人教版2023-2024学年六年级数学上册期末复习专题三：比的应用篇（原卷版+答案解析）

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期末复习专题三：比的应用篇
本专题是期末复习专题三：比的应用篇，它包括求比问题、按比例分配问题以及不变量问题等，考题综合性较强，一共划分为四大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】求比问题。
【知识总览】
求比问题的关键是根据已知条件找到对应量的份数，再列比进行化简。
【典型例题1】
五年级一班有男生12人，女生7人，那么：
（1）男女人数之比为（ ），比值为（ ）；
（2）男生人数与全班总人数之比为（ ）；
（3）女生人数与全班总人数之比为（ ）；
（4）男女生人数差与全班总人数之比是（ ）。
【典型例题2】
钢琴班有若干男女生，其中男生人数是女生人数的，那么：
（1）男生人数:女生人数=（ ）；
（2）男生人数:全班人数=（ ）；
（3）女生人数:全班人数=（ ）；
（4）女生人数是男生人数的（ ）；
（5）男生人数相当于全班数的（ ）。
【典型例题3】
（1）一班的人数比二班多，一、二两班班人数的最简整数比是( )。
（2）甲数比乙数多，甲数与乙数的比是( )，甲数是乙数的( )。
【典型例题4】
一堆煤，运走一部分，还剩，运走的与剩下的比是（ ）。
【典型例题5】
甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是( )。若甲数是60，则乙数是( )。若乙数是60，则甲数是( )。
【典型例题6】
甲数是丙数的，乙数是丙数的倍，甲、乙、丙三个数的比是（ ）。
【典型例题7】
（1）甲，乙两数的比是11∶9，甲数是乙数的（ ），乙数占甲、乙两数和的（ ）。
（2）王老师今年10月份共收到邮件270封，其中纸质邮件和电子邮件的比是2∶7，他收到纸质邮件比电子邮件少，收到纸质邮件比电子邮件少（ ）封。
【篇目二】常见类型题中的比。
【知识总览】
常见类型题中的求比问题，往往需要熟练掌握该问题的数量关系或相关公式。
1.工程问题。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
2.行程问题。
①路程=速度×时间；
②路程÷时间=速度；
③路程÷速度=时间
3.价格问题。
①单价×数量＝总价；
②总价÷单价＝数量；
③总价÷数量＝单价；
4.常用图形公式。
【典型例题1】
甲加工3个零件用40分钟,乙加工4个零件用30分钟,求甲、乙工作效率的比。
【典型例题2】
（1）从甲地到乙地，客车需行驶8小时，货车需行驶10小时，客、货两车速度的最简整数比是多少？
（2）小华和小刚分别从各自的家到电影院看电影，小华比小刚走的路程少，而小刚比小华花的时间多，求两人的速度比。
【典型例题3】
（1）两个三角形底的比是2∶5，高的比是4∶7，面积的比是( )。
（2）有大、小两个正方体，大正方体的棱长是4厘米，小正方体的棱长是3厘米。大正方体和小正方体表面积的比是( )，大正方体和小正方体体积比的比值是( )。
（3）小圆的直径是4cm，大圆的半径是6cm，周长比是( )，面积比是( )。
【典型例题4】
（1）减法算式中，差与减数的比是3∶5，那么减数是被减数的( )。
（2）甲数除以乙数的商是0.75，甲数和乙数的最简比是( )。
【典型例题5】
疏菜批发市场运来一批蔬菜，其中白菜和芹菜的单价比是3∶7，而质量之比是5∶4，那么白菜和芹菜的总价比是多少？
【篇目三】一般按比例分配问题。
【知识总览】
一、和比问题。
先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。
二、差比问题。
差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。
三、单量和比的问题。
已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。
【典型例题1】较简单的和比问题。
（1）六（1）班举行元旦晚会，班委会决定要买40千克水果，据调查喜欢吃苹果和桔子的人数比是5：3，苹果和桔子分别买多少千克才合适？
（2）某校“星火爱心社”组织开展献爱心活动：四、五、六年级共捐款18万元，六年级捐了总数的，四、五年级捐款钱数的比是。四、五、六年级各捐款多少万元？
（3）配制一种混凝土所需的水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，现在要配制80吨这样的混凝土，需要水泥、黄沙、石子各多少吨？
【典型例题2】稍复杂的和比问题。
（1）箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？
（2）长方形花坛的护栏总长60米，长与宽的比是。花坛护栏的长、宽分别是多少米？
