北师大版六年级数学上册期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】(原卷版+解析)

这是一份北师大版六年级数学上册期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】(原卷版+解析)，共95页。


2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】
专题解读
本专题是期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算。本部分内容包括分数的基础计算、混合计算及简便计算，百分数综合计算，比的化简求值等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27849" 【第一篇】分数基本计算
\l "_Tc10181" 【知识总览】 PAGEREF _Tc10181 \h 4
\l "_Tc3897" 【考点一】分数乘法基本计算 PAGEREF _Tc3897 \h 5
\l "_Tc10137" 【考点二】分数除法基本计算 PAGEREF _Tc10137 \h 6
\l "_Tc18203" 【考点三】积或商的关系问题 PAGEREF _Tc18203 \h 6
\l "_Tc4183" 【考点四】倒数及其应用 PAGEREF _Tc4183 \h 7
\l "_Tc19195" 【考点五】分数乘除法混合运算 PAGEREF _Tc19195 \h 8
\l "_Tc1781" 【第二篇】分数简便计算
\l "_Tc8277" 【知识总览】 PAGEREF _Tc8277 \h 11
\l "_Tc20141" 【考点一】乘法交换律和乘法结合律 PAGEREF _Tc20141 \h 11
\l "_Tc32108" 【考点二】乘法分配律 PAGEREF _Tc32108 \h 12
\l "_Tc5384" 【考点三】除法左分配律 PAGEREF _Tc5384 \h 14
\l "_Tc20149" 【考点四】化加式与化减式 PAGEREF _Tc20149 \h 15
\l "_Tc2610" 【考点五】裂项相消法 PAGEREF _Tc2610 \h 16
\l "_Tc4943" 【考点六】连锁约分 PAGEREF _Tc4943 \h 17
\l "_Tc3394" 【考点七】整体约分 PAGEREF _Tc3394 \h 17
\l "_Tc3492" 【第三篇】比的认识和计算
\l "_Tc15418" 【知识总览】 PAGEREF _Tc15418 \h 18
\l "_Tc29170" 【考点一】比的认识和意义 PAGEREF _Tc29170 \h 19
\l "_Tc23283" 【考点二】求比值 PAGEREF _Tc23283 \h 19
\l "_Tc5310" 【考点三】比的基本性质 PAGEREF _Tc5310 \h 20
\l "_Tc9313" 【考点四】化简比 PAGEREF _Tc9313 \h 20
\l "_Tc28978" 【考点五】化连比 PAGEREF _Tc28978 \h 21
\l "_Tc7012" 【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化 PAGEREF _Tc7012 \h 21
\l "_Tc24571" 【第四篇】百分数的认识和计算
\l "_Tc19323" 【知识总览】 PAGEREF _Tc19323 \h 23
\l "_Tc2063" 【考点一】百分数的认识和意义 PAGEREF _Tc2063 \h 23
\l "_Tc3109" 【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化 PAGEREF _Tc3109 \h 24
\l "_Tc5861" 【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算 PAGEREF _Tc5861 \h 24
\l "_Tc27397" 【考点四】分数、百分数解方程 PAGEREF _Tc27397 \h 25
【第一篇】分数基本计算
【知识总览】
一、分数乘法。
1.分数乘整数计算方法：
分母不变，分子乘整数作分子，即：。
注意：能约分的先约分。
2.分数乘小数计算方法：
分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即：。
3.分数乘小数计算方法：
（1）把小数统一成分数再计算；
（2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算；
（3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。
4.积与乘数的关系。
（1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大；
（2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小；
（3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。
5.分数乘法混合运算。
分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算括号里的。
二、分数除法。
1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
注意：一个数不能称之为倒数。
2.求一个数的倒数的方法：
（1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置；
（2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置；
（3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置；
（4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。
3.分数除法计算方法：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：。
4.商与被除数“1”的关系：
当被除数不等于0时，
若除数大于1，则商小于被除数；
若除数小于1（0除外），则商大于被除数。
5.分数除法四则混合运算。
分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
注意：在计算时，要先约分，再进行计算。
【考点一】分数乘法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
×＝ 8×＝ ×＝
×＝ ×14＝ ×＝
【对应练习】
1．直接写出得数。
＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＝
2．直接写出得数。
×2＝ ×52＝ ×＝ ×＝
×＝ ×1.2＝ 1.5×＝ ×＝
3．直接写出得数。


