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人教版2023-2024学年六年级数学上册期末复习专题二：分数和百分数应用篇（原卷版+答案解析）
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这是一份人教版2023-2024学年六年级数学上册期末复习专题二：分数和百分数应用篇（原卷版+答案解析），共52页。
期末复习专题二：分数和百分数应用篇
本专题是期末复习专题二：分数和百分数应用篇，它包括分数乘除法基本类型应用题和较复杂的一般类型题以及百分数应用题，考题综合性较强，一共划分为七大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】分数乘法应用题基本题型。
【知识总览】
一、寻找单位“1”的方法。
1.“占”、“是”、“比”的后面。
2.在分率句中“分率”的前面。
二、分数乘法基本题型。
1.求一个数的几分之几是多少？
求一个数的几分之几是多少，单位“1”×对应的分率=对应分量。
2.连续求一个数的几分之几是多少？
连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。
3.求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
求比一个数的几分之几多或少多少，是多少，用单位“1”乘对应的分率，再加上或减去另一个数。
4.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
单位“1”×（1+分率）=一个数。
5.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
单位“1”×（1-分率）=一个数。
【典型例题1】寻找单位“1”
（1）一条路修了，单位“1”是( )，( )×＝( )。
（2）实际用电量比原计划节约，把( )看作单位“1”。数量关系式：( )的用电量( )的用电量。
【典型例题2】求一个数的几分之几是多少？
一个人血液约占体重的。东东体重65千克，体内血液约有多少千克？
【典型例题3】连续求一个数的几分之几是多少？
实验小学科技组有45人，美术组人数是科技组的，体育组人数是美术组的，体育组有多少人？
【典型例题4】求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
新星小学六（1）班去年的图书角中有图书480册，今年的图书册数比去年的多25册。
【典型例题5】已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
一个足球重400克，一个篮球比足球重，一个篮球重多少克？
【典型例题6】已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
六年级参加体育锻炼的有120人，五年级参加体育锻炼的同学比六年级少，五年级参加体育锻炼的有多少人？
【典型例题7】分量和分率区分问题。
一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？
【典型例题8】单位“1”转化问题。
（1）食堂买了大米150千克，第一天用去它的，第二天用去剩下的，两天一共用去多少千克大米？
（2）一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？
【篇目二】分数除法应用题基本题型。
【知识总览】
一、求一个数是（占）另一个数的几分之几？
一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。
二、已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
解题口诀是“作差除比后”。
三、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
该类题型属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决：
1.方程法。
①找准单位“1”的量，设为x;
②找出题目中的等量关系；
③列出方程求解；
④检验作答。
2.算术法。
单位“1”未知，分量÷分率=单位“1”。
①找出单位“1”；
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）；
③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。
四、已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+分率）=单位“1”。
五、已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1-分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数是（占）另一个数的几分之几？
五（1）班共有男生24人，女生28人，女生占全班的几分之几？男生是女生的几分之几？
【典型例题2】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
（1）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几？
（2）学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？
【典型例题3】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
小红爸爸的体重是75千克。
（1）小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是多少千克？
（2）爸爸的体重是妈妈体重的，妈妈的体重是多少千克？
【典型例题4】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数。
北纬30°线贯穿四大文明古国，是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在其附近。已知庐山约有植物2400种，庐山的植物种类约是黄山的，黄山的植物种类约是峨眉山的，那么峨眉山约有植物多少种？
【典型例题5】分量和分率区分问题。
一堆煤有吨，7天烧完。平均每天烧这堆煤的，平均每天烧煤（ ）吨。
【典型例题6】分数除法中的归一问题。
小明小时走了千米，则小明行1千米需要( )小时；每小时行了( )千米。
【典型例题7】已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
5G基站是5G网络的核心设备，提供无线覆盖，实现有限通信网络与无线终端之间的无线信号传输。截至2022年5月，中国已建成60基站近160万个，比截至2021年6月时建成的数量多，截至2021年6月建成5G基站多少万个？
【典型例题8】已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
研究表明，眼睛如果长时间不眨，眼液分泌量就会减少，导致眼睛干涩，易疲劳。据统计，人在玩手机或者电脑游戏时平均每分钟眨眼10次，比正常状态下每分钟眨眼的次数少，人在正常状态下平均每分钟眨眼多少次？
【典型例题9】分数乘除法混合运算应用题。
一块菜地今年收了3600千克蔬菜，其中黄瓜占，今年收的黄瓜相当于去年的，去年收了多少千克黄瓜？
【典型例题10】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。
（1）六年级学生参加植树劳动，女生植了161棵，女生植的树比男生的多5棵。男生植树多少棵？
（2）东方小学“蓓蕾艺术团”有女生48人，比男生人数的还少6人。艺术团有男生多少人？
【篇目三】量率对应问题。
【知识总览】
量率对应问题。
1.“量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，关键在于明确分量和分率代表的意义是否一样，即是否一一对应。
2.量率直接对应类型题，非常容易理解，是比较常见量率对应问题。解决该类型题时，直接使用对应分量÷对应分率=单位“1”，再根据问题去求所需的答案。
3.量率间接对应类型题，关键在于理解，需要分析题目已知条件，计算出所需要的分量与分率，再使用对应分量÷对应分率=单位“1”，求出问题。
【典型例题1】量率直接对应型。
亮刚好读了这本书的，他还有多少页没有读？
【典型例题2】量率间接对应型。
（1）路桥公司修一条公路，修了240米后，还剩全长的，这条公路长多少米？
（2）一条公路已经修了，再修400米就修好这条公路的一半。这条公路总长多少米？
【典型例题3】求和型。
（1）水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的 EQ \f(1,4) 。这批水果有多少千克？
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 EQ \f(1,4) ，第二小时行了全程的 EQ \f(5,18) ，
两小时共行了114千米。两地之间的公路长多少千米？
（3）受疫情影响，全国多地推出了“地摊经济”。陈阿姨摆地摊卖儿童套装，一套童装的价格是270元，裤子的价格是上衣的，上衣的价格是多少元？
【典型例题4】求差型。
（1）小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？
（2）某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天修了42米。第一天比第二天少修这条公路的 EQ \f(1,28) 。这条公路全长多少米？
（3）一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果原来一共多少千克？
（4）某超市运来的大米比面粉少2700千克，大米的质量是面粉的。超市运来大米和面粉各多少千克？
【典型例题5】变化型。
（1）图书馆共有科技书和故事书7200本，故事书比科技书少，有科技书多少本？
（2）工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？
（3）修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？
【篇目四】单位“1”转化问题。
【知识总览】
单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题难点在于单位“1”在变化且没有统一，需要根据已知条件，转化或统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。
【典型例题1】经典型。
水结成冰，体积约增加；那么冰化成水，体积约减少（ ）。
A．B．C．D．
【典型例题2】剩余型。
一根电线，第一次用去它的，第二次用去余下的，还剩60m，这根电线原来长多少米？
【典型例题3】求差型。
依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？
【典型例题4】求和型。
甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？
【典型例题5】任意单位“1”
（1）甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。
（2）甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？
【典型例题6】统一单位“1”。
甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
【典型例题7】寻找不变量。
今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？
【篇目五】工程问题。
【知识总览】
一、工程问题的意义。
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
二、工程问题的特征。
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
三、工程问题的解法。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
四、工程问题基本数量关系。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【典型例题1】工程问题基础题型。
1.一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