（3）一个长方体的棱长总和是72分米，长、宽、高的比是，这个长方体的表面积是多少平方分米？
（4）A、B两城相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3小时后相遇。已知甲、乙两车速度的比是9∶7，甲、乙两车每小时各行多少千米？
（5）甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
（6）甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
【典型例题3】差比问题。
（1）老赵家养的公鸡与母鸡只数的比是4∶7，公鸡比母鸡少30只。老赵家养的公鸡有多少只？
（2）甲、乙、丙三数的比为5:6:7，若丙比甲大4，则乙数是多少？
【典型例题4】差比问题。
（1）中华人民共和国的国旗的长和宽的比是，教室前面的国旗长是48厘米，宽是多少厘米？
（2）学校科技节举行小论文评比活动，收到四、五、六年级小论文的数量比为2∶3∶4，已知收到五年级72篇小论文，学校一共收到三个年级多少篇小论文？
【篇目四】不变量问题。
【知识总览】
一、单量不变问题。
第1步：统一不变的单量；
第2步：统一一份量；
第3步：求解一份量。
二、差量不变问题。
第一步：统一不变的差量；
第二步：统一一份量；
第三步：得出一份量。
三、总量不变问题。
第一步：统一不变的和量；
第二步：统一一份量；
第二步：得出一份量。
【典型例题1】单量不变问题。
某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？
【典型例题2】差量不变问题。
（1）壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？
（2）甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？
【典型例题3】总量不变问题。
（1）六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？
（2）小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？
2023-2024学年
六年级数学上册典型例题系列——期末复习特别篇
期末复习专题三：比的应用篇（解析版）
本专题是期末复习专题三：比的应用篇，它包括求比问题、按比例分配问题以及不变量问题等，考题综合性较强，一共划分为四大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。
【篇目一】求比问题。
【知识总览】
求比问题的关键是根据已知条件找到对应量的份数，再列比进行化简。
【典型例题1】
五年级一班有男生12人，女生7人，那么：
（1）男女人数之比为（ ），比值为（ ）；
（2）男生人数与全班总人数之比为（ ）；
（3）女生人数与全班总人数之比为（ ）；
（4）男女生人数差与全班总人数之比是（ ）。
解析：（1）12:7，；（2）12:19；（3）7:19；（4）5:19
【典型例题2】
钢琴班有若干男女生，其中男生人数是女生人数的，那么：
（1）男生人数:女生人数=（ ）；
（2）男生人数:全班人数=（ ）；
（3）女生人数:全班人数=（ ）；
（4）女生人数是男生人数的（ ）；
（5）男生人数相当于全班数的（ ）。
解析：（1）4:7；（2）4:11；（3）7:11；（4）；（5）
【典型例题3】
（1）一班的人数比二班多，一、二两班班人数的最简整数比是( )。
解析：
一班人数是：1＋＝
∶1＝9∶7
（2）甲数比乙数多，甲数与乙数的比是( )，甲数是乙数的( )。
解析：
把乙数看作5份数，甲数就是5＋1＝6份数，那么：
甲数∶乙数＝6份∶5份＝6∶5；
6÷5＝
【典型例题4】
一堆煤，运走一部分，还剩，运走的与剩下的比是（ ）。
解析：3:2
【典型例题5】
甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是( )。若甲数是60，则乙数是( )。若乙数是60，则甲数是( )。
解析：
设甲数×＝乙数×＝1
甲数×＝1
甲数＝1÷
甲数＝1×
甲数＝
乙数×＝1
乙数＝1÷
乙数＝1×
乙数＝
甲数∶乙数＝∶
＝（×5）∶（×5）
＝8∶12
＝（8÷4）∶（12÷4）
＝2∶3
乙数＝×甲数
甲数是60
乙数＝×60
＝90
甲数＝×乙数
乙数是60
甲数：×60
＝40
【典型例题6】
甲数是丙数的，乙数是丙数的倍，甲、乙、丙三个数的比是（ ）。
解析：
丙数：1；甲数：；乙数：
甲:乙:丙=4:6:5
【典型例题7】
（1）甲，乙两数的比是11∶9，甲数是乙数的（ ），乙数占甲、乙两数和的（ ）。
解析：
11÷9＝
9÷（11＋9）
＝9÷20
＝
（2）王老师今年10月份共收到邮件270封，其中纸质邮件和电子邮件的比是2∶7，他收到纸质邮件比电子邮件少，收到纸质邮件比电子邮件少（ ）封。
