苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数精品测试题

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2.通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°— 90°之间变化时：
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
例：计算：
【解答】
【解析】原式＝
巩固练习
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=3，那么∠B的度数是（ ）
A．15°B．45°C．30°D．60°
【解答】D
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanB=ACBC=31=3，
∴∠B＝60°，
故选D．
2．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=32，则α等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
【解答】A
【解析】∵sin（α﹣10°）=32，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．
3．如果sinA=32，那么锐角∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】C
【解析】∵sin60°=32，
∴∠A＝60°，
故选C．
4．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA-12|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C的度数为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
【解答】C
【解析】∵|sinA-12|+（1﹣tanB）2＝0，
∴|sinA-12|＝0，（1﹣tanB）2＝0，
∴sinA=12，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选C．
5．因为cs60°=12，cs240°=-12，所以cs240°＝cs（180°+60°）＝﹣cs60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cs（180°+α）＝﹣csα，由此可知：cs210°＝（ ）
A．-12B．-22C．-32D．-3
【解答】C
【解析】∵cs（180°+α）＝﹣csα，
∴cs210°＝cs（180°+30°）＝﹣cs30°=-32．
故选C．
6．tan30°的值为（ ）
A．12B．22C．32D．33
【解答】D
【解析】tan30°=33，
故选D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=7，AC=21，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．75°
【解答】B
【解析】∵tanB=ACBC=217=3，
∴∠B＝60°，
故选B．
8．计算：sin60°•tan30°＝（ ）
A．1B．12C．32D．2
【解答】B
【解析】sin60°•tan30°=32×33=12．
故选B．
9．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA-3）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【解答】A
【解析】由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA-3=0，
即tanB=3，sinA=32，
∠B＝60°，∠A＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故选A．
10．在△ABC中，若|sinA-12|+（csB-12）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】D
【解析】由题意得，sinA=12，csB=12，
则∠A＝30°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选D．
11．在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且有|sinA-32|+（12-csB）2＝0，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【解答】D
【解析】根据题意，得
sinA-32=0，12-csB＝0．
∴∠A＝60°，∠B＝60°．
∴∠C＝60°．
∴三角形是等边三角形．
故选D．
12．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是弧BC的中点，则tan∠ADC等于（ ）
A．12B．2C．33D．3
【解答】C
【解析】连接AC．
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．
∵∠DPB＝∠APC＝60°，
∴∠CAP＝30°．
∵D是弧BC的中点，
∴∠CAP＝∠BAD，∠CAB＝60°．
∴∠ABC＝30°＝∠ADC．
则tan∠ADC=33．
故选C．
二．填空题
13．已知α为锐角，且满足sin（α+15°）=32，则tanα＝ ．
【解答】1．
【解析】∵sin60°=32，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1，
故答案为1．
14．已知∠A＝60°，则tanA＝ ．
【解答】3
【解析】tanA＝tan60°=3，
15．sin60°•cs45°＝ ．
【解答】64
【解析】sin60°•cs45°=32×22=64，
故答案为64．
16．在△ABC中，若∠C＝90°，cs∠A=12，则∠A等于 ．
【解答】60°
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，cs∠A=12，
∴∠A＝60°，
故答案为60°．
17．在△ABC中，若|sinA-32|+|csB-12|＝0，则∠C＝ ．
【解答】60°
【解析】根据题意得：sinA-32=0⋯①csB-12=0⋯②，
则sinA=32，csB=12，
则∠A＝60°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
故答案是：60°．
18．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（12-csB）2＝0，则∠C＝ °．
【解答】75
【解析】由题意得，tanA＝1，csB=12，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为75．
19．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，3）关于y轴对称，如果函数y=kx的图象经过点A，那么k＝ ．
【解答】-32
【解析】∵sin60°=32，
∴点B（32，3）．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：
点A为（-32，3），