2.一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
3.一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
4.甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
【典型例题2】求合作时间。。
（1）一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
（2）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
（3）一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
【典型例题3】单独完成与合作完成的关系。
（1）一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
（2）生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
（3）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
（4）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
【典型例题4】请假问题。
（1）一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
（2）一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
（3）一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
【篇目六】百分数应用题基本题型。
【知识总览】
百分数应用题基本题型，大多是在分数乘除法应用题的基础上进行变式，因此，掌握了分数乘除法应用题也就掌握了百分数应用题。
一、百分数应用题与分数乘法应用题基本题型的结合。
1.求一个数的百分之几是多少？
单位“1”×百分率=分率所对应的量
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少？
单位“1”×（1+百分率）=分率所对应的数量
3.在单位“1”已知的情况下，单位“1”×对应分率=对应分量。
二、百分数应用题与分数除法应用题基本题型的结合。
1.求一个数是另一个数的百分之几？
一个数÷另一个数×100%=百分率
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几：
相差数÷单位“1”=多（少）百分之几（口诀：作差除比后）
3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
分量÷分量所对应的百分率=单位“1”
4.已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+对应百分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数的百分之几是多少。
在一堂40分钟的数学课中，学生操作实践的时间占25%，学生操作实践用了多少时间？
【典型例题2】求一个数比另一个数多或少百分之几的数是多少。
（1）学校图书室原有图书3500册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？
（2）某公司为帮助学生复学复课，四月份捐赠儿童口罩3.95万只。由于疫情缓解，五月份比四月份少捐赠20%，五月份捐赠多少万只儿童口罩？
【典型例题3】百分数变化幅度问题。
某种商品的价格，先涨了10%，后又降了10%。现价与涨价前价格相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？
【典型例题4】求一个数是另一个数的百分之几。
中国倡导的“一带一路”战略沿途经过65个国家，其中经过中东欧（欧洲的中东部）的国家有16个，占沿线国家总数的百分之几？（百分号前保留一位小数）
【典型例题5】求一个数比另一个数多或少百分之几。
（1）为了缓解交通拥挤情况，新化县正在道路拓宽。团结路宽由原来的13m增加到25m，拓宽了百分之几？
（2）一件电器售价120元，比原价降低24元，降低了百分之几？
【典型例题6】已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
修补一批书，已经补了30本，是总本数的25%。这批图书一共多少本？
【典型例题7】已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数。
（1）张琛家5月份用水36吨，比4月份多用了20%，张琛家4月份用水多少吨？
（2)某商场5月份的营业额是480万元，比6月份的营业额少15%，这个商场6月份的营业额有多少万元？
【典型例题8】
某服装店的老板，将两件不同的衣服均以每件180元的价格出售，结果一件赚了20%，另一件赔了20%，小刚说这个老板正好不赔也不赚。你同意小刚的说法吗？
【篇目七】百分率问题和浓度问题。
【知识总览】
一、百分率问题。
1.求百分率的通用公式：
①部分量÷总数量×100%=百分率；
②部分量=总数量×百分率；
③总数量=部分量÷百分率；
2.下列是常见的百分率公式。
小麦的出粉率= ×100%
出勤率= ×100%
花生的出油率= ×100%
达标率= ×100%
发芽率=×100%
成活率=×100%
合格率=×100%
投球的命中率＝×100%
利润率= ×100%（利润=售价-进价）
二、浓度问题。
1.浓度三要素：溶质、溶剂、溶液。
（1）溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
（2）溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
（3）溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
三者关系：溶质+溶剂=溶液
2.浓度的定义：溶质占溶液的百分比。
3.浓度问题基本公式：
①浓度=×100%
②溶质=溶液×浓度
③溶液=溶质÷浓度
【典型例题1】求百分率。
（1）科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？
（2）六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？
（3）六年级学生共植树60棵，成活了56棵，马上又补种了4棵，并全部成活，这批树的成活率是( )。
【典型例题2】百分率问题变式。
300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。
【典型例题3】浓度问题基础。
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
【典型例题4】溶质不变问题
（1）将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。
（2）在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。
【典型例题5】溶剂不变问题。
（1）丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？
（2）现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？
【典型例题6】溶液互混问题。
浓度为60%的酒精溶液600克，与浓度为30%的酒精溶液400克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
【典型例题7】混合型浓度配比问题。
（1）有180克浓度为80%的酒精溶液，再加入多少克浓度为95%的酒精溶液，就能得到浓度为85%的酒精溶液？
（2）将浓度是20%的甲种盐水与浓度是5%的乙种盐水混合，配制浓度为15%的丙种盐水600克，需要甲乙两种盐水各多少克？
2023-2024学年
六年级数学上册典型例题系列——期末复习特别篇
期末复习专题二：分数和百分数应用篇（解析版）
本专题是期末复习专题二：分数和百分数应用篇，它包括分数乘除法基本类型应用题和较复杂的一般类型题以及百分数应用题，考题综合性较强，一共划分为七大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】分数乘法应用题基本题型。
【知识总览】
一、寻找单位“1”的方法。
1.“占”、“是”、“比”的后面。
2.在分率句中“分率”的前面。
二、分数乘法基本题型。
1.求一个数的几分之几是多少？
求一个数的几分之几是多少，单位“1”×对应的分率=对应分量。
2.连续求一个数的几分之几是多少？
连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。
3.求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
求比一个数的几分之几多或少多少，是多少，用单位“1”乘对应的分率，再加上或减去另一个数。
4.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
单位“1”×（1+分率）=一个数。
5.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
单位“1”×（1-分率）=一个数。
【典型例题1】寻找单位“1”
（1）一条路修了，单位“1”是( )，( )×＝( )。
解析：一条路的长度；一条路的长度；已修的长度
（2）实际用电量比原计划节约，把( )看作单位“1”。数量关系式：( )的用电量( )的用电量。
解析：原计划用电量；原计划；节约
【典型例题2】求一个数的几分之几是多少？
一个人血液约占体重的。东东体重65千克，体内血液约有多少千克？
解析：
65×＝5（千克）
答：东东体内血液约有5千克。
【典型例题3】连续求一个数的几分之几是多少？
实验小学科技组有45人，美术组人数是科技组的，体育组人数是美术组的，体育组有多少人？
解析：
（人）
答：体育组有15人。
【典型例题4】求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
新星小学六（1）班去年的图书角中有图书480册，今年的图书册数比去年的多25册。
解析：
答：今年六（1）班有图书425册。
【典型例题5】已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
一个足球重400克，一个篮球比足球重，一个篮球重多少克？
解析：
＝
＝600（千克）
答：一个篮球重600克。
【典型例题6】已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
六年级参加体育锻炼的有120人，五年级参加体育锻炼的同学比六年级少，五年级参加体育锻炼的有多少人？
解析：
120×（1－）
＝120×
＝90（人）
答：五年级参加体育锻炼的有90人。
【典型例题7】分量和分率区分问题。
一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？
解析：
26.4×＋
＝6.6＋0.5
＝7.1（米）
答：两次一共用去7.1米。
【典型例题8】单位“1”转化问题。
（1）食堂买了大米150千克，第一天用去它的，第二天用去剩下的，两天一共用去多少千克大米？
解析：
150×＝50（千克）
（150－50）×＋50
＝100×＋50
＝90（千克）
答：两天一共用去90千克大米。
（2）一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？
解析：
（米）
答：还剩下米。
【篇目二】分数除法应用题基本题型。
【知识总览】
一、求一个数是（占）另一个数的几分之几？
一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。
二、已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
解题口诀是“作差除比后”。
三、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
该类题型属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决：
1.方程法。
①找准单位“1”的量，设为x;
②找出题目中的等量关系；
③列出方程求解；
④检验作答。
2.算术法。
单位“1”未知，分量÷分率=单位“1”。