【考点二】分数除法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
＝ ＝ ×36＝
0.25×＝ 0.8÷＝ ＝ ＝
【对应练习】
1．直接写出得数。


2．直接写出得数。


3．直接写出得数。


【考点三】积或商的关系问题。
【典型例题1】“积”。
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
0.24( ) 0.66( ) ( ) ( )
【典型例题2】“商”。
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
÷6( )×6 ÷6( ) ÷( )
【对应练习】
1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
3．在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
【考点四】倒数及其应用。
【典型例题1】倒数。
9×（ ）＝（ ）×8＝＝0.6×（ ）＝1。
【典型例题2】倒数和。
一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。
【典型例题3】倒数差。
一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。
【典型例题4】比较大小。
、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。
【对应练习】
1．的倒数是( )，7.5的倒数是( )。
2．( )×9＝0.45×( )＝×( )＝1
3．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。
【考点五】分数乘除法混合运算。
【典型例题1】分数乘除法混合运算。
脱式计算。


【典型例题2】分数四则混合运算。
脱式计算。
（1）÷8× （2）÷＋× （3）20÷[（＋）×]
【对应练习】
1．脱式计算。
（1） （2） （3）
2．脱式计算。

3．脱式计算。

【典型例题3】分数四则混合运算与解方程。
解方程。
x÷＝ x＝ x÷＝15
【对应练习】
1．解方程。

2．解方程。

3．解方程。

【第二篇】分数简便计算
【知识总览】
一、分数乘法简便计算。
1.乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
3.乘法分配律：
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c
4.乘法分配律逆运算：
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c
5.添加因数1：
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
二、分数除法简便计算。
除法运算性质：
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
【考点一】乘法交换律和乘法结合律。
【典型例题】
简便计算。
（1） （2） （3）
【对应练习】
简便计算。
×× ×4× ×× 24××51
【考点二】乘法分配律。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。

【典型例题3】乘法分配律逆运算。
简便计算。

【典型例题4】添加因数“1”。
简便计算。
【典型例题5】综合。
简便计算。
【对应练习】
1．简便计算。

2．简便计算。

3．简便计算。

【考点三】除法左分配律。
【典型例题1】
1.简便计算。

2.简便计算。

【典型例题2】
1.简便计算。
2.简便计算。
÷－÷
【考点四】化加式与化减式。
【典型例题1】带分数化加式与化减式。
1.简便计算。
24× EQ \F(5,6) 20×25
2.简便计算。
3.简便计算。
2020÷2020
4.简便计算。
2019÷2019
【典型例题2】分数化加式与化减式。
1.简便计算。
EQ \F(33,34) ×27
2.简便计算。
EQ \F(23,22) ×17
【典型例题3】整数化加式与化减式。
1.简便计算。
2.简便计算。
200×
【考点五】裂项相消法。
【典型例题】
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：（ ）。
（2）（ ）。
（3）探究并计算：（ ）。
（4）计算：
【对应练习】
1.简便计算。
2.简便计算。
（提示：，为不为0的自然数）
【考点六】连锁约分。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【考点七】整体约分。
【典型例题】
1.简便计算。

