北京市第四十三中学2023~2024学年七年级上学期期中数学试题

这是一份北京市第四十三中学2023~2024学年七年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）2的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．2
2．（2分）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.08×104B．3.08×106C．308×104D．0.308×107
3．（2分）下列各式中，计算结果为1的是（ ）
A．﹣（﹣1）B．﹣|﹣1|C．（﹣1）3D．﹣14
4．（2分）下列计算中正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．6x2﹣（﹣x2）＝5x2
C．4mn﹣3mn＝1D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2
5．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．|b|＜|a|C．ab＞0D．a+b＜﹣3
6．（2分）若﹣7xay2与xyb是同类项，则a﹣b＝（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．5
7．（2分）若x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则xy的值为（ ）
A．9B．6C．﹣5D．﹣6
8．（2分）下列对关于a，b的多项式﹣3ab2+b2a+a2+2的认识不正确的是（ ）
A．﹣3ab2和b2a是同类项，可以合并
B．2是常数项
C．当b＝0时，这个多项式的值总比2大
D．这个多项式的次数为3
9．（2分）若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
10．（2分）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为（ ）
A．3n+2B．4n+1C．3n+5D．3n+1
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）写出一个比大的负整数 ．
12．（2分）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是 ．
13．（2分）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
14．（2分）某商品原价是每件a元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元 元．（用含a的式子表示）
15．（2分）用符号[a，b]表示a，b两个有理数中的较大的数（a，b）表示a，b两个有理数中的较小的数，﹣]+（0，﹣）的值为 ．
16．（2分）若关于x，y的多项式my+nx2y+2y2﹣x2y+y中不含三次项和一次项，则2m+3n＝ ．
17．（2分）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|1﹣a|﹣|a|的结果是 ．
18．（2分）对连续的偶数2，4，6，8，…排成如图的形式．将图中的十字框上下左右移动，使框住的五个数之和等于2020 ．
三、解答题（共64分）
19．（20分）计算：
（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）；
（2）（﹣）×÷（﹣9）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣2）2．
20．（5分）化简：﹣3（2x2﹣xy）+2（3x2+xy﹣5）．
21．（5分）求3（x﹣2y2）﹣（3y2+7x）+10y2的值，其中x＝﹣，y＝5．
22．（5分）已知A＝﹣x2+1，B＝x2﹣1，化简﹣A﹣（B﹣3A）﹣B．
解：先化简：
﹣A﹣（B﹣3A）﹣
＝﹣A﹣B+3A﹣B
＝2A﹣B
进而得到：
2A﹣B＝2（﹣x2+1）﹣x2﹣1…①
＝﹣2x2+1﹣x2﹣1…②
＝﹣3x2…③
根据上面的解法回答下列问题：
（1）①是否有错？ ；①到②是否有错？ ；②到③是都有错？ .（填是或否）
（2）写出正确的解法．
23．（5分）我们已经学过有理数的加减乘除以及乘方运算，下面再给出有理数的一种新运算．“*运算”，定义是a*b＝ab﹣（a+b），解决下面的问题：
（1）计算：3*4；
（2）我们知道，加法具有交换律，请猜想“*运算”是否具有交换律
24．（6分）中秋节我们连云港特产螃蟹大量上市．现在有8筐螃蟹，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐螃蟹中，最接近标准重量的这筐螃蟹重 千克；
（2）这8筐螃蟹中，有两筐螃蟹的重量相差最大，这两筐螃蟹的重量相差 千克；
（3）若这批螃蟹以80元/千克全部售出，可售得多少元？
25．（6分）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与﹣a时，若代数式的值相等；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ；（将正确选项的序号填写在横线上．
①|x|+2；②x3﹣x；③2x2﹣1．
（2）某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，代数式的值为多少？
（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2，3，4时 ．
26．（6分）有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被11整除吗？下面是小明的探究过程
（1）举例：例①13+31＝44，44÷11＝4；
例②24+42＝66，66÷11＝6；
例③ ．
（2）说理：设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b，
那么这个两位数可表示为 ．
依题意得到的新数可表示为 ．
通过计算说明这个两位数与得到的新数的和能否被11整除： ．
（3）结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和 （填“能”或“不能”）被11整除．
27．（6分）对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，在数轴上，点M，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“
在数轴上，已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点C在线段AB上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是 ；
（2）若点D在数轴上，AD＝10，且点D是点B关于点A的“k倍分点”；