①找出单位“1”；
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）；
③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。
四、已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+分率）=单位“1”。
五、已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1-分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数是（占）另一个数的几分之几？
五（1）班共有男生24人，女生28人，女生占全班的几分之几？男生是女生的几分之几？
解析：
全班总人数：24＋28＝52（人）
女生占全班的：28÷52＝
男生占女生的：24÷28＝
答：女生占全班的，男生是女生的。
【典型例题2】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
（1）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几？
解析：
答：略。
（2）学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？
解析：
（60－45）÷60
＝15÷60
＝
答：面粉比大米少。
【典型例题3】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
小红爸爸的体重是75千克。
（1）小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是多少千克？
（2）爸爸的体重是妈妈体重的，妈妈的体重是多少千克？
解析：
（1）75×＝25（千克）
答：小红的体重是25千克。
（2）75÷＝50（千克）
答：妈妈的体重是50千克。
【典型例题4】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数。
北纬30°线贯穿四大文明古国，是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在其附近。已知庐山约有植物2400种，庐山的植物种类约是黄山的，黄山的植物种类约是峨眉山的，那么峨眉山约有植物多少种？
解析：
2400÷÷
＝2400××
＝1500×
＝3300（种）
答：峨眉山约有植物3300种。
【典型例题5】分量和分率区分问题。
一堆煤有吨，7天烧完。平均每天烧这堆煤的，平均每天烧煤（ ）吨。
解析：；
【典型例题6】分数除法中的归一问题。
小明小时走了千米，则小明行1千米需要( )小时；每小时行了( )千米。
解析： ；
【典型例题7】已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
5G基站是5G网络的核心设备，提供无线覆盖，实现有限通信网络与无线终端之间的无线信号传输。截至2022年5月，中国已建成60基站近160万个，比截至2021年6月时建成的数量多，截至2021年6月建成5G基站多少万个？
解析：
160÷（1＋）
＝160÷
＝85（万个）
答：截至2021年6月建成5G基站85万个。
【典型例题8】已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
研究表明，眼睛如果长时间不眨，眼液分泌量就会减少，导致眼睛干涩，易疲劳。据统计，人在玩手机或者电脑游戏时平均每分钟眨眼10次，比正常状态下每分钟眨眼的次数少，人在正常状态下平均每分钟眨眼多少次？
解析：
10÷（1－）
＝10÷
＝10×
＝25（次）
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
【典型例题9】分数乘除法混合运算应用题。
一块菜地今年收了3600千克蔬菜，其中黄瓜占，今年收的黄瓜相当于去年的，去年收了多少千克黄瓜？
解析：
3600×÷
＝800÷
＝800×
＝1000（千克）
答：去年收了1000千克黄瓜。
【典型例题10】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。
（1）六年级学生参加植树劳动，女生植了161棵，女生植的树比男生的多5棵。男生植树多少棵？
解析：（161-5）÷=208（棵）
答：略。
（2）东方小学“蓓蕾艺术团”有女生48人，比男生人数的还少6人。艺术团有男生多少人？
解析：
（48+6）÷=81（人）
答：艺术团有男生81人。
【篇目三】量率对应问题。
【知识总览】
量率对应问题。
1.“量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，关键在于明确分量和分率代表的意义是否一样，即是否一一对应。
2.量率直接对应类型题，非常容易理解，是比较常见量率对应问题。解决该类型题时，直接使用对应分量÷对应分率=单位“1”，再根据问题去求所需的答案。
3.量率间接对应类型题，关键在于理解，需要分析题目已知条件，计算出所需要的分量与分率，再使用对应分量÷对应分率=单位“1”，求出问题。
【典型例题1】量率直接对应型。
亮刚好读了这本书的，他还有多少页没有读？
解析：
80÷－80
＝128－80
＝48（天）
答：他还有48页没有读。
【典型例题2】量率间接对应型。
（1）路桥公司修一条公路，修了240米后，还剩全长的，这条公路长多少米？
解析；
240÷（1－）
＝240÷
＝600（米）
答：这条公路长600米。
（2）一条公路已经修了，再修400米就修好这条公路的一半。这条公路总长多少米？
解析：
400÷（－）
＝400÷（－）
＝400÷
＝400×10
＝4000（米）
答：这条公路总长4000米。
【典型例题3】求和型。
（1）水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的 EQ \f(1,4) 。这批水果有多少千克？
解析：分率对应的是两次用去之和，因此（50+70）÷=480（千克）
答：略。
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 EQ \f(1,4) ，第二小时行了全程的 EQ \f(5,18) ，
两小时共行了114千米。两地之间的公路长多少千米？
解析：114÷（）=216（千米）
答：略。
（3）受疫情影响，全国多地推出了“地摊经济”。陈阿姨摆地摊卖儿童套装，一套童装的价格是270元，裤子的价格是上衣的，上衣的价格是多少元？
解析：
270÷（1＋）
＝270÷
＝150（元）
答：上衣的价格是150元。
【典型例题4】求差型。
（1）小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？
解析：
17÷（－）
＝17÷（－）
＝17÷
＝17×4
＝68（页）
答：这本故事书共有68页。
（2）某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天修了42米。第一天比第二天少修这条公路的 EQ \f(1,28) 。这条公路全长多少米？
解析：表示的是第一天比第二天少的分率，所以数量也应该找第一天比第二天少的数量。
（42-38）÷=112（米）
答：略。
（3）一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果原来一共多少千克？
解析：
150÷（1－－）
＝150÷
＝750（千克）
答：这批水果原来一共750千克。
（4）某超市运来的大米比面粉少2700千克，大米的质量是面粉的。超市运来大米和面粉各多少千克？
解析：
2700÷（1－）
＝2700÷
＝4500（千克）
4500×＝1800（千克）
答：这个超市运来大米1800千克，面粉4500千克。
【典型例题5】变化型。
（1）图书馆共有科技书和故事书7200本，故事书比科技书少，有科技书多少本？
解析：把科技书看作单位“1”，则故事书占1-=
科技书：7200÷（1+）=4000（本）
答：略。
（2）工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？
解析：
400÷（1－－）
＝400÷
＝960（米）
答：这条铁路共长960米。
（3）修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？
解析：
（米）
答：这段公路全长1620米。
【篇目四】单位“1”转化问题。
【知识总览】
单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题难点在于单位“1”在变化且没有统一，需要根据已知条件，转化或统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。
【典型例题1】经典型。
水结成冰，体积约增加；那么冰化成水，体积约减少（ ）。
A．B．C．D．
解析：C
÷（1＋）
＝÷
＝×
＝
【典型例题2】剩余型。
一根电线，第一次用去它的，第二次用去余下的，还剩60m，这根电线原来长多少米？
解析：
＝
＝
＝
＝
＝300（米）
答：这根电线的原来长300米。
【典型例题3】求差型。
依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？
解析：
（米）
4800米＝4.8千米
答：依依家与外婆家相距4.8千米。
【典型例题4】求和型。
甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？
解析：
（1－）×
＝×
＝
26÷（＋）
＝26÷
＝30（个）
答：这批零件原来共有30个。
【典型例题5】任意单位“1”
（1）甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。
解析：甲数看作4份，乙数看作5份。
（2）甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？
解析：把甲数看作4份，乙数看作5份，则
每一份：180÷（4+5）=20
甲数：20×4=80
乙数：20×5=100
答：略。
【典型例题6】统一单位“1”。
甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
解析：
甲修了全部的÷（1＋）＝
乙修了全部的；
丙修了全部的；
丁修了全部的：1－－－＝；
全长：68÷＝（米）
答：这条路全长米。
【典型例题7】寻找不变量。
今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？
解析：
＝220÷[]
＝220÷
＝2475（人）
答：原来学校共有2475人。
【篇目五】工程问题。
【知识总览】
一、工程问题的意义。
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
二、工程问题的特征。
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
三、工程问题的解法。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
四、工程问题基本数量关系。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【典型例题1】工程问题基础题型。
1.一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。
1÷20=
答：略。
2.一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
解析：直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。
1÷=10（天）
答：略。
3.一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
解析：1÷12=；1÷20=
答：略。
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
解析：+=
答：略。
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
解析：3×=；1-=
答：略。
4.甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：两队合修天完成。
【典型例题2】求合作时间。。
（1）一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