解析：
（7－2）÷7
＝5÷7
＝
2＋7＝9（份）
纸质邮件占；电子邮件占；
270×－270×
＝210－60
＝150（封）
【篇目二】常见类型题中的比。
【知识总览】
常见类型题中的求比问题，往往需要熟练掌握该问题的数量关系或相关公式。
1.工程问题。
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
2.行程问题。
①路程=速度×时间；
②路程÷时间=速度；
③路程÷速度=时间
3.价格问题。
①单价×数量＝总价；
②总价÷单价＝数量；
③总价÷数量＝单价；
4.常用图形公式。
【典型例题1】
甲加工3个零件用40分钟,乙加工4个零件用30分钟,求甲、乙工作效率的比。
解析：
甲效：；乙效：
甲效:乙效=16:9
【典型例题2】
（1）从甲地到乙地，客车需行驶8小时，货车需行驶10小时，客、货两车速度的最简整数比是多少？
解析：
（1÷8）∶（1÷10）
＝∶
＝（×40）∶（×40）
＝5∶4
答：客、货两车速度的最简整数比是5∶4。
（2）小华和小刚分别从各自的家到电影院看电影，小华比小刚走的路程少，而小刚比小华花的时间多，求两人的速度比。
解析：
小刚路程：1；小华路程：；小华时间：1；小刚时间：
小刚速度：1÷=；小华速度：÷1=
速度比：:=6:5
【典型例题3】
（1）两个三角形底的比是2∶5，高的比是4∶7，面积的比是( )。
解析：
假设甲三角形的底的是2、乙三角形的底是5，甲三角形的高是4、乙三角形的高是7，则：
（2×4÷2）∶（5×7÷2）
＝4∶17.5
＝8∶35
（2）有大、小两个正方体，大正方体的棱长是4厘米，小正方体的棱长是3厘米。大正方体和小正方体表面积的比是( )，大正方体和小正方体体积比的比值是( )。
解析：
大正方体的棱长∶小正方体的棱长＝4∶3
大正方体的表面积∶小正方体的表面积＝42∶32＝16∶9
大正方体的体积∶小正方体的体积＝43∶33＝64∶27＝
（3）小圆的直径是4cm，大圆的半径是6cm，周长比是( )，面积比是( )。
解析：1∶3；1∶9
【典型例题4】
（1）减法算式中，差与减数的比是3∶5，那么减数是被减数的( )。
解析：
5÷（3＋5）
＝5÷8
＝
（2）甲数除以乙数的商是0.75，甲数和乙数的最简比是( )。
解析：
甲数∶乙数
＝0.75
＝
＝3∶4
【典型例题5】
疏菜批发市场运来一批蔬菜，其中白菜和芹菜的单价比是3∶7，而质量之比是5∶4，那么白菜和芹菜的总价比是多少？
解析：15:28
【篇目三】一般按比例分配问题。
【知识总览】
一、和比问题。
先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。
二、差比问题。
差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。
三、单量和比的问题。
已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。
【典型例题1】较简单的和比问题。
（1）六（1）班举行元旦晚会，班委会决定要买40千克水果，据调查喜欢吃苹果和桔子的人数比是5：3，苹果和桔子分别买多少千克才合适？
解析：
总份数＝5＋3＝8（份）
苹果的质量：40×＝25（千克）
桔子的质量：40×＝15（千克）
答：苹果买25千克，桔子买15千克最合适。
（2）某校“星火爱心社”组织开展献爱心活动：四、五、六年级共捐款18万元，六年级捐了总数的，四、五年级捐款钱数的比是。四、五、六年级各捐款多少万元？
解析：
六年级捐款数：（万元）
（万元）
四年级捐款数：（万元）
五年级捐款数：（万元）
答：四年级捐款4万元，五年级捐款6万元，六年级捐款8万元。
（3）配制一种混凝土所需的水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，现在要配制80吨这样的混凝土，需要水泥、黄沙、石子各多少吨？
解析：
80÷（2＋3＋5）
＝80÷10
＝8（吨）
水泥：8×2＝16（吨）；黄沙：8×3＝24（吨）；石子：8×5＝40（吨）
答：需要水泥16吨，黄沙24吨，石子40吨。
【典型例题2】稍复杂的和比问题。
（1）箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？
解析：
大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12
中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15
大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15
8＋12＋15＝35
140×＝32（个）
140×＝48（个）
140×＝60（个）