2.简便计算。
（××）÷（××）
【第三篇】比的认识和计算
【知识总览】
一、比的意义。
两个数相除又叫做两个数的比。
二、比的符号和读写法。
符号：比用符号“：”表示，“：”叫做比号。
写法：15：10，记做15：10或
读法：两种形式的比都读作几比几。
三、比的各部分名称。
四、比的化简。
1.比的基本性质法，即利用比的基本性质化简。
2.比值法，即先求出比的比值，再约分化成最简比。
注意：当比的前项和后项为互质数时，这个比才是最简整数比。
五、比与除法的关系。
比值＝前项÷后项
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(前项＝比值×后项,后项＝前项÷比值))
六、求比值。
直接用前项除以后项求出比的比值，需要注意的是当前项或后项带单位时要先统一单位再求比值。
七、比与除法、分数、小数互化。
【考点一】比的认识和意义。
【典型例题】
如果5a＝b，则a∶b＝( )；若a＝10，那么b＝( )。
【对应练习】
1．（判断）可以表示比，也可以表示比值。( )
2．（判断）一场足球比赛的比分是2∶0，所以比的后项可以为零。( )
3．（判断）既可以看作“比”，也可以看作“比值”，所以“比”和“比值”没有区别。( )
【考点二】求比值。
【典型例题】
1.求比值。
15∶40 0.28∶0.42
2.求比值。
4.2∶0.35 350毫升∶升 540米∶千米
【对应练习】
1．求比值。
35∶105 ∶ ∶2
2．求比值。

3．求比值。
0.4米∶0.3分米
【考点三】比的基本性质。
【典型例题】
1.在5∶8中，如果前项加上15，要使比值不变，后项应加( )或乘( )。
2. 24∶40的前项减去6，要使比值不变，后项要减去( )。
【对应练习】
1．如果把5∶9的前项加上10，要使比值不变，后项应加上( )。
2．在3∶7中，比值扩大到原来的5倍，后项不变，前项应增加( )。
3．如果的前项增加36，要使比值不变，那么后项应该增加( )。
【考点四】化简比。
【典型例题】
1．把下面各比化成最简单的整数比。
12∶8 0.16∶20 ∶
2．化简比。
∶ 0.45∶0.2 3m∶150cm
【对应练习】
1．化简比。

2．化简比。
1.4∶3.5 1.6kg∶640g 15分∶0.45时
3．化简比。
35∶14 ∶ 1.6∶ 100m∶km
【考点五】化连比。
【典型例题】
已知a：b＝2：3，b：c＝4：5，求a：b：c。
【对应练习】
已知：a：b＝3：4，b：c＝：，求：a：b：c。
【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化。
【典型例题1】基础型。
∶( )＝4 ( )∶＝。
【典型例题2】综合型
填入合适的数使算式成立。
6∶( )＝0.6＝＝3∶( )＝( )。
【对应练习】
1．填入合适的数使算式成立。
2∶( )＝0.25＝＝( )÷12。
2．填入合适的数使算式成立。
＝( )∶( )＝＝( )÷10。
3．填入合适的数使算式成立。
( )÷12＝0.75＝＝( )∶( )。
【第四篇】百分数的认识和计算
【知识总览】
一、百分数的意义。
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
二、百分数的写法。
通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
三、小数化成百分数。
把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
四、百分数化成小数。
把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
五、百分数化成分数。
先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。
六、分数化成百分数。
1.用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
2.先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
【考点一】百分数的认识和意义。
【典型例题】
1．10.2%读作( )，百分之零点二写作( )。
2．中国旅游研究院发布报告指出，选择国内旅游的人数明显上升。数据显示，前三个季度全年国内旅游总人数约为20.94亿人次，其中省内旅游客流占比达到81%。这里81%表示的含义是( )。
【对应练习】
1．（判断）小明画了条56%厘米的线段。( )
2．（判断）去掉37.5%的百分号，它就扩大到原来的100倍。( )
3．（判断）出油率、出勤率、增长率都不可能大于100%。( )
【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化。
【典型例题1】
＝16∶( )＝( )÷25＝( )%＝( )（填小数）。
【对应练习】
1．。
2．9∶4＝( )( )÷28＝( )%。
【典型例题2】
在0.323232…、32.3%、0.32和中，最大的数是( )，最小的数是( )。
【对应练习】
1．在、16.7%、、0.16中，最大的是( )，最小的是( )。
2．在、66.7%、和0.66这四个数中，( )最大，( )最小。
3．在0.3、0.33、34%、这5个数中，( )最大，( )最小。
【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算。
【典型例题】
脱式计算，能简算的要简算。
37.5%×120－37.5%×40
【对应练习】
1．脱式计算，能简算的要简算。
20－35× 78×
×60
2．脱式计算，能简算的要简算。