解析：
1÷4＝
1÷6＝
÷（＋）
＝÷
＝1.8（小时）
答：两人合作，1.8小时能加工完成这批零件的。
（2）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
解析：
1÷（＋÷5）
＝1÷（＋×）
＝1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝12（天）
答：12天可以完成。
（3）一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
解析：
甲、乙的工作效率：1÷6＝
乙、丙的工作效率：1÷9＝
甲、丙的工作效率：1÷15＝
1÷[（）÷2]
＝1÷[（）÷2]
＝1÷[÷2]
＝1÷
＝（天）
答：现在甲、乙、丙三人合作需要天完成。
【典型例题3】单独完成与合作完成的关系。
（1）一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
解析：
1÷（－）
＝1÷
＝30（天）
答：30天可以完成这项工程。
（2）生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
解析：
（1－×4）÷
＝（1－）÷
＝×15
＝10（天）
答：还要10天可以完成。
（3）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
解析：
[1﹣（＋）×2]÷
＝[1﹣×2]÷
＝（1－）×15
＝×15
＝10（天）
答：剩下的工程由乙队单独做还需要10天完成。
（4）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
解析：
（天）
答：两队合作完成剩下的工程，还要9天。
【典型例题4】请假问题。
（1）一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
解析：
（1-）÷（）=10（天）
答：略。
（2）一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
解析：
（1－×14）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×30
＝9（天）
14－9＝5（天）
答：乙队调走5天。
（3）一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
解析：假设法解题
假设这14天都是甲单独做的，那么：
那么乙干的天数：
）÷（）=9（天）
那么甲做了：14-9=5（天）
答：略。
【篇目六】百分数应用题基本题型。
【知识总览】
百分数应用题基本题型，大多是在分数乘除法应用题的基础上进行变式，因此，掌握了分数乘除法应用题也就掌握了百分数应用题。
一、百分数应用题与分数乘法应用题基本题型的结合。
1.求一个数的百分之几是多少？
单位“1”×百分率=分率所对应的量
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少？
单位“1”×（1+百分率）=分率所对应的数量
3.在单位“1”已知的情况下，单位“1”×对应分率=对应分量。
二、百分数应用题与分数除法应用题基本题型的结合。
1.求一个数是另一个数的百分之几？
一个数÷另一个数×100%=百分率
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几：
相差数÷单位“1”=多（少）百分之几（口诀：作差除比后）
3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
分量÷分量所对应的百分率=单位“1”
4.已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+对应百分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数的百分之几是多少。
在一堂40分钟的数学课中，学生操作实践的时间占25%，学生操作实践用了多少时间？
解析：
40×25%＝10（分钟）
答：学生操作实践用了10分钟。
【典型例题2】求一个数比另一个数多或少百分之几的数是多少。
（1）学校图书室原有图书3500册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？
解析：
3500×（1＋12%）
＝3500×1.12
＝3920（册）
答：现在图书室有3920册图书。
（2）某公司为帮助学生复学复课，四月份捐赠儿童口罩3.95万只。由于疫情缓解，五月份比四月份少捐赠20%，五月份捐赠多少万只儿童口罩？
解析：
3.95×（1－20%）
＝3.95×0.8
＝3.16（万只）
答：五月份捐赠3.16万只儿童口罩。
【典型例题3】百分数变化幅度问题。
某种商品的价格，先涨了10%，后又降了10%。现价与涨价前价格相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？
解析：
现在的商品价格：
1×（1＋10%）×（1－10%）
＝1×1.1×0.9
＝0.99
0.99＜1
（1－0.99）÷1
＝0.01÷1
＝1%
答：现在的商品价格与原来相比降低了，变化幅度是降了1%。
【典型例题4】求一个数是另一个数的百分之几。
中国倡导的“一带一路”战略沿途经过65个国家，其中经过中东欧（欧洲的中东部）的国家有16个，占沿线国家总数的百分之几？（百分号前保留一位小数）
解析：
16÷65×100%
≈0.246×100%
＝24.6%
答：占沿线国家总数的24.6%。
【典型例题5】求一个数比另一个数多或少百分之几。
（1）为了缓解交通拥挤情况，新化县正在道路拓宽。团结路宽由原来的13m增加到25m，拓宽了百分之几？
解析：
（25－13）÷13
＝12÷13
≈92.3%
答：拓宽了92.3%。
（2）一件电器售价120元，比原价降低24元，降低了百分之几？
解析：
24÷（120＋24）
＝24÷144
≈16.7%
答：降低了16.7%。
【典型例题6】已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
修补一批书，已经补了30本，是总本数的25%。这批图书一共多少本？
解析：
30÷25%＝120（本）
答：这批图书一共120本。
【典型例题7】已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数。
（1）张琛家5月份用水36吨，比4月份多用了20%，张琛家4月份用水多少吨？
解析：
36÷（1＋20%）
＝36÷1.2
＝30（吨）
答：张琛家4月份用水30吨。
（2)某商场5月份的营业额是480万元，比6月份的营业额少15%，这个商场6月份的营业额有多少万元？
解析：
480÷（1－15%）
＝480÷85%
＝（万元）
答：这个商场6月份的营业额有万元。
【典型例题8】
某服装店的老板，将两件不同的衣服均以每件180元的价格出售，结果一件赚了20%，另一件赔了20%，小刚说这个老板正好不赔也不赚。你同意小刚的说法吗？
解析：
180÷（1＋20%）
＝180÷1.2
＝150（元）
180÷（1－20%）
＝180÷0.8
＝225（元）
进价：225＋150＝375（元）
售价：180×2＝360（元）
375－360＝15（元）
因为375元＞360元，所以赔钱了，赔了15元。
答：不同意小刚的说法，因为赔了15元。
【篇目七】百分率问题和浓度问题。
【知识总览】
一、百分率问题。
1.求百分率的通用公式：
①部分量÷总数量×100%=百分率；
②部分量=总数量×百分率；
③总数量=部分量÷百分率；
2.下列是常见的百分率公式。
小麦的出粉率= ×100%
出勤率= ×100%
花生的出油率= ×100%
达标率= ×100%
发芽率=×100%
成活率=×100%
合格率=×100%
投球的命中率＝×100%
利润率= ×100%（利润=售价-进价）
二、浓度问题。
1.浓度三要素：溶质、溶剂、溶液。
（1）溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
（2）溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
（3）溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
三者关系：溶质+溶剂=溶液
2.浓度的定义：溶质占溶液的百分比。
3.浓度问题基本公式：
①浓度=×100%
②溶质=溶液×浓度
③溶液=溶质÷浓度
【典型例题1】求百分率。
（1）科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？
解析：
6800÷8000×100%
＝0.85×100%
＝85%
答：这批红柳的成活率是85%。
（2）六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？
解析：
47÷（47＋3）×100%
＝47÷50×100%
＝0.94×100%
＝94%
答：该班的出勤率是94%。
（3）六年级学生共植树60棵，成活了56棵，马上又补种了4棵，并全部成活，这批树的成活率是( )。
解析：
（56＋4）÷（60＋4）×100%
＝60÷64×100%
＝93.75%
【典型例题2】百分率问题变式。
300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。
解析：
小麦的出粉率是：
225÷300×100%
＝0.75×100%
＝75%
480kg小麦可以磨出面粉：
480×75%
＝480×0.75
＝360（kg）
要磨出面粉1050kg，需要小麦：
1050÷75%
＝1050÷0.75
＝1400（kg）
【典型例题3】浓度问题基础。
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
解析：
①100；30%
②30；40%
③180；420
【典型例题4】溶质不变问题
（1）将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。
解析：
20×5%÷（20＋80）×100%
＝1÷100×100%
＝0.01×100%
＝1%
（2）在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。
解析：
10÷（40＋10）×100%
＝10÷50×100%
＝0.2×100%
＝20%
10÷10%－（40＋10）
＝10÷10%－50
＝100－50
＝50（克）
【典型例题5】溶剂不变问题。
（1）丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？
解析：
糖：20×10%=2（克）
新的糖：2+5=7（克）
糖水：20+5=25（克）
浓度：7÷25×100%=28%
答：略。
（2）现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？
解析：
水：60×（1-20%）=48（克）
现在的糖水：48÷（1-40%）=80（克）
加糖：80-60=20（克）
答：略。
【典型例题6】溶液互混问题。
浓度为60%的酒精溶液600克，与浓度为30%的酒精溶液400克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
解析：
求混合溶液浓度，需知混合后溶液的总重量及所含纯酒精重量，混合后溶液总重量600＋400＝1000克；纯酒精重600×60%＋400×30%＝480克，然后用480除以1000就是混合后的浓度。
（600×60%＋400×30%）÷（600＋400）
＝（360＋120）÷1000
＝480÷1000
＝48%
答：混合后所得到的酒精溶液的浓度是48%。
【典型例题7】混合型浓度配比问题。
（1）有180克浓度为80%的酒精溶液，再加入多少克浓度为95%的酒精溶液，就能得到浓度为85%的酒精溶液？
解析：用方程法，既直接又方便。
解：设再加入x克浓度为95%的酒精溶液。
（180×80%+95%x）÷（180+x）=85%
x=90
答：再加入 90 克浓度为 95%的酒精溶液，就能得到浓度为 85%的酒精溶液。
（2）将浓度是20%的甲种盐水与浓度是5%的乙种盐水混合，配制浓度为15%的丙种盐水600克，需要甲乙两种盐水各多少克？
解析：
方法一：方程法。
解：设需要甲种盐水x克，需要乙种盐水（600-x）克。
20%x+5%(600-x)=600×15%
解得：x=400 ，600-x=200
