2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄西片八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄西片八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，补充下列条件不能证明ΔABC≅ΔDEF的是
( )
A. AD=CFB. BC//EFC. ∠B=∠ED. BC=EF
3.等腰三角形的两条边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为
( )
A. 8或10B. 8C. 10D. 11
4.下列实数中，无理数的是
( )
A. 0B. 4C. 13D. −π
5.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是
( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，23
6.已知实数a= 13，a介于两个连续自然数之间，则下列正确的是
( )
A. 17.如图，在ΔABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上(不含端点B，C)的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有
( )
A. 5个B. 3个C. 2个D. 1个
8.近似数3.45万精确到哪一位
( )
A. 百分位B. 十分位C. 百位D. 万位
9.如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是
( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
10.如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF=1，将点E绕着点F顺时针旋转90∘得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为
( )
A. 3B. 2.5C. 4D. 10
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.4的平方根是 ，−8的立方根是 ．
12.如果等腰三角形的一个角等于80∘，则它的顶角等于_ _度．
13.如图，ΔABC≅ΔDEF，若BC=5，EC=3，则CF的长为 ．
14.如果一个正数x的平方根为a+1和a−5，那么这个正数x的值是 ．
15.如图，在RtΔABC中，∠B=90∘，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1=16，S2=25，则BC的长为 ．
16.如图，在四边形ABCD中，AB=6，AD=AC=8，∠BAD=∠BCD=90∘．M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN= ．
17.在一个长2.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
18.如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG，AF=8，AB=10，ΔAEG的面积为15，则BD的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
(1) 9+|−5|−22；
(2)(3−π)0−|−14|+ 36+2−2．
20.(本小题8.0分)
求下列各式中的x的值
(1)4x2−8=0
(2)(x+10)3=−27．
21.(本小题8.0分)
若实数m，n满足等式(2m+4)2+ 4−n=0．
(1)求m，n的值；
(2)求3n−2m的平方根．
22.(本小题8.0分)
如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
(1)求证：AC=AD．
(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F.(不写作法，保留作图痕迹)
23.(本小题8.0分)
如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，AB=10，BC=6．
(1)作图：作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，求线段EF的长．
24.(本小题8.0分)
如图，ΔABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
(1)求证：DC=BE；
(2)若∠AEC=60∘，求∠BCE的度数．
25.(本小题8.0分)
如田是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ΔABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)AC的长为__；
(2)ΔBAC的面积__；
(3)利用网格画ΔBAC的角平分线AD；
(4)E是AC与网格线的交点，请在AD上找一个点Q，使得QC+QE最小．
26.(本小题8.0分)
【情境建模】(1)苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．
小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．如图1，已知，点D在ΔABC的边BC上，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC.请你帮助小明完成证明．
请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
【理解内化】(2)①如图2，在ΔABC中，AD是角平分线，过点B作AD的垂线交AD、AC于点E、F，∠ABF=2∠C，求证：BE=12(AC−AB)．
②如图3，在四边形ABDC中，BC= 7，AC−AB= 2，AD平分∠CAB，AD⊥CD，当ΔBCD的面积最大时，请直接写出此时CD的长．
【拓展应用】(3)如图4，ΔABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB=90∘，AC=15m，BC=20m，该绿化带中修建了健身步道．OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB.现要用围挡完全封闭ΔCMN区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，请直接写出围挡的长度．(步道宽度和接头忽略不计)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：∵AB=DE，∠A=∠EDF，
∴只要AC=DF即可判断ΔABC≅ΔDEF，
∵当AD=CF时，可得AD+DC=DC+CF，即AC=DF，
当BC//EF时，∠ACB=∠F，可以判断ΔABC≅ΔDEF，
当∠B=∠E时，可以判断ΔABC≅ΔDEF，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；
B、 4=2，2是有理数，故本选项不符合题意；
C、13是有理数，故本选项不符合题意；
D、−π是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为12+12=( 2)2，故三角形是直角三角形．故此选项正确；
C、因为62+82≠112，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为52+122≠232，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【解答】解：∵9<13<16，
∴3< 13<4．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE=12BC=4，
∴AE= 52−42=3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．
∴3≤AD<5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据一个近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位即可．
【解答】解：近似数3.45万精确到百位；
故选：C．
9.【答案】D
【解析】【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结果．
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为12，
则BC=12×12=6，
又因为AC=8，
所以AB= BC2+AC2= 62+82=10，
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10，
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF=90∘，根据正方形的性质可得AB=CD=5，∠B=90∘，根据旋转的性质可得EF=FG，∠EFG=90∘，然后利用同角的余角相等可得∠BEF=∠GFH，从而可证ΔEBF≅ΔFHG，进而可得BF=GH=1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=5，∠B=90∘，
∴∠B=∠GHF=90∘，
由旋转得：
EF=FG，∠EFG=90∘，
∴∠EFB+∠GFH=90∘，
∵∠BEF+∠BFE=90∘，
∴∠BEF=∠GFH，
∴ΔEBF≅ΔFHG(AAS)，
∴BF=GH=1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG=5−1=4，
∴DG的最小值为4，
故选：C．
11.【答案】±2
−2