3．脱式计算，能简算的要简算。
×÷ ÷1.25÷80% 1÷－×
＋÷3 ÷（－＋） ÷（＋）
【考点四】分数、百分数解方程。
【典型例题】
解方程。

【对应练习】
1．解方程。
7.2－2x＝3.8 x÷＝ x＋10%x＝2.2
2．解方程。
x＝ x－55%x＝9 x＋x＝
3．解方程。

2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算【四大篇目】
专题解读
本专题是期末复习专题一：数与代数—分数、百分数、比的认识和计算。本部分内容包括分数的基础计算、混合计算及简便计算，百分数综合计算，比的化简求值等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11528" 【第一篇】分数基本计算
\l "_Tc21419" 【知识总览】 PAGEREF _Tc21419 \h 4
\l "_Tc17741" 【考点一】分数乘法基本计算 PAGEREF _Tc17741 \h 5
\l "_Tc26864" 【考点二】分数除法基本计算 PAGEREF _Tc26864 \h 6
\l "_Tc22695" 【考点三】积或商的关系问题 PAGEREF _Tc22695 \h 7
\l "_Tc25476" 【考点四】倒数及其应用 PAGEREF _Tc25476 \h 10
\l "_Tc14279" 【考点五】分数乘除法混合运算 PAGEREF _Tc14279 \h 13
\l "_Tc5039" 【第二篇】分数简便计算
\l "_Tc2353" 【知识总览】 PAGEREF _Tc2353 \h 23
\l "_Tc1821" 【考点一】乘法交换律和乘法结合律 PAGEREF _Tc1821 \h 23
\l "_Tc6834" 【考点二】乘法分配律 PAGEREF _Tc6834 \h 25
\l "_Tc26856" 【考点三】除法左分配律 PAGEREF _Tc26856 \h 30
\l "_Tc24489" 【考点四】化加式与化减式 PAGEREF _Tc24489 \h 31
\l "_Tc13115" 【考点五】裂项相消法 PAGEREF _Tc13115 \h 33
\l "_Tc9866" 【考点六】连锁约分 PAGEREF _Tc9866 \h 35
\l "_Tc7901" 【考点七】整体约分 PAGEREF _Tc7901 \h 36
\l "_Tc31376" 【第三篇】比的认识和计算
\l "_Tc1383" 【知识总览】 PAGEREF _Tc1383 \h 38
\l "_Tc1853" 【考点一】比的认识和意义 PAGEREF _Tc1853 \h 39
\l "_Tc31272" 【考点二】求比值 PAGEREF _Tc31272 \h 41
\l "_Tc21572" 【考点三】比的基本性质 PAGEREF _Tc21572 \h 44
\l "_Tc23159" 【考点四】化简比 PAGEREF _Tc23159 \h 46
\l "_Tc14288" 【考点五】化连比 PAGEREF _Tc14288 \h 49
\l "_Tc21233" 【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化 PAGEREF _Tc21233 \h 50
\l "_Tc2685" 【第四篇】百分数的认识和计算
\l "_Tc23576" 【知识总览】 PAGEREF _Tc23576 \h 53
\l "_Tc25079" 【考点一】百分数的认识和意义 PAGEREF _Tc25079 \h 53
\l "_Tc24592" 【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化 PAGEREF _Tc24592 \h 55
\l "_Tc28507" 【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算 PAGEREF _Tc28507 \h 58
\l "_Tc31237" 【考点四】分数、百分数解方程 PAGEREF _Tc31237 \h 64
【第一篇】分数基本计算
【知识总览】
一、分数乘法。
1.分数乘整数计算方法：
分母不变，分子乘整数作分子，即：。
注意：能约分的先约分。
2.分数乘小数计算方法：
分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即：。
3.分数乘小数计算方法：
（1）把小数统一成分数再计算；
（2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算；
（3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。
4.积与乘数的关系。
（1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大；
（2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小；
（3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。
5.分数乘法混合运算。
分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算括号里的。
二、分数除法。
1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
注意：一个数不能称之为倒数。
2.求一个数的倒数的方法：
（1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置；
（2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置；
（3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置；
（4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。
3.分数除法计算方法：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：。
4.商与被除数“1”的关系：
当被除数不等于0时，
若除数大于1，则商小于被除数；
若除数小于1（0除外），则商大于被除数。
5.分数除法四则混合运算。
分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
注意：在计算时，要先约分，再进行计算。
【考点一】分数乘法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
×＝ 8×＝ ×＝
×＝ ×14＝ ×＝
【答案】；6；
；16；
【详解】略
【对应练习】
1．直接写出得数。
＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＝
【答案】；；0.8；
0.72；；；
【详解】略
2．直接写出得数。
×2＝ ×52＝ ×＝ ×＝
×＝ ×1.2＝ 1.5×＝ ×＝
【答案】；8；；
；0.9；；
【详解】略
3．直接写出得数。