（3）点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”
四、附加题（共10分，计入总分，但总分不超过100分）
28．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：
（1）第4个等式中，k＝ ；
（2）写出第5个等式： ；
（3）写出第n个等式： （其中n为正整数）
29．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…，tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|；
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N＝（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1）（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： ；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ ；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0），求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2．
2023-2024学年北京四十三中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列每小题的四个选项中只有一个选项符合题意。共20分，每小题2分）
1．（2分）2的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．2
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：2的倒数是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2．（2分）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.08×104B．3.08×106C．308×104D．0.308×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3080000＝3.08×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）下列各式中，计算结果为1的是（ ）
A．﹣（﹣1）B．﹣|﹣1|C．（﹣1）3D．﹣14
【分析】根据想分数、绝对值、乘方的定义解决此题．
【解答】解：A．根据相反数的定义，那么A符合题意．
B．根据绝对值的定义，那么B不符合题意．
C．根据乘方的定义3＝﹣1，那么C不符合题意．
D．根据乘方的定义4＝﹣1，那么D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数、绝对值、乘方，熟练掌握相反数、绝对值、乘方的定义是解决本题的关键．
4．（2分）下列计算中正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．6x2﹣（﹣x2）＝5x2
C．4mn﹣3mn＝1D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2
【分析】运用合并同类项的方法对各选项进行逐一计算、辨别．
【解答】解：∵2x与3y不是同类项不能合并，
∴选项A不符合题意；
∵3x2﹣（﹣x2）＝6x2，
∴选项B不符合题意；
∵4mn﹣4mn＝mn，
∴选项C不符合题意；
∵﹣7ab2+5ab2＝﹣3ab2，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．|b|＜|a|C．ab＞0D．a+b＜﹣3
【分析】有数轴可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，可分析出个选项是否符合题意．
【解答】解：有数轴可知a＜0，b＞0，
a＜b，选项A不合题意．
|a|＞|b|，选项B符合题意．
ab＜4，选项C不合题意．
∵a＞﹣3，b＞0，
∴a+b＞﹣7．
选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上点表示数，判断两数的关系，关键是观察数轴得出两数的特征．
6．（2分）若﹣7xay2与xyb是同类项，则a﹣b＝（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．5
【分析】定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此可得a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵﹣解：∵﹣7xay2与xyb是同类项，
∴a＝5，b＝2，
∴a﹣b＝1﹣7＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是熟练掌握同类项的定义，本题属于基础题型．
7．（2分）若x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则xy的值为（ ）
A．9B．6C．﹣5D．﹣6
【分析】根据非负数的意义，求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）7＝0，
∴x﹣2＝6，y+3＝0，
即x＝3，y＝﹣3，
∴xy＝2×（﹣4）＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查非负数的意义，掌握非负数的意义和有理数的乘法是正确解答的前提．
8．（2分）下列对关于a，b的多项式﹣3ab2+b2a+a2+2的认识不正确的是（ ）
A．﹣3ab2和b2a是同类项，可以合并
B．2是常数项
C．当b＝0时，这个多项式的值总比2大
D．这个多项式的次数为3
【分析】根据多项式的项、次数以及同类项的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、﹣3ab2和b3a所含字母相同，相同字母的指数相同，可以合并；
B、多项式﹣3ab2+b4a+a2+2的常数项是8，正确；
C、当b＝0时2+5，a2+2≥6，错误；
D、多项式﹣3ab2+b6a+a2+2的次数为8，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键．
9．（2分）若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
【分析】直接将原式变形，进而代入已知得出答案．
【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4，
∴（x﹣7y）2+2x﹣8y﹣10
＝（﹣4）2+3（x﹣3y）﹣10
＝16+2×（﹣8）﹣10
＝16﹣8﹣10
＝﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