【解析】【分析】根据平方根以及立方根的定义即可求解．
【解答】解：4的平方根是：±2；−8的立方根是−2．
故答案为：±2；−2．
12.【答案】80或20
【解析】【分析】当等腰三角形的一个角等于80∘时，分2种情况；①当等腰三角形的一个角等于80∘时，等腰三角形的顶角与其相等，②当等腰三角形的顶角等于80∘，时，利用三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解；当等腰三角形的一个角等于80∘时，则有2种情况；
①当等腰三角形的一个角等于80∘时，等腰三角形的顶角等于80∘时，
②当等腰三角形的顶角等于80∘时则它的底角为：(180−80−80)=20∘
故答案为：80或20．
13.【答案】2
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可得EF=BC=5，然后利用等式性质求得答案即可．
【解答】解：∵ΔABC≅ΔDEF，
∴EF=BC=5，
∵EC=3，
∴CF=EF−EC=2，
故答案为：2．
14.【答案】9
【解析】【分析】根据一个正数的平方根有两个且它们互为相反数，可求得a=2，进而求出这个正数即可．
【解答】解：∵一个正数x的平方根为a+1和a−5，
，
∴a=2，
∴x=(a+1)2=32=9．
故答案为：9．
15.【答案】6
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质结合S1与S2的值推出AB2与AC2的值，再根据勾股定理即可得出BC的长．
【解答】解：如图，
∵ΔABE与ΔACE都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AE=CE，
∵S1=12AD⋅BD=16，S2=12AE⋅CE=25，
∴AD2=BD2=32，AE2=CE2=50，
∴AB2=AD2+BD2=64，AC2=AE2+CE2=100，
∴BC= AC2−AB2= 100−64=6，
故答案为：6．
16.【答案】3
【解析】【分析】根据勾股定理及直角三角形的性质可知ΔACM是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】解：连接MC，
∵∠BAD=90∘，AB=6，AD=8，
∴在RtΔABD中，BD= AB2+AD2=10，
∵点M为BD的中点，∠BCD=90∘，
∴AM=CM=12BD=5，
∴ΔACM是等腰三角形，
∵点N为AC的中点，AC=8，
∴MN⊥AC，AN=12AC=4，
∴∠ANM=90∘，
∴在RtΔANM中，MN= AM2−AN2=3，
故答案为：3．
17.【答案】 10
【解析】【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可．
【解答】解：如图，将木块展开，得到右图的长方形，
右图长方形的AB相当于是2.5+0.5+0.5−0.5=3，
宽仍然为1米．
于是最短路径为： 32+12= 10(米)．
故答案为： 10．
18.【答案】2 10
【解析】【分析】由DG=EG，得SΔADG=SΔAEG，则SΔAED=SΔADG+SΔAEG，由翻折得SΔABD=SΔAED，因为AD垂直平分BE，所以∠AFB=∠DFB=90∘，则BF= AB2−AF2，由12AD⋅BF=SΔABD，求出AD、DF的值，则BD= BF2+DF2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DG=EG，ΔAEG的面积为15，
∴SΔADG=SΔAEG=15，
∴SΔAED=SΔADG+SΔAEG=15+15=30，
由翻折得ΔABD≅ΔAED，
∴SΔABD=SΔAED=30，
∵点E与点D关于直线AD对称，
∴AD垂直平分BE，
∴∠AFB=∠DFB=90∘，
∵AF=8，AB=10，
，
∵12AD⋅BF=SΔABD，
∴12×6AD=30，
解得AD=10，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
∴BD= BF2+DF2=2 10，
故答案为：2 10．
19.【答案】解：(1)原式=3+5−4=4；
(2)原式=1−14+6+14=7．