【答案】；3；；4
；84；；
【详解】略
【考点二】分数除法基本计算。
【典型例题】
直接写出得数。
＝ ＝ ×36＝
0.25×＝ 0.8÷＝ ＝ ＝
【答案】；；0；29
；；；
【详解】略
【对应练习】
1．直接写出得数。


【答案】1.8；1；；；
；0；；
【解析】略
2．直接写出得数。


【答案】12；14；；；
；；；18
【详解】略
3．直接写出得数。


【答案】；1；；1.2；
；；；2
【详解】略
【考点三】积或商的关系问题。
【典型例题1】“积”。
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
0.24( ) 0.66( ) ( ) ( )
【答案】 ＜ ＜ ＜ ＞
【分析】把分数化成小数，用分子除以分母，再根据多位小数比较大小的方法即可得解；
在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。
【详解】＝0.25，0.24＜0.25，所以0.24＜；
＝0.666⋯，0.66＜0.666⋯，所以0.66＜；
＜1，所以＜；
＞1，所以＞。
【点睛】此题主要考查分数与小数之间的互化、多位小数比较大小以及分数乘法的计算法则。
【典型例题2】“商”。
在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
÷6( )×6 ÷6( ) ÷( )
【答案】 ＜ ＜ ＞
【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
（2）当被除数不等于0时，若除数大于1，则商小于被除数；若除数小于1（0除外），则商大于被除数。
【详解】因为6＞1，所以÷6＜，×6＞，所以÷6＜×6。
因为6＞1，所以÷6＜。
因为＜1，所以÷＞。
【点睛】积与其中一个因数的大小比较，关键是比较另一个因数和1的大小。商与被除数的大小比较，关键是比较除数和1的大小。
【对应练习】
1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 ＜ ＞ ＜ ＞
【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身；
在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。据此解答。
【详解】因为＜1，所以＜；
因为＞，所以＞；
因为15＞1，所以＜；
因为＜1，所以＞。
【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的计算法则，掌握积与因数、商与被除数之间的关系。
2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 ＜ ＜ ＝ ＞
【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身；
在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。
根据分数除法法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。
【详解】，所以＜；
，所以＜；
＝
，所以＞。
【点睛】此题主要考查分数乘法、分数除法的计算法则，掌握积与因数、商与被除数之间的关系。
3．在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( )
( ) ( )
【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜
【分析】一个数（0除外），乘一个小于1的数（0除外），得到的积小于它本身；
一个数（0除外），乘一个大于1的数，得到的积大于它本身；
一个数（0除外），除以一个大于1的数，得到的商小于它本身；
一个数（0除外），除以一个小于1的数（0除外），得到的商大于它本身，据此判断即可。
【详解】由分析可得：
因为＜1，所以＜；
＞1，所以＞；
＞1，所以＜；
2＞1，所以＜，＜1，所以＞2，则＜。
【考点四】倒数及其应用。
【典型例题1】倒数。
9×（ ）＝（ ）×8＝＝0.6×（ ）＝1。
解析：；；15；
【典型例题2】倒数和。
一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。
【答案】5
【分析】假设这个自然数是a，则它的倒数是，根据这个自然数＋它的倒数＝，列出方程，通过观察即可得出a的值。
【详解】假设这个自然数是a。
a＋＝＝5＋
所以a＝5
一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是5。
【点睛】关键是理解倒数的含义，乘积是1的两个数互为倒数。
【典型例题3】倒数差。
一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。
【答案】13
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。
已知一个数与它的倒数的差是，可以分解成13－，13的倒数正好是，据此解答。
【详解】＝13－
13的倒数是；
所以，这个数是13。
【点睛】本题考查倒数的求法，把带分数分解成13－的形式是解题的关键。
【典型例题4】比较大小。
、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。
【答案】
【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。
【详解】
则，
，
，
因为，即，所以最大的是，最小的是。
【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。
【对应练习】
1．的倒数是( )，7.5的倒数是( )。
【答案】 2
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可；求一个小数的倒数，先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置；求整数的倒数，先把整数看做分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。
【详解】7.5＝
的倒数是2；7.5的倒数是。
【点睛】本题主要考查了求倒数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。
2．( )×9＝0.45×( )＝×( )＝1
【答案】
【分析】先把小数化成分数，再根据倒数的概念，两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。据此解答。
【详解】0.45＝
×9＝1
×＝1
×＝1
所以括号内分别填上、、。
【点睛】此题考查了小数化分数以及倒数的意义。要求熟练掌握并灵活运用。
3．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。
【答案】
【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。
【详解】
则，
，
，
因为，即，所以最大的是，最小的是。
【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。
【考点五】分数乘除法混合运算。
【典型例题1】分数乘除法混合运算。
脱式计算。