答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。
（2）长方形花坛的护栏总长60米，长与宽的比是。花坛护栏的长、宽分别是多少米？
解析：
（米
（米
（米
答：花坛护栏的长是18米，宽是12米。
（3）一个长方体的棱长总和是72分米，长、宽、高的比是，这个长方体的表面积是多少平方分米？
解析：
长：72÷4×
＝18×
＝10（分米）
宽：72÷4×
＝18×
＝4（分米）
高：72÷4×
＝18×
＝4（分米）
表面积：（10×4＋10×4＋4×4）×2
＝（40＋40＋16）×2
＝（80＋16）×2
＝96×2
＝192（平方分米）
答：这个长方体的表面积是192平方分米。
（4）A、B两城相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3小时后相遇。已知甲、乙两车速度的比是9∶7，甲、乙两车每小时各行多少千米？
解析：
480÷3＝160（千米）
甲车：160×＝90（千米）
乙车：160×＝70（千米）
答：甲车每小时行90千米，乙车每小时行70千米。
（5）甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
解析：
甲数×＝乙数×，
甲数∶乙数＝5∶4
5＋4＝9（份）
162÷9×5
＝18×5
＝90
162÷9×4
＝18×4
＝72
答：甲数是90，乙数是72。
（6）甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
解析；
甲数与乙数的比是5∶6
乙数与丙数的比是3∶4＝6∶8
甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶8
5＋6＋8＝19
甲数：152÷19×5＝40
乙数：152÷19×6＝48
丙数：152÷19×8＝64
答：甲、乙、丙三个数各是40，48，64。
【典型例题3】差比问题。
（1）老赵家养的公鸡与母鸡只数的比是4∶7，公鸡比母鸡少30只。老赵家养的公鸡有多少只？
解析：
30÷（7－4）×4
＝30÷3×4
＝10×4
＝ 40（只）
答：老赵家养的公鸡有40只。
（2）甲、乙、丙三数的比为5:6:7，若丙比甲大4，则乙数是多少？
解析：
每份数：4÷（7-5）=2
乙数：2×6=12
答：略。
【典型例题4】差比问题。
（1）中华人民共和国的国旗的长和宽的比是，教室前面的国旗长是48厘米，宽是多少厘米？
解析：
48×＝32（厘米）
答：宽是32厘米。
（2）学校科技节举行小论文评比活动，收到四、五、六年级小论文的数量比为2∶3∶4，已知收到五年级72篇小论文，学校一共收到三个年级多少篇小论文？
解析：
72÷
＝72÷
＝216（篇）
答：学校一共收到三个年级216篇小论文。
【篇目四】不变量问题。
【知识总览】
一、单量不变问题。
第1步：统一不变的单量；
第2步：统一一份量；
第3步：求解一份量。
二、差量不变问题。
第一步：统一不变的差量；
第二步：统一一份量；
第三步：得出一份量。
三、总量不变问题。
第一步：统一不变的和量；
第二步：统一一份量；
第二步：得出一份量。
【典型例题1】单量不变问题。
某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？
解析：
35÷（－）
＝35÷
＝60（人）
60×－60
＝75－60
＝15（人）
答：现在男职工比女职工多15人。
【典型例题2】差量不变问题。
（1）壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？
解析：
（元
答：苹苹存了1000元。
（2）甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？
解析：
甲乙原来份数之差为25-13=12，现在份数之差为7-3=4
12和4的1最小公倍数为12
所以，现在数量之比变为21:9
每一份：20÷（25-21）=5（本）
甲原来：5×25=125（本）
乙原来：5×13=65（本）
甲乙原来一共：125+65=190（本）
【典型例题3】总量不变问题。
（1）六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？
解析：
40÷（－）
＝40÷（－）
＝40÷（－）
＝40÷
＝40×
＝420（人）
答：六年级一共有420人。
（2）小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？
解析：
105÷（2＋3）
＝105÷5
＝21（元）
小红现有钱：21×2＝42（元）
小明现有钱：21×3＝63（元）
小红原来有钱数：42＋18＝60（元）
小明原来有钱数：63－18＝45（元）
答：小红原来有60元，小明原来有45元。