答：需要甲种盐水 400 克，需要乙种盐水 200 克。
方法二：假设法。
假设全部是甲种盐水，那么600克盐水中含盐量为：
600×20%=120（克）
事实上600克丙种盐水中含盐量为：600×15%=90（克）
假设与事实的含盐质量差为：120-90=30（克）
如果用1克乙种盐水替换1克甲种盐水，盐的质量会减少：1×（20%-5%）=0.15（克）
所以用乙种盐水替换甲种盐水的质量为：30÷0.15=200（克）
那么甲种盐水的质量为：600-200=400（克）
期末复习专题二：分数和百分数应用篇
本专题是期末复习专题二：分数和百分数应用篇，它包括分数乘除法基本类型应用题和较复杂的一般类型题以及百分数应用题，考题综合性较强，一共划分为七大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】分数乘法应用题基本题型。
【知识总览】
一、寻找单位“1”的方法。
1.“占”、“是”、“比”的后面。
2.在分率句中“分率”的前面。
二、分数乘法基本题型。
1.求一个数的几分之几是多少？
求一个数的几分之几是多少，单位“1”×对应的分率=对应分量。
2.连续求一个数的几分之几是多少？
连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。
3.求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
求比一个数的几分之几多或少多少，是多少，用单位“1”乘对应的分率，再加上或减去另一个数。
4.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
单位“1”×（1+分率）=一个数。
5.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
单位“1”×（1-分率）=一个数。
【典型例题1】寻找单位“1”
（1）一条路修了，单位“1”是( )，( )×＝( )。
（2）实际用电量比原计划节约，把( )看作单位“1”。数量关系式：( )的用电量( )的用电量。
【典型例题2】求一个数的几分之几是多少？
一个人血液约占体重的。东东体重65千克，体内血液约有多少千克？
【典型例题3】连续求一个数的几分之几是多少？
实验小学科技组有45人，美术组人数是科技组的，体育组人数是美术组的，体育组有多少人？
【典型例题4】求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
新星小学六（1）班去年的图书角中有图书480册，今年的图书册数比去年的多25册。
【典型例题5】已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
一个足球重400克，一个篮球比足球重，一个篮球重多少克？
【典型例题6】已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
六年级参加体育锻炼的有120人，五年级参加体育锻炼的同学比六年级少，五年级参加体育锻炼的有多少人？
【典型例题7】分量和分率区分问题。
一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？
【典型例题8】单位“1”转化问题。
（1）食堂买了大米150千克，第一天用去它的，第二天用去剩下的，两天一共用去多少千克大米？
（2）一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？
【篇目二】分数除法应用题基本题型。
【知识总览】
一、求一个数是（占）另一个数的几分之几？
一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。
二、已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
解题口诀是“作差除比后”。
三、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
该类题型属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决：
1.方程法。
①找准单位“1”的量，设为x;
②找出题目中的等量关系；
③列出方程求解；
④检验作答。
2.算术法。
单位“1”未知，分量÷分率=单位“1”。
①找出单位“1”；
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）；
③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。
四、已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+分率）=单位“1”。
五、已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1-分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数是（占）另一个数的几分之几？
五（1）班共有男生24人，女生28人，女生占全班的几分之几？男生是女生的几分之几？
【典型例题2】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
（1）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几？
（2）学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？
【典型例题3】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
小红爸爸的体重是75千克。
（1）小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是多少千克？
（2）爸爸的体重是妈妈体重的，妈妈的体重是多少千克？
【典型例题4】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数。
北纬30°线贯穿四大文明古国，是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在其附近。已知庐山约有植物2400种，庐山的植物种类约是黄山的，黄山的植物种类约是峨眉山的，那么峨眉山约有植物多少种？
【典型例题5】分量和分率区分问题。
一堆煤有吨，7天烧完。平均每天烧这堆煤的，平均每天烧煤（ ）吨。
【典型例题6】分数除法中的归一问题。
小明小时走了千米，则小明行1千米需要( )小时；每小时行了( )千米。
【典型例题7】已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
5G基站是5G网络的核心设备，提供无线覆盖，实现有限通信网络与无线终端之间的无线信号传输。截至2022年5月，中国已建成60基站近160万个，比截至2021年6月时建成的数量多，截至2021年6月建成5G基站多少万个？
【典型例题8】已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
研究表明，眼睛如果长时间不眨，眼液分泌量就会减少，导致眼睛干涩，易疲劳。据统计，人在玩手机或者电脑游戏时平均每分钟眨眼10次，比正常状态下每分钟眨眼的次数少，人在正常状态下平均每分钟眨眼多少次？
【典型例题9】分数乘除法混合运算应用题。
一块菜地今年收了3600千克蔬菜，其中黄瓜占，今年收的黄瓜相当于去年的，去年收了多少千克黄瓜？
【典型例题10】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。
（1）六年级学生参加植树劳动，女生植了161棵，女生植的树比男生的多5棵。男生植树多少棵？
（2）东方小学“蓓蕾艺术团”有女生48人，比男生人数的还少6人。艺术团有男生多少人？
【篇目三】量率对应问题。
【知识总览】
量率对应问题。
1.“量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，关键在于明确分量和分率代表的意义是否一样，即是否一一对应。
2.量率直接对应类型题，非常容易理解，是比较常见量率对应问题。解决该类型题时，直接使用对应分量÷对应分率=单位“1”，再根据问题去求所需的答案。
3.量率间接对应类型题，关键在于理解，需要分析题目已知条件，计算出所需要的分量与分率，再使用对应分量÷对应分率=单位“1”，求出问题。
【典型例题1】量率直接对应型。
亮刚好读了这本书的，他还有多少页没有读？
【典型例题2】量率间接对应型。
（1）路桥公司修一条公路，修了240米后，还剩全长的，这条公路长多少米？
（2）一条公路已经修了，再修400米就修好这条公路的一半。这条公路总长多少米？
【典型例题3】求和型。
（1）水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的 EQ \f(1,4) 。这批水果有多少千克？
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 EQ \f(1,4) ，第二小时行了全程的 EQ \f(5,18) ，
两小时共行了114千米。两地之间的公路长多少千米？
（3）受疫情影响，全国多地推出了“地摊经济”。陈阿姨摆地摊卖儿童套装，一套童装的价格是270元，裤子的价格是上衣的，上衣的价格是多少元？
【典型例题4】求差型。
（1）小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？
（2）某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天修了42米。第一天比第二天少修这条公路的 EQ \f(1,28) 。这条公路全长多少米？
（3）一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果原来一共多少千克？
（4）某超市运来的大米比面粉少2700千克，大米的质量是面粉的。超市运来大米和面粉各多少千克？
【典型例题5】变化型。
（1）图书馆共有科技书和故事书7200本，故事书比科技书少，有科技书多少本？
（2）工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？
（3）修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？
【篇目四】单位“1”转化问题。
【知识总览】
单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题难点在于单位“1”在变化且没有统一，需要根据已知条件，转化或统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。
【典型例题1】经典型。
水结成冰，体积约增加；那么冰化成水，体积约减少（ ）。
A．B．C．D．
【典型例题2】剩余型。
一根电线，第一次用去它的，第二次用去余下的，还剩60m，这根电线原来长多少米？
【典型例题3】求差型。
依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？
【典型例题4】求和型。
甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？
【典型例题5】任意单位“1”
（1）甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。
（2）甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？
【典型例题6】统一单位“1”。
甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
【典型例题7】寻找不变量。
今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？
【篇目五】工程问题。
【知识总览】
一、工程问题的意义。
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
二、工程问题的特征。
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
三、工程问题的解法。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
四、工程问题基本数量关系。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【典型例题1】工程问题基础题型。
1.一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