【解析】【分析】(1)利用有理数的乘方，算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可；
(2)利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义及负整数指数幂计算即可．
20.【答案】解：(1)方程整理得：x2=2，
开方得：x=± 2；
(2)开立方得：x+10=−3，
解得：x=−13．

【解析】【分析】(1)方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
(2)方程利用立方根定义开立方即可求出解．
21.【答案】(1)解：∵(2m+4)2+ 4−n=0
∴2m+4=0，4−n=0．
∴m=−2，n=4；
(2)由(1)知m=−2，n=4，
∴3n−2m=3×4−2×(−2)=16，
∴3n−2m的平方根为±4．

【解析】【分析】(1)直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
(2)结合(1)中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
22.【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAED中，
AB=AE∠B=∠EBC=ED,
∴ΔABC≅ΔAED(SAS)，
∴AC=AD；
(2)解：如图AF即为所求．

【解析】【分析】(1)证明ΔABC≅ΔAED(SAS)，即可解决问题；
(2)根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
23.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求．
(2)连接BF，
∵EF为线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵∠C=90∘，AB=10，BC=6，
∴AC= 102−62=8，AE=BE=5，
设AF=BF=x，
则CF=8−x，
由勾股定理得，x2=(8−x)2+62，
解得x=254，
∴EF= BF2−BE2= (254)2−52=154．
∴线段EF的长为154．

【解析】【分析】(1)按照垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)连接BF，由线段垂直平分线的性质可得AF=BF，AE=BE=5，由勾股定理得AC=8，设AF=BF=x，则CF=8−x，由勾股定理可列方程x2=(8−x)2+62，求出x的值，再根据EF= BF2−BE2可得答案．
24.【答案】(1)证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是RtΔADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=12AB，
∴DC=BE；
(2)解：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=60∘，
则∠BCE=20∘．

【解析】【分析】(1)由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是RtΔADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=12AB，即可得到DC=BE；
(2)由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
25.【答案】解：(1)AC= 12+72=5 2，
故答案为：5 2；
(2)ΔABC的面积=4×7−12×3×3−12×4×4−12×1×7=12．
故答案为：12；
(3)如图，线段AD即为所求；
(4)如图，点Q即为所求．

【解析】【分析】(1)利用勾股定理求解；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)取格点Q，连接CQ，取CQ的中点T，作射线AT交BC于点D，线段AD即为所求；
(4)连接EW交AD于点Q，点Q即为所求，连接CQ，延长CQ交AB于点R，可以证明E，R关于AD对称，可得结论．
26.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90∘，
∴∠B+∠BAD=90∘，∠C+∠CAD=90∘，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
(2)①证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90∘，
∴∠ABE=∠AFB，
∴AB=AF，
∴BE=EF，
∵∠ABF=2∠C，
∴∠ABF=∠AFB，
∵∠AFB=∠C+∠FBC，
∴∠C=∠FBC，
∴FB=FC，
∴AC−AB=CF=BF=2BE，
∴BE=12(AC−AB)；
②解：延长AB，交CD的延长线于点M，
由①可知ΔADM≅ΔADC，
∴AM=AC，DM=DC，
∴AC−AB=AM−AB=BM= 2，
∴BM的长为定值，
∵CB的长度为定值，
∴ΔBCM底边CB上的高≤BM，
∴当BM⊥CB时，ΔBCM面积最大，
此时ΔBCD的面积最大，
∴CM= BM2+BC2=3，
∴CD=12CM=32；
(3)解：延长MO交AB于点H，延长NO交AB于点G，
由(1)可知，AM=AH，OM=OG，BN=BG，ON=OG，
∵∠MON=∠GOH，
∴ΔMON≅ΔHOG(SAS)，
∴MN=GH，
∵AC=15m，CB=20m，
∴AB= AC2+BC2=25(m)，
∴ΔCMN的周长=CM+CN+MN=AC−AM+BC−BN+GH
=15−AH+20−BG+GH
=35−25
=10(m)．
即围挡的长度为10m．

【解析】【分析】(1)证出∠B=∠C，则可得出结论；
(2)①证出∠ABE=∠AFB，得出AB=AF，由三角形外角的性质证出FB=FC，则可得出结论；
②延长AB，交CD的延长线于点M，由(1)可知ΔADM≅ΔADC，由勾股定理求出答案；
(3)延长MO交AB于点H，延长NO交AB于点G，由(1)可知，AM=AH，OM=OG，BN=BG，ON=OG，证明ΔMON≅ΔHOG(SAS)，得出MN=GH，则可得出答案．