10．（2分）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为（ ）
A．3n+2B．4n+1C．3n+5D．3n+1
【分析】设摆成第n（n为正整数）个“T”字形需要an个棋子，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，可找出变化规律“an＝3n+2”，此题得解．
【解答】解：设摆成第n（n为正整数）个“T”字形需要an个棋子．
观察图形，可知：a1＝5＝6×1+2，a5＝8＝3×4+2，a3＝11＝5×3+2，…，
∴an＝7n+2．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，找出变化规律“an＝3n+2”是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）写出一个比大的负整数 ﹣1（或﹣2） ．
【分析】根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可得答案．
【解答】解：比﹣大的负整数为﹣6和﹣1．
故答案为：﹣1（或﹣3）．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握数轴上的数，右边的总比左边的大．
12．（2分）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是 0.6 ．
【分析】要精确到0.1就要对百分位数字1四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.6）是0.6．
故答案为：7.6．
【点评】本题考查了近似数，一般地说，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
13．（2分）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ﹣8xyz3（答案不唯一） ．
【分析】根据单项式的系数，次数的定义即可解答．
【解答】解：一个单项式满足下列两个条件：①系数是负数；②次数是53（答案不唯一）．
故答案为：﹣5xyz3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的定义是解题的关键．
14．（2分）某商品原价是每件a元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元 （0.9a﹣50） 元．（用含a的式子表示）
【分析】根据某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，可知第一次降价后的价格为0.9b元，第二次降价每件又减50元，可以得到第二次降价后的售价．
【解答】解：∵某种商品原价每件a元，第一次降价打九折，
∴第一次降价后的售价为：0.9a元．
∵第二次降价每件又减50元，
∴第二次降价后的售价是（6.9a﹣50）元．
故答案为：（0.6a﹣50）．
【点评】本题考查了列代数式，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键．
15．（2分）用符号[a，b]表示a，b两个有理数中的较大的数（a，b）表示a，b两个有理数中的较小的数，﹣]+（0，﹣）的值为 ﹣ ．
【分析】根据新定义的要求，求出[﹣1，﹣]和（0，﹣）的值，然后相加即可．
【解答】解：根据题意，得[﹣1，﹣，（3，﹣，
可得[﹣1，﹣]+（0，﹣+（﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了有理数的比较，弄清新定义的的意义，知道有数大小的比较方法是解题的关键．
16．（2分）若关于x，y的多项式my+nx2y+2y2﹣x2y+y中不含三次项和一次项，则2m+3n＝ 1 ．
【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．
【解答】解：my+nx2y+2y2﹣x2y+y＝（n﹣1）x2y+2y2+（m+3）y，
∵关于x，y的多项式my+nx2y+2y6﹣x2y+y中不含三次项和一次项，
∴m+1＝2，n﹣1＝0，
∴m＝﹣7，n＝1，
∴2m+4n＝2×（﹣1）+7×1＝1，
故答案为：6．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，多项式，求代数式的值，解一元一次方程等知识点，能求出m、n的值是解此题的关键．
17．（2分）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|1﹣a|﹣|a|的结果是 ﹣1 ．
【分析】由题意可得a＞1，利用绝对值化简可求解．
【解答】解：由题意可得：a＞1，
∴|1﹣a|﹣|a|＝a﹣3﹣a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了绝对值和数轴，判断出a、1﹣a的正负情况是解题的关键．
18．（2分）对连续的偶数2，4，6，8，…排成如图的形式．将图中的十字框上下左右移动，使框住的五个数之和等于2020 404 ．
【分析】依据题意，设中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得十字框中的五个数和，据此解答即可．
【解答】解：设中间的数为x，则用代数式表示十字框中的五个数和为5x，
∴5x＝2020．
∴x＝404．
∴若将图中的十字框上下左右移动，框住的五个数之和能等于2020．
故答案为：404．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
三、解答题（共64分）
19．（20分）计算：
（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）；
（2）（﹣）×÷（﹣9）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣2）2．
【分析】（1）先去括号，再计算加减法；
（2）将除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（3）根据乘法分配律计算；
（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）
＝﹣12﹣6+28
＝10；
（2）（﹣）×
＝××
＝；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）
＝﹣×（﹣48）﹣×（﹣48）
＝4+14﹣40
＝﹣17；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣6）2
＝﹣9﹣×4
＝﹣4﹣
＝﹣2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
20．（5分）化简：﹣3（2x2﹣xy）+2（3x2+xy﹣5）．