2.一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
3.一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
4.甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
【典型例题2】求合作时间。。
（1）一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
（2）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
（3）一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
【典型例题3】单独完成与合作完成的关系。
（1）一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
（2）生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
（3）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
（4）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
【典型例题4】请假问题。
（1）一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
（2）一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
（3）一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
【篇目六】百分数应用题基本题型。
【知识总览】
百分数应用题基本题型，大多是在分数乘除法应用题的基础上进行变式，因此，掌握了分数乘除法应用题也就掌握了百分数应用题。
一、百分数应用题与分数乘法应用题基本题型的结合。
1.求一个数的百分之几是多少？
单位“1”×百分率=分率所对应的量
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少？
单位“1”×（1+百分率）=分率所对应的数量
3.在单位“1”已知的情况下，单位“1”×对应分率=对应分量。
二、百分数应用题与分数除法应用题基本题型的结合。
1.求一个数是另一个数的百分之几？
一个数÷另一个数×100%=百分率
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几：
相差数÷单位“1”=多（少）百分之几（口诀：作差除比后）
3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
分量÷分量所对应的百分率=单位“1”
4.已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+对应百分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数的百分之几是多少。
在一堂40分钟的数学课中，学生操作实践的时间占25%，学生操作实践用了多少时间？
【典型例题2】求一个数比另一个数多或少百分之几的数是多少。
（1）学校图书室原有图书3500册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？
（2）某公司为帮助学生复学复课，四月份捐赠儿童口罩3.95万只。由于疫情缓解，五月份比四月份少捐赠20%，五月份捐赠多少万只儿童口罩？
【典型例题3】百分数变化幅度问题。
某种商品的价格，先涨了10%，后又降了10%。现价与涨价前价格相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？
【典型例题4】求一个数是另一个数的百分之几。
中国倡导的“一带一路”战略沿途经过65个国家，其中经过中东欧（欧洲的中东部）的国家有16个，占沿线国家总数的百分之几？（百分号前保留一位小数）
【典型例题5】求一个数比另一个数多或少百分之几。
（1）为了缓解交通拥挤情况，新化县正在道路拓宽。团结路宽由原来的13m增加到25m，拓宽了百分之几？
（2）一件电器售价120元，比原价降低24元，降低了百分之几？
【典型例题6】已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
修补一批书，已经补了30本，是总本数的25%。这批图书一共多少本？
【典型例题7】已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数。
（1）张琛家5月份用水36吨，比4月份多用了20%，张琛家4月份用水多少吨？
（2)某商场5月份的营业额是480万元，比6月份的营业额少15%，这个商场6月份的营业额有多少万元？
【典型例题8】
某服装店的老板，将两件不同的衣服均以每件180元的价格出售，结果一件赚了20%，另一件赔了20%，小刚说这个老板正好不赔也不赚。你同意小刚的说法吗？
【篇目七】百分率问题和浓度问题。
【知识总览】
一、百分率问题。
1.求百分率的通用公式：
①部分量÷总数量×100%=百分率；
②部分量=总数量×百分率；
③总数量=部分量÷百分率；
2.下列是常见的百分率公式。
小麦的出粉率= ×100%
出勤率= ×100%
花生的出油率= ×100%
达标率= ×100%
发芽率=×100%
成活率=×100%
合格率=×100%
投球的命中率＝×100%
利润率= ×100%（利润=售价-进价）
二、浓度问题。
1.浓度三要素：溶质、溶剂、溶液。
（1）溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
（2）溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
（3）溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
三者关系：溶质+溶剂=溶液
2.浓度的定义：溶质占溶液的百分比。
3.浓度问题基本公式：
①浓度=×100%
②溶质=溶液×浓度
③溶液=溶质÷浓度
【典型例题1】求百分率。
（1）科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？
（2）六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？
（3）六年级学生共植树60棵，成活了56棵，马上又补种了4棵，并全部成活，这批树的成活率是( )。
【典型例题2】百分率问题变式。
300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。
【典型例题3】浓度问题基础。
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
【典型例题4】溶质不变问题
（1）将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。
（2）在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。
【典型例题5】溶剂不变问题。
（1）丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？
（2）现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？
【典型例题6】溶液互混问题。
浓度为60%的酒精溶液600克，与浓度为30%的酒精溶液400克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
【典型例题7】混合型浓度配比问题。
（1）有180克浓度为80%的酒精溶液，再加入多少克浓度为95%的酒精溶液，就能得到浓度为85%的酒精溶液？
（2）将浓度是20%的甲种盐水与浓度是5%的乙种盐水混合，配制浓度为15%的丙种盐水600克，需要甲乙两种盐水各多少克？
2023-2024学年
六年级数学上册典型例题系列——期末复习特别篇
期末复习专题二：分数和百分数应用篇（解析版）
本专题是期末复习专题二：分数和百分数应用篇，它包括分数乘除法基本类型应用题和较复杂的一般类型题以及百分数应用题，考题综合性较强，一共划分为七大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】分数乘法应用题基本题型。
【知识总览】
一、寻找单位“1”的方法。
1.“占”、“是”、“比”的后面。
2.在分率句中“分率”的前面。
二、分数乘法基本题型。
1.求一个数的几分之几是多少？
求一个数的几分之几是多少，单位“1”×对应的分率=对应分量。
2.连续求一个数的几分之几是多少？
连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。
3.求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
求比一个数的几分之几多或少多少，是多少，用单位“1”乘对应的分率，再加上或减去另一个数。
4.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
单位“1”×（1+分率）=一个数。
5.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
单位“1”×（1-分率）=一个数。
【典型例题1】寻找单位“1”
（1）一条路修了，单位“1”是( )，( )×＝( )。
解析：一条路的长度；一条路的长度；已修的长度
（2）实际用电量比原计划节约，把( )看作单位“1”。数量关系式：( )的用电量( )的用电量。
解析：原计划用电量；原计划；节约
【典型例题2】求一个数的几分之几是多少？
一个人血液约占体重的。东东体重65千克，体内血液约有多少千克？
解析：
65×＝5（千克）
答：东东体内血液约有5千克。
【典型例题3】连续求一个数的几分之几是多少？
实验小学科技组有45人，美术组人数是科技组的，体育组人数是美术组的，体育组有多少人？
解析：
（人）
答：体育组有15人。
【典型例题4】求比一个数的几分之几多或少多少，是多少？
新星小学六（1）班去年的图书角中有图书480册，今年的图书册数比去年的多25册。
解析：
答：今年六（1）班有图书425册。
【典型例题5】已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。
一个足球重400克，一个篮球比足球重，一个篮球重多少克？
解析：
＝
＝600（千克）
答：一个篮球重600克。
【典型例题6】已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。
六年级参加体育锻炼的有120人，五年级参加体育锻炼的同学比六年级少，五年级参加体育锻炼的有多少人？
解析：
120×（1－）
＝120×
＝90（人）
答：五年级参加体育锻炼的有90人。
【典型例题7】分量和分率区分问题。
一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？
解析：
26.4×＋
＝6.6＋0.5
＝7.1（米）
答：两次一共用去7.1米。
【典型例题8】单位“1”转化问题。
（1）食堂买了大米150千克，第一天用去它的，第二天用去剩下的，两天一共用去多少千克大米？
解析：
150×＝50（千克）
（150－50）×＋50
＝100×＋50
＝90（千克）
答：两天一共用去90千克大米。
（2）一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？
解析：
（米）
答：还剩下米。
【篇目二】分数除法应用题基本题型。
【知识总览】
一、求一个数是（占）另一个数的几分之几？
一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。
二、已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
解题口诀是“作差除比后”。
三、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
该类题型属于最基础的分数除法应用题，常常使用以下两种方法解决：
1.方程法。
①找准单位“1”的量，设为x;
②找出题目中的等量关系；
③列出方程求解；
④检验作答。
2.算术法。
单位“1”未知，分量÷分率=单位“1”。
①找出单位“1”；
