山东省聊城市高唐县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市高唐县2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项）
1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式：，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）．
A．0B．1C．﹣1D．±1
5．如图，已知，求作：，使
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
根据以上作法，可以判断出的方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若关于x轴对称的点是，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，中，，平分，，E为的中点，则的长为（ ）

A．2B．3C．1.5D．2.5
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9B．10C．13D．14
12．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．约分： ．
14．已知，则代数式的值是 ．
15．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是 ．
16．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 ．
17．已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共计69分。解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．两个城镇A、B与两条公路位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

19．计算：
(1)
(2)
20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：．

21．先化简，再求值：，请从，，0，2中选择你喜欢的一个数作为x的值代入，求出相应的分式的值．
22．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为，交于，已知，求的度数．
23．在直角坐标系中，已知点A（a＋b，2﹣a）与点B（a﹣5，b﹣2a）关于y轴对称，
（1）试确定点A、B的坐标；
（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．
24．在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F．

(1)若，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
(2)若的周长为18，，求的周长．
25．已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，．
(1)如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）．
(2)如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由．
(3)如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在，，，中，其中分式有：、共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
3．A
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
【详解】解：A、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式；
B、分子分解因式为与分母可以约去，结果为，所以不是最简分式；
C、分子分解因式为，与分母可以约去，结果为，所以不是最简分式；
D、分子分母可以约去，结果为，所以不是最简分式．
故选：A．
【点睛】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．B
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得.
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
5．B
【分析】利用作法得到OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，
则可根据“SSS”判断△OPQ≌△EDF，从而得到∠DEF＝∠AOB．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
6．D
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得，即．
【详解】解：如图所示：
∵图中是三个全等三角形，
∴,
又∵三角形ABC的外角和，
又，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理， 解题关键点：熟记全等三角形的性质．
7．C
【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行逐一化简，即可求解．
【详解】解：A.，结果不正确，故不符合题意；
B.，结果不正确，故不符合题意；
C.结果正确，故符合题意；
D.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键．
8．B
【分析】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，从而得解．
【详解】解：点关于x轴对称的点是，
，，
解得：，，
的坐标是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．B
【分析】由折叠的性质可得，，再由可得，由此即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
10．A
【分析】延长交于点F，证，再由E为的中点，即可求解；
【详解】解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故选：A．

【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、中位线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
11．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
12．D
【分析】连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，依据，即可得到最小值等于线段的长．
【详解】解：如图，连接，
由，，，
可得，
，
，
当点，，在同一直线上时，
的最小值为长，
此时，由，，，
可得，
，
最小值等于线段的长，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，解题的关键是根据题意作出关于的对称点．
13．
【分析】根据分式的约分解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
14．
【分析】先将已知等式变形得：，然后将代数式通分并利用同分母分式的减法法则计算，再将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用了整体代入的思想方法．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．8或2
【分析】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
【详解】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是8或2．
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
16．
【分析】首先求出证明，，推出，可得结论．
【详解】解：∵P点关于的对称点是，P点关于OA的对称点是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．40
【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定．
【详解】解：
式子的值是整数，则或．
则或1或4或2．
则所有符合条件的值的乘积为．
故答案为：40
18．画图见解析
【分析】连接，作的中垂线和的角平分线，它们的交点，即为所求的点．
【详解】解：如图所示，点C即为所求．

【点睛】本题主要考查线段的中垂线和角的角平分线的尺规作图，尺规作图时，保留作图痕迹，是解题的关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
（1）根据分式的加减法法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
20．见详解
【分析】因为，所以，又因为，，即可证明，所以，即．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴
∴
即
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，难度较小，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
21．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简，明确分式有意义的条件，正确选值是解题的关键．
先运用公式法进行因式分解，约分，通分，进行化简，后根据分式的分母不能为零，确定要选择的x值，代入计算即可．
【详解】解：因为
，
，
因为，
所以，
所以，
所以
22．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的两底角相等，可得，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
23．（1）点A、B的坐标分别为：（4，1），（﹣4，1）；（2）8
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a，b即可解答本题；
（2）根据点B关于x轴的对称的点是C，得出C点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．
【详解】解：（1）∵点A（a＋b，2﹣a）与点B（a﹣5，b﹣2a）关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴点A、B的坐标分别为：（4，1），（﹣4，1）；
（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，
∴C点坐标为：（﹣4，﹣1），
∴△ABC的面积为：×BC×AB＝×2×8＝8．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
24．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)12
【分析】（1）根据等边对等角，得到，平行线的性质，推出，即可得证；
（2）根据平行线的性质，以及角平分线平分角，推出，，进而得到的周长为：，即可得解．
【详解】（1）解：是等腰三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）∵的周长为18，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，平行加角平分线往往会出现等腰三角形，是解题的关键．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下：
如图，过作交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，∘，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，∘，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．