【答案】；；
20；；
【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；
（2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可；
（3）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；
（4）先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法；
（5）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法；
（6）先算小括号里面的乘法，再算括号外面的除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝20
＝
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】分数四则混合运算。
脱式计算。
（1）÷8× （2）÷＋× （3）20÷[（＋）×]
【答案】（1）；（2）；（3）80
【分析】（1）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法交换律简便计算；
（2）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算；
（3）先计算小括号里面的分数加法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算括号外面的除法。
【详解】（1）÷8×
＝××
＝4×
＝
（2）÷＋×
＝×＋×
＝（＋）×
＝1×
＝
（3）20÷[（＋）×]
＝20÷[×]
＝20÷
＝80
【对应练习】
1．脱式计算。
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据运算顺序，先计算，再用它们的积除以。
（2）根据运算顺序，先计算，再用它们的积除以。
（3）根据运算顺序，先计算，再用它们的商乘。
【详解】（1）
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
（3）
＝
＝20
2．脱式计算。

【答案】；；；396
【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法即可；
（2）先算乘法，再算减法即可；
（3）化除法为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可；
（4）运用乘法分配律进行计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝396
3．脱式计算。

【答案】；35
；15
【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；
（2）运用乘法分配律进行计算即可；
（3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法即可；
（4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝20＋15
＝35

＝
＝
＝
＝
＝×36
＝15
【典型例题3】分数四则混合运算与解方程。
解方程。
x÷＝ x＝ x÷＝15
【答案】x＝；x＝；x＝
【分析】根据等式性质2：
（1）方程两边同时乘；
（2）方程两边同时乘；
（3）方程两边同时乘，两边再同时乘。
【详解】（1）x÷＝
解：x÷×＝×
x＝
（2）x＝
解：×x＝×
x＝
（3）x÷＝15
解：x÷×＝15×
x＝3
x＝3×
x＝
【对应练习】
1．解方程。