【分析】原式去括号，合并同类项即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣6x2+5xy+6x2+5xy﹣10
＝5xy﹣10．
【点评】此题考查了整数的加减，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解本题的关键．
21．（5分）求3（x﹣2y2）﹣（3y2+7x）+10y2的值，其中x＝﹣，y＝5．
【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将x，y的值代入即可求解．
【解答】解：3（x﹣2y7）﹣（3y2+7x）+10y2
＝3x﹣4y2﹣3y5﹣7x+10y2
＝（3﹣7）x+（﹣6﹣4+10）y2
＝﹣4x+y6，
∵x＝﹣，y＝2，
∴原式＝﹣4×+52＝4+25＝26．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
22．（5分）已知A＝﹣x2+1，B＝x2﹣1，化简﹣A﹣（B﹣3A）﹣B．
解：先化简：
﹣A﹣（B﹣3A）﹣
＝﹣A﹣B+3A﹣B
＝2A﹣B
进而得到：
2A﹣B＝2（﹣x2+1）﹣x2﹣1…①
＝﹣2x2+1﹣x2﹣1…②
＝﹣3x2…③
根据上面的解法回答下列问题：
（1）①是否有错？ 是 ；①到②是否有错？ 是 ；②到③是都有错？ 否 .（填是或否）
（2）写出正确的解法．
【分析】（1）直接利用去括号法则判断得出答案；
（2）利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）①有错；①到②有错；
故答案为：是，是，否；
（2）2A﹣B＝2（﹣x5+1）﹣x2+8
＝﹣2x2+7﹣x2+1
＝﹣2x2+3．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
23．（5分）我们已经学过有理数的加减乘除以及乘方运算，下面再给出有理数的一种新运算．“*运算”，定义是a*b＝ab﹣（a+b），解决下面的问题：
（1）计算：3*4；
（2）我们知道，加法具有交换律，请猜想“*运算”是否具有交换律
【分析】（1）根据新运算列式计算即可；
（2）根据新运算分别计算a*b和b*a看结果是否相等即可．
【解答】解：（1）3*4＝4×4﹣（3+3）＝12﹣7＝5；
（2）“*运算”具有交换律，理由如下：
a*b＝ab﹣（a+b），b*a＝ab﹣（a+b），
则a*b＝b*a，
即“*运算”具有交换律．
【点评】本题考查有理数的运算及运算律，根据新运算列得正确的式子是解题的关键．
24．（6分）中秋节我们连云港特产螃蟹大量上市．现在有8筐螃蟹，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐螃蟹中，最接近标准重量的这筐螃蟹重 24.5 千克；
（2）这8筐螃蟹中，有两筐螃蟹的重量相差最大，这两筐螃蟹的重量相差 4.2 千克；
（3）若这批螃蟹以80元/千克全部售出，可售得多少元？
【分析】（1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量；
（2）与标准重量比较，判断出8筐螃蟹中最重的并求出其重量，然后判断出最轻的并计算其重量，求其差即得；
（3）先求出8筐螃蟹的总质量，再根据“总价＝单价×数量”计算即可．
【解答】解：（1）该组数据中，﹣0.5的绝对值最小，是第2筐，
这筐螃蟹重25﹣0.5＝24.6（千克）．
故答案为：24.5；
（2）最重的一筐是第1筐，重量是25+2.2＝26.2（千克）；
最轻的一筐是第3筐，重量是25﹣3＝22（千克）；
最重的一筐比最轻的一筐重：26.2﹣22＝7.2（千克）
故答案为：4.6；
（3）1.2﹣4+0.8﹣6.5+1﹣8.5﹣2﹣6＝﹣5（千克），
（25×8﹣8）×80＝15600（元）．
答：这批螃蟹以80元/千克全部售出，可售得15600元．
【点评】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．
25．（6分）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与﹣a时，若代数式的值相等；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”．
（1）以下代数式中，是“偶代数式”的有 ①③ ，是“奇代数式”的有 ② ；（将正确选项的序号填写在横线上．
①|x|+2；②x3﹣x；③2x2﹣1．
（2）某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，代数式的值为多少？
（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2，3，4时 68 ．
【分析】（1）根据题干中的新定义判断；
（2）根据“奇代数式”，的定义求解；
（3）先把整式分解成一个“奇代数式”和一个“偶代数式”，再分别求和．
【解答】解：（1）“偶代数式”的有①③，“奇代数式”的有②，
故答案为：①③，②；
（2）∵代数式是“奇代数式“，
∴当x取2时，代数式的值为3，代数式的值为﹣6；
（3）∵x5﹣x3+x3+x+1＝（x5﹣x2+x）+（x2+1），
∵x3﹣x3+x是“奇代数式”，x2+4为“偶代数式”，
∴当x分别取﹣4，﹣3，﹣4，0，1，5，3，
∵x5﹣x8+x的值的和为0，
x2+6的值的和为：17×2+10×2+7×2+2×5＝68，
故答案为：68．
【点评】本题考查了整式的加减、求值及绝对值，理解新定义是解题的关键．
26．（6分）有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被11整除吗？下面是小明的探究过程
（1）举例：例①13+31＝44，44÷11＝4；
例②24+42＝66，66÷11＝6；
例③ 35+53＝88，88÷11＝8 ．
（2）说理：设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b，
那么这个两位数可表示为 10a+b ．
依题意得到的新数可表示为 a+10b ．
通过计算说明这个两位数与得到的新数的和能否被11整除： 10a+b+a+10b＝11a+11b，（11a+11b）÷11＝a+b ．
（3）结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和 能 （填“能”或“不能”）被11整除．
【分析】（1）仿照例子，写成结果即可；
（2）根据用十位数字和个位数字表示两位数的方法，用代数式表示即可；
（3）根据规律直接结论即可．
【解答】解：（1）35+53＝88，88÷11＝8
故答案为：35+53＝88，88÷11＝8
（2）十位数字是a，个位数字是b的两位数可表示为：10a+b，
交换后，十位数字是b，
这两个两位数的和为：10a+b+10b+a＝11a+11b，而（11a+11b）÷11＝a+b，
所以这两个两位数的和能被11整除，
故答案为：10a+b，10b+a，（11a+11b）÷11＝a+b；
（3）由（1）（2）可知，
将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，
