第3章 整式的乘除单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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第3章 整式的乘除单元测试卷（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019秋•张掖期末）（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　）A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2【思路点拨】根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．【答案】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴应填：﹣5a2﹣4b2．故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．2．（3分）（2020•黄石模拟）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（　　）A．4 B．3 C．1 D．0【思路点拨】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．【答案】解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．3．（3分）（2020春•下城区期末）下列运算正确的是（　　）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（x+y）（﹣y﹣x）＝x2﹣y2 C．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2【思路点拨】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【答案】解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是﹣x2﹣2xy﹣y2，故本选项不符合题意；C、结果是﹣x2+2xy﹣y2，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．4．（3分）（2019秋•行唐县期末）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）A．6ab B．12ab C．0 D．24ab【思路点拨】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．【答案】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，∴A＝24ab．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．5．（3分）（2020春•渌口区期末）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（　　）A．5，3 B．5，﹣3 C．﹣5，3 D．﹣5，﹣3【思路点拨】由（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣5x﹣3结合（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，即可得出p、q的值．【答案】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3，∵（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，∴p＝﹣5，q＝﹣3，故选：D．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．6．（3分）（2020秋•蓬溪县期中）计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（　　）A．1﹣a4 B．1+a4 C．1﹣2a2+a4 D．1+2a2+a4【思路点拨】根据平方差公式求出即可．【答案】解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式的运用．解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意：平方差公式为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．7．（3分）（2018秋•内江期末）当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+1的值为﹣1，则（1+2a﹣2b）（1﹣a+b）的值为（　　）A．﹣9 B．15 C．9 D．﹣15【思路点拨】由题意可得出：当x＝﹣1时，a﹣b+1＝﹣1，即可求得a﹣b＝﹣2，将a﹣b整体代入（1+2a﹣2b）（1﹣a+b）求解即可．【答案】解：由题意得：当x＝﹣1时，a﹣b+1＝﹣1，可得a﹣b＝﹣2，将a﹣b＝﹣2代入（1+2a﹣2b）（1﹣a+b）得原式＝（1﹣4）×（1+2）＝﹣9．故选：A．【点睛】本题考查代数式的求值，关键在于求出a+b的值，利用整体思想求解．注意括号前是负号时符号的变化．8．（3分）（2019春•西湖区校级月考）若多项式x2﹣（x+2a）（x﹣b）﹣4的值与x的取值大小无关，那么a、b一定满足（　　）A．a＝0且b＝0 B．a＝2b C．b＝2a D．a+2b＝0【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．【答案】解：x2﹣（x+2a）（x﹣b）﹣4＝x2﹣x2+bx﹣2ax+2ab﹣4＝（﹣2a+b）x+2ab﹣4，∵多项式x2﹣（x+2a）（x﹣b）﹣4的值与x的取值大小无关，∴﹣2a+b＝0，即b＝2a．故选：C．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．9．（3分）（2020春•德清县期中）若（1﹣x）1﹣3x＝1，则x的取值有（　　）个．A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出答案．【答案】解：∵（1﹣x）1﹣3x＝1，∴当1﹣3x＝0时，原式＝（）0＝1，当x＝0时，原式＝11＝1，故x的取值有2个．故选：C．【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．10．（3分）（2019秋•天心区期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4其中正确的是（　　）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【思路点拨】根据新定义的运算，一一判断即可得出结论．