∵函数y=kx的图象经过点A，
∴k=3×(-32)=-32．
20．若锐角x满足tan2x﹣（3+1）tanx+3=0，则x＝ ．
【解答】45°或60°
【解析】∵tan2x﹣（3+1）tanx+3=0，
∴（tanx﹣1）（tanx-3）＝0，
∴tanx＝1或3，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx=3时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
三．解答题
21．计算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
（2）cs230°1+sin30°+tan260°
【解答】（1）-32；（2）72
【解析】（1）原式=2×12+3×12-4×1
=1+32-4
=-32；
（2）原式=(32)1+122+(3)2
=3432+3
=72．
22．已知a3=b2≠0，求代数式a+3b(2a-b)⋅cs30°⋅ct60°tan45°的值．
【解答】32．
【解析】∵a3=b2≠0，
∴2a＝3b，
∴a=3b2，
∴原式=3b2+3b(3b-b)×32•331=32．
23．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cs（﹣60°）=-12；②sin2x＝2sinx•csx；③sin（x﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【解答】（1）②③；（2）①6+24；②6-24．
【解析】（1）①cs（﹣60°）＝cs60°=12，命题错误；
②sin2x＝sinx•csx+csx•sinx＝2sinx•csx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx•cs（﹣y）+csx•sin（﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny，命题正确．
故答案为②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cs45°+cs30°•sin45°=12×22+32×22=24+64=6+24；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cs30°﹣cs45°•sin30°
=22×32-22×12
=6-24．
24．已知：如图，一次函数y=3x+m与反比例函数y=33x的图象在第一象限的交点为A（3，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，求∠BAO的度数．
【解答】（1）m=-23；（2）30°
【解析】（1）∵y=33x的图象过点A（3，n），
∴n=3，
∵一次函数y=3x+m的图象过点A（3，n），
∴m=-23；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，
由（1）可知，直线AB：y=3x﹣23，
∴B（2，0），即OB＝2，
又AC=3，OC＝3，
∴BC＝OC﹣OB＝1，
∴AB=BC2+AC2=2＝OB，
∴∠1＝∠2，
在Rt△OAC中，tan∠2=ACOC=33，
∴∠2＝30°，
∴∠BAO＝∠2＝30°．
25．如图，BC是⊙O的直径，AD＝DC，弦AC与BD交于点E，
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知：BC=52，CD=52，求sin∠AEB的值．
【解答】（1）见解析；（2）255
【解析】（1）∵AD＝DC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠BDC＝90°，BC=52，CD=52，
∴BD=BC2-CD2=(52)2-(52)2=5，
∴sin∠BCD=BDBC=552=255，
∴sin∠AEB=255．
26．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【解答】m=3，△ABC是直角三角形
【解析】∵∠A＝60°，∴tanA=3．
把x=3代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2（3）2﹣33m+3＝0，解得m=3．
把m=3代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2x2﹣3mx+3＝0，解得x1=3，x2=32．
∴csB=32，即∠B＝30度．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．
27．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cs45°+cs30° sin45°=2+64
（1）试仿照例题，求出cs75°的准确值；
（2）我们知道：tanα=sinαcsα，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【解答】（1）6-24；（2）2+3；（3）3+2
【解析】（1）∵cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
∴cs75°＝cs（30°+45°）＝cs30°cs45°﹣sin30°sin 45°，
=32×22-12×22=6-24；
（2）∵tanα=sinαcsα，
∴tan75°=sin75°cs75°=2+646-24=2+3；
（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD=CDBC=3a+2aa=3+2．
28．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），csα＝﹣cs（180°﹣α）
（1）求sin120°，cs120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，csB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【解答】（1）32，-12，12；（2）m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°
【解析】（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°=32，
cs120°＝﹣cs（180°﹣120°）＝﹣cs60°=-12，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°=12；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为12，-12，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，
解得：m＝0，
经检验-12是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为32，32，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为12，32，
将12代入方程得：4×（12）2﹣m×12-1＝0，
解得：m＝0，
经检验32不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．锐角
30°
45°
60°
1