河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

这是一份河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答是等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角梯形
C．有两个内角相等的五边形D．正七边形
2．若双曲线以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
3．在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A．直线坐标平面B．直线坐标平面
C．直线坐标平面D．直线坐标平面
4．已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．设分别是的内角所对的边，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
6．如图，在三棱柱中，分别是的中点，为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
①存在点，使得；
②存在点，使得平面；
③的面积越来越小；
④四面体的体积不变．其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（每辰5分，共20分）
9．已知是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在实数，使得
D．一定能构成空间的一个基底
10．如图所示，在正方体中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
12．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得．若点E为线段BC上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点、使得四点共面
B．存在点，使
C．存在点，使得直线与平面所成角为
D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知，若，则______．
14．若方程有实数解，则实数的取值范围______．
15．二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，则平面与平面的夹角为______．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为______．
四、解答是（共70分）
17．（10分）三棱柱中，分别是上的点，且．设．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若，求的长．
18．（12分）在三棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若为中点，求向量与夹角的余弦值．
19．（12分）
如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是和的中点，点在平面上的射影是的重心．
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
20．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱上的一点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．
21．（12分）已知点关于坐标原点对称，过点且与直线相切．
（1）若在直线上，求的半径．
（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．
22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，点是线段的中点，点在线段上且满足面．
（Ⅰ）当时，证明：平面；
（Ⅱ）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
高二第三次月考数学答案
1--8．CDCBCACC 9．ABD 10．ABC 11．AB 12．ABD
13．2 14． 15． 16．
17．解：（1）由图形知
．
（Ⅱ）由题设条件
．
18．（1）证明：过点作于点，
平面平面，平面平面平面，
平面，又平面．
平面平面．
平面平面．
（2）由（1）知，设，
则．
为中点，，
与夹角的余弦值为．
19．试题解析：（Ⅰ）连结BG，则是在的射影，即是与平面所成的角．
设为中点，连结分别是的中点，又平面，则为正方形，连接DE，是的重心，且，在直角三角形EFD中，
，，
．
即．
（Ⅱ）∵，又，∴面，又面，
即平面平面，作，垂足为，所以平面，即是到平面的距离，在三角形中，，则到平面的距离为。
解：（1）连结，则是在而上的射影，即是与平面所成的角．
如图所示，建立坐标系，坐标原点为，设，则，．
所以．
，解得．
．
（2）由（1）有．
，
，
所以平面．又平面，
所以平面平面．
又面面，
所以点在平面内的射影在上．
设，
则．
由，即，解得．
所以．
故到平面的距离为．
20．解；（1）设，则为的中点．连结，则平面平面．
因为平面平面，平面平面，所以，从而为的中点，因此．
因为平面，所以．因为，所以平面．
（2）解法1：以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系，设．
则，
，故，
．
设为平面的法向量则
即可取．
设为平面的法向量，则，即
可取．
由可得
所以．
设为平面的法向量，则，即
可取．
因为
所以二面角的正弦值为．
21．解（1）因为过点，所以圆心在的垂直平分线上．由已知在直线上，且关于坐标原点对称，所以在直线上，故可设．
因为与直线相切，
所以的半径为．
由已知得，又，故可得，解得或．
故的半径或．
（2）存在定点，使得为定值．
理由如下：
设，由已知得的半径为．
由于，故可得，化简得的轨迹方程为．
因为曲线是认点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．
因为，所以存在满足条件的定点．
22．（Ⅰ）证明：取的中点，连接，连接，交于点，交于点，则、是的三等分点，
所以时，，所以，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（Ⅱ）解：平行四边形中，，所以，
又，所以，
所以，所以，
又因为面平面，所以；
分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
则，
令，解得，
所以时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小