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(小白高考)新高考数学(零基础)一轮复习教案8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》 (2份打包,原卷版+教师版)
展开核心素养立意下的命题导向
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素,凸显直观想象的核心素养.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,凸显数学运算的核心素养.
3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系,凸显数学抽象的核心素养.
[理清主干知识]
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的五种形式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1.直线eq \r(3)x﹣y+a=0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
2.经过点P0(2,﹣3),倾斜角为45°的直线方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0
C.x﹣y+5=0 D.x﹣y﹣5=0
3.倾斜角为135°,在y轴上的截距为﹣1的直线方程是( )
A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0
C.x+y﹣1=0 D.x+y+1=0
4.过点M(﹣1,m),N(m+1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
二、易错点练清
1.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π))
2.已知经过两点A(m2+2,m2﹣3),B(3﹣m﹣m2,2m)的直线l的倾斜角为135°,则m的值为________.
3.过点M(3,﹣4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________.
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例] (1)直线2xcs α﹣y﹣3=0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(2π,3)))
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________,________.
[方法技巧]
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k=tan α的取值范围.
(2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率取值范围的2种求法
[针对训练]
1.“a<﹣1”是“直线ax+y﹣1=0的倾斜角大于eq \f(π,4)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(多选)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是( )
A.k1
[典例] 求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(﹣1,﹣3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;
(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
[方法技巧] 求解直线方程的2种方法
[针对训练]
1.一条直线经过点A(﹣2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.
2.已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.
[方法技巧]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[针对训练]
已知直线l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1.直线l的方程为 eq \r(3)x+3y﹣1=0,则直线l的倾斜角为( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
2.过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A.3x﹣5y+10=0 B.3x﹣4y+8=0
C.3x+4y+10=0 D.3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )
4.已知直线l的斜率为eq \r(3),在y轴上的截距为另一条直线x﹣2y﹣4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=eq \r(3)x+2 B.y=eq \r(3)x﹣2 C.y=eq \r(3)x+eq \f(1,2) D.y=﹣eq \r(3)x+2
5.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))
6.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=(x﹣1)ex+3e的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则直线l的横截距为________.
二、综合练——练思维敏锐度
1.已知三点A(2,﹣3),B(4,3),Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5,\f(k,2)))在同一条直线上,则k的值为( )
A.12 B.9 C.﹣12 D.9或12
2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,﹣1),则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.﹣eq \f(1,3) C.﹣eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
3.过点(2,1)且倾斜角比直线y=﹣x﹣1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2
4.若k,﹣1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点( )
A.(1,﹣2) B.(1,2) C.(﹣1,2) D.(﹣1,﹣2)
5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.x+2y+3=0 B.2x+y+3=0
C.x﹣2y+3=0 D.2x﹣y+3=0
6.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(﹣3,3),则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2))) C.(﹣∞,﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5),+∞)) D.(﹣∞,﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))
7.若直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )
A.[﹣2,2] B.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
C.[﹣2,0)∪(0,2] D.(﹣∞,+∞)
8.(多选)已知直线l:mx+y+1=0,A(1,0),B(3,1),则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点(0,1)
B.当m=0时,直线l的斜率不存在
C.当m=1时,直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D.当m=2时,直线l与直线AB垂直
9.设点A(﹣2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段 AB没有交点,则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(5,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(5,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(5,2),\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2),+∞))
10.直线(a﹣1)x+y﹣a﹣3=0(a>1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
11.过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________.
12.已知三角形的三个顶点A(﹣5,0),B(3,﹣3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为____________.
13.曲线y=x3﹣x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________.
14.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(﹣4,7),C(6,﹣5),BC边所在直线过点P(8,﹣1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
直线的倾斜角
直线的斜率
定
义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°
当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan_α;经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2=eq \f(y2-y1,x2-x1)
区
别
直线l垂直于x轴时,直线l的倾斜角是90°;倾斜角的取值范围为[0,π)
直线l垂直于x轴时,直线l的斜率不存在;斜率k的取值范围为R
联
系
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系;
(2)当直线l的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))时,α越大,直线l的斜率越大
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0,y0),斜率k
y﹣y0=k(x﹣x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b,斜率k
y=kx+b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2)
eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a,纵截距b
eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面直角坐标系内所有直线
数形
结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定
函数
图象法
根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可
直接法
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
待定
系数法
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
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