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）；
③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。
四、已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+分率）=单位“1”。
五、已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1-分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数是（占）另一个数的几分之几？
五（1）班共有男生24人，女生28人，女生占全班的几分之几？男生是女生的几分之几？
解析：
全班总人数：24＋28＝52（人）
女生占全班的：28÷52＝
男生占女生的：24÷28＝
答：女生占全班的，男生是女生的。
【典型例题2】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？
（1）学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。苹果树的棵数比梨树多几分之几？
解析：
答：略。
（2）学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？
解析：
（60－45）÷60
＝15÷60
＝
答：面粉比大米少。
【典型例题3】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
小红爸爸的体重是75千克。
（1）小红的体重是爸爸体重的，小红的体重是多少千克？
（2）爸爸的体重是妈妈体重的，妈妈的体重是多少千克？
解析：
（1）75×＝25（千克）
答：小红的体重是25千克。
（2）75÷＝50（千克）
答：妈妈的体重是50千克。
【典型例题4】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数。
北纬30°线贯穿四大文明古国，是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在其附近。已知庐山约有植物2400种，庐山的植物种类约是黄山的，黄山的植物种类约是峨眉山的，那么峨眉山约有植物多少种？
解析：
2400÷÷
＝2400××
＝1500×
＝3300（种）
答：峨眉山约有植物3300种。
【典型例题5】分量和分率区分问题。
一堆煤有吨，7天烧完。平均每天烧这堆煤的，平均每天烧煤（ ）吨。
解析：；
【典型例题6】分数除法中的归一问题。
小明小时走了千米，则小明行1千米需要( )小时；每小时行了( )千米。
解析： ；
【典型例题7】已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数。
5G基站是5G网络的核心设备，提供无线覆盖，实现有限通信网络与无线终端之间的无线信号传输。截至2022年5月，中国已建成60基站近160万个，比截至2021年6月时建成的数量多，截至2021年6月建成5G基站多少万个？
解析：
160÷（1＋）
＝160÷
＝85（万个）
答：截至2021年6月建成5G基站85万个。
【典型例题8】已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数。
研究表明，眼睛如果长时间不眨，眼液分泌量就会减少，导致眼睛干涩，易疲劳。据统计，人在玩手机或者电脑游戏时平均每分钟眨眼10次，比正常状态下每分钟眨眼的次数少，人在正常状态下平均每分钟眨眼多少次？
解析：
10÷（1－）
＝10÷
＝10×
＝25（次）
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
【典型例题9】分数乘除法混合运算应用题。
一块菜地今年收了3600千克蔬菜，其中黄瓜占，今年收的黄瓜相当于去年的，去年收了多少千克黄瓜？
解析：
3600×÷
＝800÷
＝800×
＝1000（千克）
答：去年收了1000千克黄瓜。
【典型例题10】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。
（1）六年级学生参加植树劳动，女生植了161棵，女生植的树比男生的多5棵。男生植树多少棵？
解析：（161-5）÷=208（棵）
答：略。
（2）东方小学“蓓蕾艺术团”有女生48人，比男生人数的还少6人。艺术团有男生多少人？
解析：
（48+6）÷=81（人）
答：艺术团有男生81人。
【篇目三】量率对应问题。
【知识总览】
量率对应问题。
1.“量率对应”是使用算术方法解决分数除法应用题的核心思路，关键在于明确分量和分率代表的意义是否一样，即是否一一对应。
2.量率直接对应类型题，非常容易理解，是比较常见量率对应问题。解决该类型题时，直接使用对应分量÷对应分率=单位“1”，再根据问题去求所需的答案。
3.量率间接对应类型题，关键在于理解，需要分析题目已知条件，计算出所需要的分量与分率，再使用对应分量÷对应分率=单位“1”，求出问题。
【典型例题1】量率直接对应型。
亮刚好读了这本书的，他还有多少页没有读？
解析：
80÷－80
＝128－80
＝48（天）
答：他还有48页没有读。
【典型例题2】量率间接对应型。
（1）路桥公司修一条公路，修了240米后，还剩全长的，这条公路长多少米？
解析；
240÷（1－）
＝240÷
＝600（米）
答：这条公路长600米。
（2）一条公路已经修了，再修400米就修好这条公路的一半。这条公路总长多少米？
解析：
400÷（－）
＝400÷（－）
＝400÷
＝400×10
＝4000（米）
答：这条公路总长4000米。
【典型例题3】求和型。
（1）水果店运一批水果。第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的 EQ \f(1,4) 。这批水果有多少千克？
解析：分率对应的是两次用去之和，因此（50+70）÷=480（千克）
答：略。
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 EQ \f(1,4) ，第二小时行了全程的 EQ \f(5,18) ，
两小时共行了114千米。两地之间的公路长多少千米？
解析：114÷（）=216（千米）
答：略。
（3）受疫情影响，全国多地推出了“地摊经济”。陈阿姨摆地摊卖儿童套装，一套童装的价格是270元，裤子的价格是上衣的，上衣的价格是多少元？
解析：
270÷（1＋）
＝270÷
＝150（元）
答：上衣的价格是150元。
【典型例题4】求差型。
（1）小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？
解析：
17÷（－）
＝17÷（－）
＝17÷
＝17×4
＝68（页）
答：这本故事书共有68页。
（2）某工程队修筑一条公路。第一天修了38米，第二天修了42米。第一天比第二天少修这条公路的 EQ \f(1,28) 。这条公路全长多少米？
解析：表示的是第一天比第二天少的分率，所以数量也应该找第一天比第二天少的数量。
（42-38）÷=112（米）
答：略。
（3）一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果原来一共多少千克？
解析：
150÷（1－－）
＝150÷
＝750（千克）
答：这批水果原来一共750千克。
（4）某超市运来的大米比面粉少2700千克，大米的质量是面粉的。超市运来大米和面粉各多少千克？
解析：
2700÷（1－）
＝2700÷
＝4500（千克）
4500×＝1800（千克）
答：这个超市运来大米1800千克，面粉4500千克。
【典型例题5】变化型。
（1）图书馆共有科技书和故事书7200本，故事书比科技书少，有科技书多少本？
解析：把科技书看作单位“1”，则故事书占1-=
科技书：7200÷（1+）=4000（本）
答：略。
（2）工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？
解析：
400÷（1－－）
＝400÷
＝960（米）
答：这条铁路共长960米。
（3）修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？
解析：
（米）
答：这段公路全长1620米。
【篇目四】单位“1”转化问题。
【知识总览】
单位“1”转化问题。
单位“1”转化问题难点在于单位“1”在变化且没有统一，需要根据已知条件，转化或统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。
【典型例题1】经典型。
水结成冰，体积约增加；那么冰化成水，体积约减少（ ）。
A．B．C．D．
解析：C
÷（1＋）
＝÷
＝×
＝
【典型例题2】剩余型。
一根电线，第一次用去它的，第二次用去余下的，还剩60m，这根电线原来长多少米？
解析：
＝
＝
＝
＝
＝300（米）
答：这根电线的原来长300米。
【典型例题3】求差型。
依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？
解析：
（米）
4800米＝4.8千米
答：依依家与外婆家相距4.8千米。
【典型例题4】求和型。
甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？
解析：
（1－）×
＝×
＝
26÷（＋）
＝26÷
＝30（个）
答：这批零件原来共有30个。
【典型例题5】任意单位“1”
（1）甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（ ），乙数是甲数的（ ）。
解析：甲数看作4份，乙数看作5份。
（2）甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？
解析：把甲数看作4份，乙数看作5份，则
每一份：180÷（4+5）=20
甲数：20×4=80
乙数：20×5=100
答：略。
【典型例题6】统一单位“1”。
甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？
解析：
甲修了全部的÷（1＋）＝
乙修了全部的；
丙修了全部的；
丁修了全部的：1－－－＝；
全长：68÷＝（米）
答：这条路全长米。
【典型例题7】寻找不变量。
今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？
解析：
＝220÷[]
＝220÷
＝2475（人）
答：原来学校共有2475人。
【篇目五】工程问题。
【知识总览】
一、工程问题的意义。
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
二、工程问题的特征。
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
三、工程问题的解法。
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
四、工程问题基本数量关系。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【典型例题1】工程问题基础题型。
1.一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。
1÷20=
答：略。
2.一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
解析：直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。
1÷=10（天）
答：略。
3.一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
解析：1÷12=；1÷20=
答：略。
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
解析：+=
答：略。
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
解析：3×=；1-=
答：略。
4.甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：两队合修天完成。
【典型例题2】求合作时间。。
（1）一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
解析：
1÷4＝
1÷6＝
÷（＋）
＝÷
＝1.8（小时）
答：两人合作，1.8小时能加工完成这批零件的。
（2）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
解析：