【答案】解：①∵a*b＝0，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，a2+2ab+a2﹣a2﹣b2+2ab＝0，4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正确；②∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，又a*b＝a2+4b2，∴a2+4b2＝4ab，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b时，满足条件，∴存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；故②错误，③∵a*（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac，又∵a*b+a*c＝4ab+4ac∴a*（b+c）＝a*b+a*c；故③正确．④∵a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴（10ab3）÷（5b2）＝2ab＝4；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查实数的运算、完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2020春•江宁区月考）若，则a，b，c，d的大小关系是　c＞d＞a＞b　．【思路点拨】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【答案】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝﹣3﹣2＝﹣，c＝（﹣）﹣2＝9，d＝（﹣）0＝1，∴a，b，c，d的大小关系是：c＞d＞a＞b．故答案为：c＞d＞a＞b．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．12．（4分）（2020春•宜兴市期中）计算：（﹣a2）3+（﹣a3）2＝　0　．【思路点拨】先利用（ab）n＝anbn计算，再合并即可．【答案】解：原式＝﹣a6+a6＝0，故答案是0．【点睛】解题的关键是注意积的乘方公式的使用以及合并同类项．13．（4分）（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于　﹣1024　．【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【答案】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019＝82×42×（4×﹣0.25）2019＝82×42×（﹣1）＝﹣1024．故答案为：﹣1024．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．14．（4分）（2020春•杭州期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝　1　．【思路点拨】根据完全平方公式，可得答案．【答案】解：20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192＝（2020﹣2019）2＝12＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（4分）（2020春•嘉兴期末）若2m×8n＝32，，则的值为　　．【思路点拨】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．【答案】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，两式相加得：2m+n＝1，则原式＝（2m+n）＝．故答案为：．【点睛】此题考查了整式的除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）（2020春•衢州期中）阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝　　．【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【答案】解：根据题意得：原式＝×（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝×（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）＝×（64﹣1）（64+1）（68+1）＝×（68﹣1）（68+1）＝×（616﹣1）＝．故答案为：【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2020春•越城区校级期中）计算或化简：（1）（π﹣2）0+（﹣1）2019•（）﹣1（2）982﹣97×99．（3）（x+1）2﹣（x﹣2）（x+2）（4）2a3（3a2﹣5a）+（2a2）3÷a2【思路点拨】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方可以解答本题；（2）根据平方差公式可以解答本题；（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；（4）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题．【答案】解：（1）（π﹣2）0+（﹣1）2019•（）﹣1＝1+（﹣1）×2＝1+（﹣2）＝﹣1；（2）982﹣97×99＝982﹣（98﹣1）×（98+1）＝982﹣982+1＝1；（3）（x+1）2﹣（x﹣2）（x+2）＝x2+2x+1﹣x2+4＝2x+5；（4）2a3（3a2﹣5a）+（2a2）3÷a2＝6a5﹣10a4+8a6÷a2＝6a5﹣10a4+8a4＝6a5﹣2a4．【点睛】本题考查整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．18．（8分）（2020春•碑林区校级期中）计算：（1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2；（2）﹣（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+（）2020×（﹣）2019；（3）（x﹣2y）2﹣4（x+2y）（x﹣2y）+4（x+2y）2．【思路点拨】（1）根据整式乘除法法则计算可求解；（2）先根据负整数指数幂，零指数幂，积的乘方的逆运算计算各项的值，再相加减即可求解；（3）根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项即可求解．【答案】解：（1）原式＝﹣6x3y2÷x2y2＝﹣6x；（2）原式＝﹣9+1﹣（）2019×＝﹣8﹣＝；（3）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣4x2+16y2+4x2+16xy+16y2＝x2+12xy+36y2．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．19．（8分）（2019春•西湖区校级月考）（1）已知x+y＝5，xy＝3，求x2+y2的值；（2）已知x﹣y＝5，x2+y2＝51，求（x+y）2的值；（3）已知x2﹣3x﹣1＝0，求x2+的值．