公式求解不规则图形面积，连接，过作于，根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半及勾股定理求出，，，结合扇形面积公式即可得到答案；
【详解】解：连接，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：
【答案】，．
【解析】
【分析】先找出a，b，c，再求出，根据公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
考点：解一元二次方程-公式法．
16. 已知关于的反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）判断该反比例函数图象经过的象限．
【答案】（1）；
（2）第一、三象限．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质；
（1）根据图象经过点的意义，代入计算即可；
（2）根据反比例函数符号进行判断即可．
【小问1详解】
解：图象经过点，
，
解得：．
【小问2详解】
解：当时，
，
，
双曲线的两支分别位于第一、三象限．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在所给平面直角坐标系中以原点为位似中心，在第三象限画出的位似，使它与的相似比为．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查坐标系中的位似变化，根据位似的性质作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求；

18. 当当和叮叮玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的4张黑桃牌的正面，将这4张牌洗匀后正面朝下放在桌上，当当先从中抽出一张，叮叮从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】公平．理由见详解
【解析】
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出当当抽出的牌面上的数字大的结果数和叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数，然后计算她们获胜的概率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平．
【详解】解：公平．理由如下：
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果数为6，叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数为6，
所以当当获胜的概率叮叮获胜的概率，
所以该游戏公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．熟练掌握列表法与树状图法是本题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务．
（1）每天完成的页数与所需天数之间是什么函数关系？
（2）若要求5天完成，求每天应完成多少页？
【答案】（1）；
（2）160页．
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用；
（1）运用每天完成的页数所需天数总页数进行求解；
（2）将代入（1）所得函数关系式进行求解．
【小问1详解】
解：由题意，得，
整理，得，
∴每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系
【小问2详解】
由题意，得，
解得，
∴每天应完成160页.
20. 如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点．
求证：．

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据，为的中点，可以得出，即可求证．
【详解】证明：，为的中点，
，
又，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
21. 如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．

【答案】见详解
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
直线与相切．
点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
22. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可．
【小问1详解】
由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质，一次函数的性质．
（1）根据反比例函数过点得反比例函数的关系式为，根据得B的纵坐标为，当时，，计算得，根据，两点在上得，进行计算即可得；
（2）根据函数图象即可得；
（3）设，根据得，根据得，即可得，进行计算得，根据点P为反比例函数在第一象限图象上的一点得，进行计算即可得．
【小问1详解】
解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵，
∴B的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴，
∵，两点在上，
解得：
∴一次函数的关系式为．
【小问2详解】
解：根据函数图象得，或．
【小问3详解】
解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点，
∴，
解得，
∴．
24. 【问题背景】中，，，为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转．
图① 图②
【用数学的眼光观察】
（1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：________；
①；②；③；④．
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、．与相似吗？请说明理由．
【答案】（1）②③④；（2），理由见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定．
（1）找出与的对应角，其中，得出，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∴，故②正确；
∴，故④正确；
故答案为：②③④ ．
（2），
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴.
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点不与点重合时，作交边于点，当点和点重合时，点停止运动，以为直角边向右作等腰，使，设点的运动时间为秒．

（1）线段的长为________（用含的代数式表示）；
（2）当点落在边上时，求线段的长；
（3）连接，当与相似时，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）先求出，可得，，根据运动的特点可知：，即有，可得；
（2）先表示出，可得，根据运动的特点可知：，即有；当点落在边上时，先证明，即有，可得，问题随之得解；
（3）先得出，，即有，当时，可得，，可得出，即有，t可求出；当时，可证明，进而有，结合，可得四边形是正方形，结合，t可求出．
【小问1详解】
∵在中，，，，
∴，
∴，，
根据运动的特点可知：，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵在中，，，
∴，
∴，
根据运动的特点可知：，
∴，
∴；
当点落在边上时，如图，

∵等腰中， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵等腰中， ，，
∴，，
∴，
当时，如图，

∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
当时，如图，

∴，，
∵，，
∴，
∴，
结合，可得四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴舍去，
综上：时，与；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，注重分类讨论的思想，掌握相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
26. 如图，已知抛物线（、是常数）的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线与轴的正半轴的交点，作直线，点是抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作于点，以、为邻边作矩形．

（1）填空：________，________；
（2）当点在线段上（点不与、重合）时，求的长度与的函数关系式，并直接写出的最大值；
（3）当抛物线被矩形截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点的坐标．
【答案】（1）；；
（2），最大值为；
（3）或．
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题型，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、矩形的性质、中点坐标公式、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合思想与转化思想的运用是解答的关键．
（1）写出抛物线顶点式展开即可求解；
（2）先求得点A坐标，再求得直线的解析式，根据题意，，则，，进而有，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意，分三种情况：当点P在对称轴的左侧时；当点P在直线上方时；当点P在对称轴的右侧且在直线的下方时，根据题意列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点B坐标为，
∴，
∴，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：令，由得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
根据题意，，则，，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
【小问3详解】
解：由题意，，则，
当点P在对称轴的左侧时，点P在直线的下方，则，抛物线被矩形截得的部分图象的最高点纵坐标为2，最低点纵坐标为，
由题意，，解得（舍去），，
∴；
当点P在对称轴的右侧且在直线上方时，抛物线被矩形截得的部分为点P，不符合题意；
当点P在对称轴的右侧且在直线的下方时，，抛物线被矩形截得的部分图象的最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，
由题意，，解得，（舍去），
则，
∴，
综上，满足条件的点P坐标为或．