1÷（＋÷5）
＝1÷（＋×）
＝1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝12（天）
答：12天可以完成。
（3）一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
解析：
甲、乙的工作效率：1÷6＝
乙、丙的工作效率：1÷9＝
甲、丙的工作效率：1÷15＝
1÷[（）÷2]
＝1÷[（）÷2]
＝1÷[÷2]
＝1÷
＝（天）
答：现在甲、乙、丙三人合作需要天完成。
【典型例题3】单独完成与合作完成的关系。
（1）一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
解析：
1÷（－）
＝1÷
＝30（天）
答：30天可以完成这项工程。
（2）生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
解析：
（1－×4）÷
＝（1－）÷
＝×15
＝10（天）
答：还要10天可以完成。
（3）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
解析：
[1﹣（＋）×2]÷
＝[1﹣×2]÷
＝（1－）×15
＝×15
＝10（天）
答：剩下的工程由乙队单独做还需要10天完成。
（4）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
解析：
（天）
答：两队合作完成剩下的工程，还要9天。
【典型例题4】请假问题。
（1）一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
解析：
（1-）÷（）=10（天）
答：略。
（2）一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
解析：
（1－×14）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×30
＝9（天）
14－9＝5（天）
答：乙队调走5天。
（3）一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
解析：假设法解题
假设这14天都是甲单独做的，那么：
那么乙干的天数：
）÷（）=9（天）
那么甲做了：14-9=5（天）
答：略。
【篇目六】百分数应用题基本题型。
【知识总览】
百分数应用题基本题型，大多是在分数乘除法应用题的基础上进行变式，因此，掌握了分数乘除法应用题也就掌握了百分数应用题。
一、百分数应用题与分数乘法应用题基本题型的结合。
1.求一个数的百分之几是多少？
单位“1”×百分率=分率所对应的量
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少？
单位“1”×（1+百分率）=分率所对应的数量
3.在单位“1”已知的情况下，单位“1”×对应分率=对应分量。
二、百分数应用题与分数除法应用题基本题型的结合。
1.求一个数是另一个数的百分之几？
一个数÷另一个数×100%=百分率
2.求一个数比另一个数多（少）百分之几：
相差数÷单位“1”=多（少）百分之几（口诀：作差除比后）
3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
分量÷分量所对应的百分率=单位“1”
4.已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数。
分量÷（1+对应百分率）=单位“1”
【典型例题1】求一个数的百分之几是多少。
在一堂40分钟的数学课中，学生操作实践的时间占25%，学生操作实践用了多少时间？
解析：
40×25%＝10（分钟）
答：学生操作实践用了10分钟。
【典型例题2】求一个数比另一个数多或少百分之几的数是多少。
（1）学校图书室原有图书3500册，今年图书册数增加了12%。现在图书室有多少册图书？
解析：
3500×（1＋12%）
＝3500×1.12
＝3920（册）
答：现在图书室有3920册图书。
（2）某公司为帮助学生复学复课，四月份捐赠儿童口罩3.95万只。由于疫情缓解，五月份比四月份少捐赠20%，五月份捐赠多少万只儿童口罩？
解析：
3.95×（1－20%）
＝3.95×0.8
＝3.16（万只）
答：五月份捐赠3.16万只儿童口罩。
【典型例题3】百分数变化幅度问题。
某种商品的价格，先涨了10%，后又降了10%。现价与涨价前价格相比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？
解析：
现在的商品价格：
1×（1＋10%）×（1－10%）
＝1×1.1×0.9
＝0.99
0.99＜1
（1－0.99）÷1
＝0.01÷1
＝1%
答：现在的商品价格与原来相比降低了，变化幅度是降了1%。
【典型例题4】求一个数是另一个数的百分之几。
中国倡导的“一带一路”战略沿途经过65个国家，其中经过中东欧（欧洲的中东部）的国家有16个，占沿线国家总数的百分之几？（百分号前保留一位小数）
解析：
16÷65×100%
≈0.246×100%
＝24.6%
答：占沿线国家总数的24.6%。
【典型例题5】求一个数比另一个数多或少百分之几。
（1）为了缓解交通拥挤情况，新化县正在道路拓宽。团结路宽由原来的13m增加到25m，拓宽了百分之几？
解析：
（25－13）÷13
＝12÷13
≈92.3%
答：拓宽了92.3%。
（2）一件电器售价120元，比原价降低24元，降低了百分之几？
解析：
24÷（120＋24）
＝24÷144
≈16.7%
答：降低了16.7%。
【典型例题6】已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
修补一批书，已经补了30本，是总本数的25%。这批图书一共多少本？
解析：
30÷25%＝120（本）
答：这批图书一共120本。
【典型例题7】已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数。
（1）张琛家5月份用水36吨，比4月份多用了20%，张琛家4月份用水多少吨？
解析：
36÷（1＋20%）
＝36÷1.2
＝30（吨）
答：张琛家4月份用水30吨。
（2)某商场5月份的营业额是480万元，比6月份的营业额少15%，这个商场6月份的营业额有多少万元？
解析：
480÷（1－15%）
＝480÷85%
＝（万元）
答：这个商场6月份的营业额有万元。
【典型例题8】
某服装店的老板，将两件不同的衣服均以每件180元的价格出售，结果一件赚了20%，另一件赔了20%，小刚说这个老板正好不赔也不赚。你同意小刚的说法吗？
解析：
180÷（1＋20%）
＝180÷1.2
＝150（元）
180÷（1－20%）
＝180÷0.8
＝225（元）
进价：225＋150＝375（元）
售价：180×2＝360（元）
375－360＝15（元）
因为375元＞360元，所以赔钱了，赔了15元。
答：不同意小刚的说法，因为赔了15元。
【篇目七】百分率问题和浓度问题。
【知识总览】
一、百分率问题。
1.求百分率的通用公式：
①部分量÷总数量×100%=百分率；
②部分量=总数量×百分率；
③总数量=部分量÷百分率；
2.下列是常见的百分率公式。
小麦的出粉率= ×100%
出勤率= ×100%
花生的出油率= ×100%
达标率= ×100%
发芽率=×100%
成活率=×100%
合格率=×100%
投球的命中率＝×100%
利润率= ×100%（利润=售价-进价）
二、浓度问题。
1.浓度三要素：溶质、溶剂、溶液。
（1）溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
（2）溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
（3）溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
三者关系：溶质+溶剂=溶液
2.浓度的定义：溶质占溶液的百分比。
3.浓度问题基本公式：
①浓度=×100%
②溶质=溶液×浓度
③溶液=溶质÷浓度
【典型例题1】求百分率。
（1）科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？
解析：
6800÷8000×100%
＝0.85×100%
＝85%
答：这批红柳的成活率是85%。
（2）六（2）班今天到校47人，请病假的3人，该班的出勤率是多少？
解析：
47÷（47＋3）×100%
＝47÷50×100%
＝0.94×100%
＝94%
答：该班的出勤率是94%。
（3）六年级学生共植树60棵，成活了56棵，马上又补种了4棵，并全部成活，这批树的成活率是( )。
解析：
（56＋4）÷（60＋4）×100%
＝60÷64×100%
＝93.75%
【典型例题2】百分率问题变式。
300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。
解析：
小麦的出粉率是：
225÷300×100%
＝0.75×100%
＝75%
480kg小麦可以磨出面粉：
480×75%
＝480×0.75
＝360（kg）
要磨出面粉1050kg，需要小麦：
1050÷75%
＝1050÷0.75
＝1400（kg）
【典型例题3】浓度问题基础。
在下表中填入适当的数据。（单位：克）
解析：
①100；30%
②30；40%
③180；420
【典型例题4】溶质不变问题
（1）将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。
解析：
20×5%÷（20＋80）×100%
＝1÷100×100%
＝0.01×100%
＝1%
（2）在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。
解析：
10÷（40＋10）×100%
＝10÷50×100%
＝0.2×100%
＝20%
10÷10%－（40＋10）
＝10÷10%－50
＝100－50
＝50（克）
【典型例题5】溶剂不变问题。
（1）丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？
解析：
糖：20×10%=2（克）
新的糖：2+5=7（克）
糖水：20+5=25（克）
浓度：7÷25×100%=28%
答：略。
（2）现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？
解析：
水：60×（1-20%）=48（克）
现在的糖水：48÷（1-40%）=80（克）
加糖：80-60=20（克）
答：略。
【典型例题6】溶液互混问题。
浓度为60%的酒精溶液600克，与浓度为30%的酒精溶液400克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
解析：
求混合溶液浓度，需知混合后溶液的总重量及所含纯酒精重量，混合后溶液总重量600＋400＝1000克；纯酒精重600×60%＋400×30%＝480克，然后用480除以1000就是混合后的浓度。
（600×60%＋400×30%）÷（600＋400）
＝（360＋120）÷1000
＝480÷1000
＝48%
答：混合后所得到的酒精溶液的浓度是48%。
【典型例题7】混合型浓度配比问题。
（1）有180克浓度为80%的酒精溶液，再加入多少克浓度为95%的酒精溶液，就能得到浓度为85%的酒精溶液？
解析：用方程法，既直接又方便。
解：设再加入x克浓度为95%的酒精溶液。
（180×80%+95%x）÷（180+x）=85%
x=90
答：再加入 90 克浓度为 95%的酒精溶液，就能得到浓度为 85%的酒精溶液。
（2）将浓度是20%的甲种盐水与浓度是5%的乙种盐水混合，配制浓度为15%的丙种盐水600克，需要甲乙两种盐水各多少克？
解析：
方法一：方程法。
解：设需要甲种盐水x克，需要乙种盐水（600-x）克。
20%x+5%(600-x)=600×15%
解得：x=400 ，600-x=200
答：需要甲种盐水 400 克，需要乙种盐水 200 克。
方法二：假设法。
假设全部是甲种盐水，那么600克盐水中含盐量为：
600×20%=120（克）
事实上600克丙种盐水中含盐量为：600×15%=90（克）
假设与事实的含盐质量差为：120-90=30（克）
如果用1克乙种盐水替换1克甲种盐水，盐的质量会减少：1×（20%-5%）=0.15（克）
所以用乙种盐水替换甲种盐水的质量为：30÷0.15=200（克）
那么甲种盐水的质量为：600-200=400（克）
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