第4章 因式分解单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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第4章 因式分解单元测试卷（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•兰溪市模拟）下列因式分解正确的是（　　）A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2【思路点拨】各项分解得到结果，即可作出判断．【答案】解：A、原式＝3ax（x﹣2），不符合题意；B、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝﹣a（x﹣1）2，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（3分）（2020春•长兴县期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C．﹣+ D．﹣﹣【思路点拨】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．【答案】解：A、x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；B、3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项错误；C、﹣+能运用平方差公式分解，故此选项正确；D、﹣﹣不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．（3分）（2019春•西湖区校级月考）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x3+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】利用完全平方公式判断即可．【答案】解：①x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1，符合题意；③x3﹣2x﹣1，符合题意；④m2﹣m+＝（m﹣）2，不符合题意；⑤4x4﹣x3+，符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（3分）（2020秋•鹿城区校级月考）4y2﹣16因式分解的结果为（　　）A．（4y+4）（4y﹣4） B．（2y+4）（2y﹣4） C．2（y+2）（y﹣2） D．4（y+2）（y﹣2）【思路点拨】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【答案】解：4y2﹣16＝4（y2﹣4）＝4（y+2）（y﹣2）．故选：D．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．（3分）（2020•定兴县一模）计算：1252﹣50×125+252＝（　　）A．100 B．150 C．10000 D．22500【思路点拨】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．【答案】解：1252﹣50×125+252＝（125﹣25）2＝10000．故选：C．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．6．（3分）（2019秋•内乡县期末）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（　　）A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y） C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）【思路点拨】直接提取公因式（a﹣2），进而分解因式即可．【答案】解：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）＝（a﹣2）（2x+y）．故选：A．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．7．（3分）（2019秋•玉环市期末）已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定【思路点拨】将已知式子因式分解为（a﹣b）（b﹣c）＝0，则有a＝b或b＝c，即可判断三角形的形状．【答案】解：∵ab+bc＝b2+ac，∴ab﹣ac＝b2﹣bc，即a（b﹣c）＝b（b﹣c），∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，∴a＝b或b＝c，∴△ABC是等腰三角形，故选：C．【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子因式分解，再由整式的性质进行求解是解题的关键．8．（3分）（2020秋•南宫市校级期中）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11【思路点拨】根据因式分解的分组分解法即可求解．【答案】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．9．（3分）（2019秋•嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．【答案】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2＝6÷2＝3故选：D．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用．10．（3分）（2019秋•新蔡县期中）若x2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【思路点拨】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：﹣k的值应该是10的两个因数的和，从而得出k的值．【答案】解：∵20＝1×20，20＝（﹣1）×（﹣20），20＝2×10，20＝（﹣2）×（﹣10），20＝4×5，20＝（﹣4）×（﹣5），则k的值可能为：1+20＝21，﹣1﹣20＝﹣21，2+10＝12，﹣2﹣10＝﹣12，4+5＝9，﹣4﹣5＝﹣9，故整数k可以取的值有6个，故选：D．【点睛】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2020秋•西湖区校级月考）因式分解：（1）m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．（2）2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　．【思路点拨】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【答案】解：（1）原式＝（m+2）（m﹣2）；（2）原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2．故答案为：（1）（m+2）（m﹣2）；（2）2（x﹣1）2．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（4分）（2019•杭州模拟）因式分解：（m﹣n）2﹣3n（n﹣m）＝　（m﹣n）（m+2n）　．【思路点拨】直接提取公因式（m﹣n），进而分解因式得出答案．【答案】解：（m﹣n）2﹣3n（n﹣m）＝（m﹣n）2+3n（m﹣n）＝（m﹣n）（m﹣n+3n）＝（m﹣n）（m+2n）．故答案为：（m﹣n）（m+2n）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．13．（4分）（2020春•港南区期末）如果a+b＝5，a﹣b＝3，那么a2﹣b2＝　15　．【思路点拨】首先利用平方差公式进行分解即可，进而将已知代入求出即可．【答案】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴当a+b＝5，a﹣b＝3时，原式＝5×3＝15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．14．（4分）（2019春•拱墅区校级期中）已知关于x的二次三项式3x2+mx﹣2＝（3x﹣2）（x+a），则4ax2﹣4mx+1分解因式的结果为　（2x﹣1）2　．【思路点拨】由题意二次三项式3x2+mx﹣2分解因式的结果为（3x﹣2）（x+a），将整式（3x﹣2）（x+a）相乘，然后根据系数相等求出m和a，代入即可分解因式．【答案】解：∵关于x的二次三项式3x2+mx﹣2分解因式的结果为（3x﹣2）（x+a），∴（3x﹣2）（x+a）＝3x2+（3a﹣2）x﹣2a＝3x2+mx﹣2，∴m＝3a﹣2，﹣2a＝﹣2，∴m＝1，a＝1，∴4ax2﹣4mx+1＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．故答案为：（2x﹣1）2．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，紧扣因式分解的定义是解题的关键．15．（4分）（2019春•西湖区校级月考）若x2﹣ax﹣6能因式分解成（x+m）（x+n），其中m，n是整数，则符合条件的整数a的值是　1或﹣1或﹣5或5　（写出所有可能的情况）．【思路点拨】把﹣6分解为两个整数的积的形式，﹣a等于这两个整数的和．【答案】解：根据题意，得﹣6＝2×（﹣3）＝（﹣2）×3＝﹣1×6＝﹣6×1，所以﹣a＝﹣1或1或5或﹣5，即a＝1或﹣1或﹣5或5．故答案为：1或﹣1或﹣5或5．