【思路点拨】（1）将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y＝5，xy＝3代入求解即可；（2）由x﹣y＝5可得x2+y2﹣2xy＝25，结合x2+y2＝51，可得2xy＝26，由完全平方公式计算结果；（3）利用完全平方公式求值即可．【答案】解：（1）因为x+y＝5，xy＝3，所以x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6＝19；即x2+y2的值是19；（2）∵x﹣y＝5，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25，又∵x2+y2＝51，∴2xy＝26，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝51+26＝77；即（x+y）2的值是77；（3）解：∵x2﹣3x﹣1＝0∴x﹣3﹣＝0，∴x﹣＝3，∴x2+＝（x﹣）2+2＝11，即x2+的值是11．【点睛】本题主要考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式进行运算．20．（10分）（2020春•衢州期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【思路点拨】（1）图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为x2+y2，从另外一个角度，也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即＝（x+y）2﹣2xy，可得等式；（2）①将（a+b）2＝a2+b2+2ab，进行变形为ab＝，再整体代入即可；②利用完全平方公式，进行变形可求答案．【答案】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×1＝2．【点睛】考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求出答案．21．（10分）（2019春•苍南县期末）如图，为建设美丽农村，村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化．在两地块内分别建造一个边长为a的大正方形花坛和四个边长为b的小正方形花坛（阴影部分），空白区域铺设草坪，记S1表示地块甲中空白处铺设草坪的面积，S2表示地块乙中空白处铺设草坪的面积．（1）S1＝　4ab　，S2＝　6ab+4b2　；（用含a，b的代数式表示并化简）（2）若a＝2b，求的值；（3）若＝，求的值．【思路点拨】（1）甲：空白部分的面积＝4个矩形的面积；乙：空白部分的面积＝总面积﹣阴影部分的面积；（2）将a＝2b代入（1）中的代数式，化简即可；（3）将（2）中的比值代入．【答案】解：（1）由题意知，S1＝4ab，S2＝（2b+a）（4b+4）﹣2b2﹣a2﹣2b2＝6ab+4b2．故答案是：4ab；6ab+4b2．（2）∵a＝2b，∴＝＝＝；（3）∵＝，＝，∴6ab+4b2＝12ab，即4b2＝6ab．∴＝．【点睛】考查了整式的混合运算，列代数，代数式求值等知识点，掌握矩形的面积公式是解题的关键．22．（12分）（2018秋•黄岩区期末）我们知道某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果，下面我们就来探究一个公式并应用这个公式解决问题．（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）＝　x3+1　；（m+2）（m2﹣2m+4）＝　m3+8　；（2a+1）（4a2﹣2a+1）＝　8a3+1　．（2）上面的乘法运算结果很简洁，观察上面运算你发现了什么规律？用字母a，b表示这个规律，并加以证明．（3）已知x+y＝2，xy＝﹣3，求x3+y3．【思路点拨】（1）根据多项式乘多项式即可求解；（2）根据（1）中的运算即可发现规律，并用多项式乘多项式证明即可；（3）利用（2）所得规律进行整体代入即可．【答案】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）＝x3﹣x2+x+x2﹣x+1＝x3+1，（m+2）（m2﹣2m+4）＝m3﹣2m2+4m+2m2﹣4m+8＝m3+8，（2a+1）（4a2﹣2a+1）＝8a3﹣4a2+2a+4a2﹣2a+1＝8a3+1．故答案为x3+1、m3+8、8a3+1．（2）规律：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．证明：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3．（3）∵x+y＝2，xy＝﹣3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝10，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝26．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是整体思想的应用．23．（12分）（2019春•西湖区校级月考）定义新运算a⊕b＝a（a﹣b）．例如3⊕2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1⊕4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．（1）请直接写出3⊕a＝b的所有正整数解．（2）已知2⊕a＝5b﹣2m，3⊕b＝5a+m，说明：24a+22b的值与m无关；（3）记M＝a⊕b，N＝b⊕a，设b＝2019ka（a≠0），是否存在实数k，使得2019M﹣2017N+2ab能化简成2b2？若能，求出满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）利用题中新定义化简已知等式，得到b＝9﹣3a，进而确定正整数解即可；（2）利用题中新定义化简已知等式，进而求出24a+22b＝44；（3）利用题中新定义化简已知等式，得出M＝a（a﹣b），N＝b（b﹣a），代入2019M﹣2017N+2ab＝2b2，进而求解即可．【答案】解：（1）根据题意得：3（3﹣a）＝b，即b＝9﹣3a，则方程的正整数解为，；（2）已知等式整理得：，整理得：，①+②×2得：10a+6b+5b+2a＝18﹣2m+4+2m，整理得：12a+11b＝22，两边乘2，得24a+22b＝44，所以24a+22b的值与m无关；（3）根据题意得：M＝a（a﹣b），N＝b（b﹣a），设b＝2019ka（a≠0），假设存在实数k，使得2019M﹣2017N+2ab能化简成2b2，那么2019M﹣2017N+2ab＝2b2，即2019a（a﹣b）﹣2017b（b﹣a）+2ab＝2b2，整理，得a2＝b2，∵b＝2019ka（a≠0），∴a2＝（2019ka）2，∴（2019k）2＝1，∴k＝±．故满足条件的k的值为±．【点睛】此题考查了整式的加减，有理数的混合运算以及解方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．