故答案为：能．
【点评】本题考查整式的加减，掌握用代数式表示两位数的方法以及整式加减的计算方法是正确简单的前提．
27．（6分）对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，在数轴上，点M，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“
在数轴上，已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点C在线段AB上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是 1 ；
（2）若点D在数轴上，AD＝10，且点D是点B关于点A的“k倍分点”；
（3）点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”
【分析】（1）根据“k倍分点”的定义即可求解；
（2）分两种情况：①当点D在点A左边时；②当点D在点A右边时；根据“k倍分点”的定义，即可求出k值；
（3）根据题意可得，BE＝3t，AE＝3t+6，分四种情况：①当时；②当时；③当时；④时；根据“倍分点”的定义，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点C是点A关于点B的“5倍分点”，
∴AC＝5BC，
∵AB＝|﹣7﹣2|＝6，
即AC+BC＝2，
∴5BC+BC＝6，
∴BC＝4，
∴点C表示的数1；
故答案为：1；
（2）①当点D在点A左边时，
∵点A表示的数是﹣7，点B表示的数是2，
∴点D表示的数为﹣14，
∴BD＝16，AD＝10，
∴；
②当点D在点A右边时，
∵点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，
∴点D表示的数为7，
∴BD＝4，AD＝10，
∴；
综上，k的值为或；
（3）∵点E从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，
∴BE＝3t，AE＝3t+2，
①当时，
即，
解得：t＝1；
②当时，
即，
解得：t＝7；
③当时，
即，
解得：t＝4；
④当时，
即，
解得：t＝4；
综上，t的值为1或2或6．
【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，理解“k倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解题关键．
四、附加题（共10分，计入总分，但总分不超过100分）
28．观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：
（1）第4个等式中，k＝ 7 ；
（2）写出第5个等式： 5+6+7+8+9+10+11+12+13＝92 ；
（3）写出第n个等式： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣3）+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2 （其中n为正整数）
【分析】（1）根据式子的规律，结果是奇数的平方；
（2）由所给式子可得：5+6+7+8+9+10+11+12+13＝92；
（3）有所给数可知，每行第一个是为这个行数，结果为奇数，可得n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣3）+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2．
【解答】解：（1）由所给式子可知，k＝7，
故答案为7；
（2）4+6+7+4+9+10+11+12+13＝95，
故答案为5+6+6+8+9+10+11+12+13＝82；
（3）n+（n+1）+（n+8）+…+（3n﹣3）+（8n﹣2）＝（2n﹣4）2，
故答案为n+（n+1）+（n+4）+…+（3n﹣3）+（7n﹣2）＝（2n﹣3）2．
【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
29．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…，tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|；
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N＝（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1）（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： （0，0，0），（1，1，0） ；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ 2 ；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0），求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2．
【分析】（1）根据定义可直接得到答案；（2）根据新运算2的定义，进行计算即可；（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别为：1*0＝（1+0）﹣|1﹣0|＝0，1*1＝（1+1）﹣|1﹣1|＝2，0*0＝（0+0）﹣|0﹣0|＝0，0*1＝（0+1）﹣|0﹣1|＝0；根据题意，M⊗N的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种；写出N的所以可能的情况即可．
【解答】解：（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：（0，4，（1，1；
故答案为：（6，0，0），4，0）；
（2）A⊗B＝（2+0+8）＝2；
故答案为：2；
（3）对于新运算7，若x和y只能取0或1，分别计算如下：
6*0＝（1+5）﹣|1﹣0|＝4，1*1＝（6+1）﹣|1﹣7|＝2，0*7＝（0+1）﹣|4﹣1|＝0；
∵M⊗N＝8，
∴M⊗N的计算式中有4组新运算1，其中有4组为1*1；
因此，满足条件的2元完美数组N
（1，1，3，0），1，3，1），0，6，0），0，6，1），1，8，0），1，8，1）．
【点评】本题考查的是数字的变化规律、有理数的混合运算等有关内容，第（1）、（2）问根据定义即可得到答案，第（3）问的解题关键在于先列出x*y的四种情况，再分析题意，M⊗N的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1；因此满足条件的4元完美数组N，就可以列出了．第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1
第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1