【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 01第一章 集合与常用逻辑用语-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc147996637" 知识梳理 PAGEREF _Tc147996637 \h 1
\l "_Tc147996638" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc147996638 \h 3
\l "_Tc147996639" 考点一：集合的含义与表示 PAGEREF _Tc147996639 \h 3
\l "_Tc147996640" 考点二：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc147996640 \h 4
\l "_Tc147996641" 考点三：集合的基本运算 PAGEREF _Tc147996641 \h 4
\l "_Tc147996642" 考点四：充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc147996642 \h 6
\l "_Tc147996643" 考点五：全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc147996643 \h 7
\l "_Tc147996644" 集合与常用逻辑用语实战训练 PAGEREF _Tc147996644 \h 8
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4）若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
5、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
考点一：集合的含义与表示
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近的所有实数
例题3．（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是 ( )
A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M
例题4．（2023·上海·高三统考学业考试）“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近的所有实数
3．（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是 ( )
A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M
4．（2023·上海·高三统考学业考试）“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
考点二：集合间的基本关系
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0}B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}D．{x|x>6且x<1}
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5B．6
C．7D．8
例题3．（2023·上海·高三统考学业考试）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A．B．C．D．
真题演练
1．（2023·全国·高一学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．（2023·河北·高三学业考试）若集合，，则
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知集合，，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
考点三：集合的基本运算
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·天津南开·高一学业考试）设全集，集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
例题3．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题5．（2023·河北·高三学业考试）已知集合，集合，且，则 ， ．
真题演练
1．（2023春·浙江·高二学业考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东·高三学业考试）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知全集，集合，，则（ ）
A．{2，4}B．{6，8，10}C．{6，8}D．{2，4，6，8，10}
4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）设全集，，，则集合为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
考点四：充分条件与必要条件
真题讲解
例题1．（2023春·天津南开·高一学业考试）对于实数，“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题4．（2023·全国·高一学业考试）已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
真题演练
1．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023春·浙江金华·高二学业考试）若：；：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点五：全称量词与存在量词
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知命题，，则命题的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，或
例题3．（2023·河北·高三学业考试）命题“”的否定为 .
例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）命题“，”为假命题，则的取值范围为 .
真题演练
1．（2023春·天津南开·高一学业考试）已知命题：，，则命题的否定为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）命题“，”的否定为（ ）
A．B．
C．，D．，
3．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2023春·河北·高三统考学业考试）若命题“”是假命题，则实数a的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·高三学业考试）若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
集合与常用逻辑用语实战训练
1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东·高三学业考试）集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北·高三统考学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·湖南·高二统考学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（2023秋·福建·高二统考学业考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）设，集合，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·河北·高二统考学业考试）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河北·高三学业考试）已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北·高三学业考试）设集合，．若，则 ( )
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2023·上海·高三统考学业考试）已知集合，，则
13．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为 ．
14．（2023·河北·高三学业考试）已知集合且，集合且，那么集合与之间的关系是 .
三、解答题
15．（2023·河北·高三学业考试）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
(1)若，则是的什么条件？
(2)若是的必要条件，求的取值范围．
16．（2023·河北·高三学业考试）已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)．
17．（2023·河北·高三学业考试）已知．
（1）求中对应x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或