浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷（困难）（含答案解析）

浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷（困难）（含答案解析）

考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果多项式分解因式为，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列从左到右的变形：其中是因式分解的个数是：(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  若代数式其中有两个因式分别为和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若多项式可分解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算的结果更接近(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设是质数，并且也是质数，则是(    )

A. 质数 B. 合数 C. 分数 D. 无法判断

7.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知与都是有理数，则多项式的值(    )

A. 一定为负数 B. 不可能为正数
C. 一定为正数 D. 可能是正数或负数或零

10.  下列多项式可以用完全平方公式分解因式的是．(    )

A.   B.   C.  D.

11.  设，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在多项式；；；；中，能用平方差公式分解因式的有．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  因式分解，其中、、都为整数，则的最大值是________．

14.  若多项式含有因式，则的值是______ ．

15.  分解因式：________．

16.  已知，，，则          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

通过计算说明能被整除吗？

18.  本小题分
阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，由题意，得：则．
解得：，另一个因式为，的值为．
提出问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求的值．
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．

19.  本小题分

试说明能被整除．

20.  本小题分
老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，甲：这是一个三次四项式；
乙：常数项系数为；丙：这个多项式的前三项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．

21.  本小题分
已知：、满足：，；求的值．

22.  本小题分
放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．

23.  本小题分
任何一个正整数都可以进行这样的分解：、是正整数，且如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定例如，这时就有请解答下列问题：
计算：；
当为正整数时，求证：．

24.  本小题分

若一个两位正整数的个位数为，则称为“好数”．

求证：对任意“好数”，一定为的倍数；

若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．

25.  本小题分
阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知，求的值；
已知，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，解答此题要熟练掌握多项式乘法的运算法则；
解答此题把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解．
【解答】
解：


，
，
．
故选A．
  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解的应用，根据因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断． 
【解答】
解：，不是整式的乘积，故错误；
，不是整式乘积的形式，故错误；
，分解的不是多项式，故错误；
，符合因式分解定义，故正确；
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：代数式其中有两个因式分别为和，
、肯定是关于的方程的两个根，则
，即，
解得，
．
故选：．
由其中有两个因式分别为和得到、肯定是关于的方程的两个根，所以将其分别代入该方程列出关于、的方程组，通过解方程组来求、的值，再代入计算即可求解．
本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义得到、肯定是关于的方程的两个根是解题的难点．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故选A．
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把利用多项式乘法法则展开即可求解．
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据因式分解解答即可．
此题考查因式分解，关键是根据提公因式法解答．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式、因式分解的提公因式法及质数合数的问题，分及两种情况讨论即可解答．

【解答】
解：当时，是质数，也是质数，符合题意，

当时，质数就不是的倍数，不妨设或，是正整数．

若，则，是合数，舍去；

若，则，也是合数，舍去，

所以既不是型质数，也不是型质数．

因此是质数，并且也是质数，则是质数．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查提公因式法分解因式，求代数式的值，首先提取公因式，进而合并同类项求出即可．

【解答】

解：

，

故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】
解：




．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，非负数的性质，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键．利用完全平方公式分解因式，然后根据非负数的性质判断即可得解．利用完全平方公式分解因式，然后根据非负数的性质判断即可得解．
【解答】
解：，
，
多项式的值不可能为正数．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是因式分解有关知识，利用完全平方公式进行解答即可．
【解答】
解：可以用完全平方公式．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】

，

，

，

显然  ，
．
故选A．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据选项所给一一判断是否可直接利用平方差公式分解，进而得出答案．
【解答】
解：，无法因式分解；
能用平方差公式分解；
能用平方差公式分解；
  无法因式分解；
，用提公因式，不是平方差公式分解．共个．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解与整式乘法的关系，多项式乘多项式，有理数的乘法，有理数的加法，有理数的大小比较，对常数项的不同分解是解本题的关键．
首先根据多项式与多项式的乘法法则将等式的右边展开，从而得到，，然后把分解为两个整数的积，进而确定的最大值即可．
【解答】
解：，
，，
，
或或或．
又，
的最大值是．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：多项式含有因式，
设另一个因式是，
则，


，
，，
解得：，，
故答案为：．
设另一个因式是，根据已知得出，再进行化简，即可求出、值．
本题考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式法则，能得出关于、的方程是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果．
【解答】
解：原式，
故答案为：  

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
则原式．
故答案为：．
已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
能被整除． 

【解析】略
 

18.【答案】解：设另一个因式为，由题意，得：

则
．
解得：，
另一个因式为，的值为；
设另一个因式为，由题意，得：

则
．
解得：，
另一个因式为，的值为． 

【解析】此题主要考查了因式分解的定义以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题关键．
利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案；
利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
 

19.【答案】解：
 
故能被整除． 

【解析】略
 

20.【答案】解：
 

【解析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
本题考查了公因式，利用分组法、提公因式分解因式是解题关键．
 

21.【答案】解：，，
，
则，
，
故，
，
则，
故，
则，


． 

【解析】直接利用已知将原式变形得出，，进而求出答案．
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
 

22.【答案】解：把，看作完全平方式里的，；
原式，
，
． 

【解析】把和分别看作一个整体，再运用完全平方公式解答．
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把，看作完全平方式里的，是解题的关键．
 

23.【答案】解：，其中与的差的绝对值最小，
．
，其中与的差的绝对值最小，且，
． 

【解析】把因式分解为，，，，再由定义即可得
把因式分解得，则可化为，，
当为正整数时，，，
易得与得差绝对值最小，且，得出
此题是因式分解的应用，设计一个新题型来考查学生的因式分解能力，中直接列出的因式，中列出因式后仍需比较因数差的绝对值，找出差绝对值最小即可
 

24.【答案】证明：，
，
，
是正整数，
一定为的倍数；
解：，
，
当，没有满足条件的，；
，
其中满足条件的，的数对有，
，
，没有满足条件的，；
，
满足条件的，的数对为
解得：
即，
，
，
的最大值为． 

【解析】本题考查了因式分解的应用，正确的理解“好数”和“友好数对”是解题的关键．
设，，且为整数，由于，于是得到结论；
根据已知条件得到，于是得到，或

或

，即可得到结论．
 

25.【答案】解：，
，
，
，，
解得，，，
；
，
，
将代入，得
，
，
，
，，
解得，，，
，
． 

【解析】本题考查的是偶次方非负性，完全平方公式，因式分解应用，配方法，代数式的求值等有关知识关键是掌握偶次方非负性和完全平方公式．
首先对该式进行变形配方，再利用偶次方非负性求得、的值，最后代入计算即可解答；
先由，得，再将代入，该式变形为两个非负数平方和的形式，求出，的值，继而可求出代数式的值．