【点睛】本题考查了因式分解．能够得出m、n之积为﹣6，m、n之和为﹣a是解题的关键．16．（4分）（2019春•西湖区校级月考）定义一种运算：〈a，b〉＝ab+2a+3b，例如：〈﹣2，1〉＝﹣2﹣4+3＝﹣3．则〈a，b〉+6要进行因式分解的结果为　（b+2）（a+3）　；如果x，y都是整数，且〈x，y〉＝1，那么x+y的值为　3或﹣13　．【思路点拨】由已知可得〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6，再分组分解；由〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，将式子变形为xy+2x+3y+6＝7，进行分组分解得到（x+2）（y+3）＝7，再由x，y都是整数，分别得到+2＝1，y+3＝7或x+2＝﹣1，y+3＝﹣7，即可求解．【答案】解：〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6＝a（b+2）+3（b+2）；〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，∵xy+2x+3y+6＝7，∴（y+2）（x+3）＝7，∵x，y都是整数，∴y+2＝1，x+3＝7或y+2＝﹣1，x+3＝﹣7，∴y＝﹣1，x＝4或y＝﹣3，x＝﹣10，∴x+y＝3或x+y＝﹣13；故答案为（b+2）（a+3）；3或﹣13．【点睛】本题考查了二元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2019春•忻城县期中）把下列各式因式分解：（1）﹣6x3y+12x2y2﹣6xy3；（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）．【思路点拨】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【答案】解：（1）原式＝﹣6xy（x2﹣2xy+y2）＝﹣6xy（x﹣y）2；（2）原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（8分）（2019春•沙坪坝区校级月考）因式分解：（1）a4b﹣4a2b3+a2b；（2）5a3（a﹣b）3﹣15a4（b﹣a）2；（3）3x2﹣2x+；（4）（3x﹣2）2﹣4（2x﹣1）2；（5）（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2；（6）a（a﹣b）（a2﹣ab+b2）+a2b（b﹣a）．【思路点拨】（1）直接提取公因式a2b，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式5a3（a﹣b）2，进而分解因式即可；（3）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（4）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（5）直接利用十字相乘法分解因式进而得出答案；（6）直接提取公因式a（a﹣b），进而分解因式得出答案．【答案】解：（1）a4b﹣4a2b3+a2b＝a2b（a2﹣4b2+1）；（2）5a3（a﹣b）3﹣15a4（b﹣a）2＝5a3（a﹣b）3﹣15a4（a﹣b）2＝5a3（a﹣b）2（a﹣b﹣3a）＝﹣5a3（a﹣b）2（2a+b）；（3）3x2﹣2x+；＝（9x2﹣6x+1）＝；（4）（3x﹣2）2﹣4（2x﹣1）2＝[3x﹣2+2（2x﹣1）][3x﹣2﹣2（2x﹣1）]＝﹣x（7x﹣4）；（5）（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝（x2﹣x﹣1）（x2﹣x﹣2）＝（x﹣2）（x+1）（x2﹣x﹣1）；（6）a（a﹣b）（a2﹣ab+b2）+a2b（b﹣a）＝a（a﹣b）（a2﹣ab+b2﹣ab）＝a（a﹣b）（a﹣b）2＝a（a﹣b）3．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．19．（8分）（2020春•北仑区期末）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：（1）x2﹣6x﹣16；（2）x2+2ax﹣3a2．【思路点拨】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．【答案】解：（1）x2﹣6x﹣16＝x2﹣6x+9﹣9﹣16＝（x﹣3）2﹣25＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）＝（x+2）（x﹣8）；（2）x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）＝（x+3a）（x﹣a）．【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．20．（10分）（2019秋•临西县期末）阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝　1　；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．【思路点拨】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．【答案】解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．故答案为1．（2）设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．答：多项式的另一因式x2﹣x+3．（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b∴a＝o b+1＝1 b＝1 由b+1＝1得b＝0≠1②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．【点睛】本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理．21．（10分）（2019秋•莱山区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．【思路点拨】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【答案】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质﹣偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．22．（12分）（2018秋•西湖区校级月考）仔细阅读下面例题，解答问题：已知二次三项式x2﹣4x+m分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．解：方法一：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）．则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得，∴另一个因式为（x﹣7），m＝﹣21．方法二：设x2﹣4x+m＝k（x+3）（k≠0），当x＝﹣3时，左边9+12+m，右边＝0，∴9+12+m＝0，解得用m＝﹣21，将x2﹣4x﹣21分解因式，得另一个因式为（x﹣7）．仿照以上方法一方法二解答：已知二次三项式8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3）．求另一个因式以及a的值．【思路点拨】将8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3），设另一个因式是（4x+b），则（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+2bx﹣12x﹣3b＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b＝8x2﹣14x﹣a，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．【答案】解：设另一个因式是（4x+b），则（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+2bx﹣12x﹣3b＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b＝8x2﹣14x﹣a，，解得：b＝﹣1，a＝﹣3，因此另一个因式是4x﹣1，a＝﹣3．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．23．（12分）（2018春•周村区期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？【思路点拨】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的的平方差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2（2k﹣1）2＝8k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【答案】解：（1）28＝4×7＝82﹣62；2012＝4×503＝5042﹣5022，所以是神秘数；（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点睛】此题考查的知识点是因式分解的应用，同时考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．