【答案】；；
【分析】先把方程左边含项合并为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可求解；
先计算，再根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时加上25，再同时除以即可求解；
根据等式的性质2，方程两边先同时乘，然后左右两边调换位置，再同时除以即可求解。
【详解】
解：
解：
解：
2．解方程。

【答案】；；
【分析】根据等式的性质2，方程的两边先同时乘，再同时除以即可求解；
先计算方程右边的乘法，再根据等式的性质1，方程两边同时加上即可求解；
先把方程左边含项合并为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.7即可求解。
【详解】
解：
解：
解：
3．解方程。

【答案】；；
【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边先同时乘，再同时除以即可求解；
（2）先计算，再根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时加上，再同时除以即可求解；
（3）根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时减去0.2，再同时除以即可求解。
【详解】
解：
解：
解：
【第二篇】分数简便计算
【知识总览】
一、分数乘法简便计算。
1.乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
3.乘法分配律：
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c
4.乘法分配律逆运算：
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c
5.添加因数1：
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
二、分数除法简便计算。
除法运算性质：
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
【考点一】乘法交换律和乘法结合律。
【典型例题】
简便计算。
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）（2）从左往右依次计算；
（3）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算。
【详解】（1）
（2）
（3）
【对应练习】
简便计算。
×× ×4×
×× 24××51
【答案】；
；72
【分析】（1）首先第1、2个分数相乘，分子分母同时约掉13，再用与相乘，结果化成最简；（2）先算分数乘整数，整数与分母8同时约掉4得，再乘，结果化成最简；（3）三个分数的分子分母先后约掉5、7得，再与相乘，结果化成最简；（4）分子分母上的51互相约分掉，结果是24乘3，据此解答。
【详解】
＝
××
24××51
＝24×3
＝72
【考点二】乘法分配律。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
解析：
×5.4
＝×5.4－×5.4
＝4.2－0.9
＝3.3
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。

解析：
【典型例题3】乘法分配律逆运算。
简便计算。

解析：
＝
＝
＝22
【典型例题4】添加因数“1”。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
【典型例题5】综合。
简便计算。
解析：
【对应练习】
1．简便计算。

【答案】23；；51
【分析】，先把算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可；
，先把38拆分为37＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可；
，根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为进行简算即可。
【详解】
2．简便计算。

【答案】；；
【分析】（1）（3）运用乘法分配律进行简算；
（2）利用乘法结合律进行简算。
【详解】（1）（ － ）×36
＝ ×36－ ×36
＝27－15
＝12
（2）××
＝×（×）
＝×
＝
（3）×＋×
＝×（＋）
＝×
＝
3．简便计算。

【答案】25；；240
【分析】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可；
，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可；
，根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为进行简算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【考点三】除法左分配律。
【典型例题1】
1.简便计算。

解析：
＝
＝
＝
2.简便计算。

解析：
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】
1.简便计算。
解析：
2.简便计算。
÷－÷
解析：
÷－÷
＝×－×
＝（－）×
＝8×
＝11
【考点四】化加式与化减式。
【典型例题1】带分数化加式与化减式。
1.简便计算。
24× EQ \F(5,6) 20×25
解析：；；
2.简便计算。
解析：
29×＋39×＋49＋59
＝（30－）×＋（40－）×＋（50－）×＋（60－）×
＝20－＋30－＋40－＋50－
＝（20＋30＋40＋50）－（＋）－（＋）
＝139－1
＝137
3.简便计算。
2020÷2020
解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
202020202021÷2020
=（2020+20202021）÷2020
=2020÷2020+20202021÷2020
=1+12021
=112021
4.简便计算。
2019÷2019
解析：
2019÷2019
＝2019÷
＝2019×
＝
【典型例题2】分数化加式与化减式。
1.简便计算。
EQ \F(33,34) ×27
解析：26
2.简便计算。
EQ \F(23,22) ×17
解析：17
【典型例题3】整数化加式与化减式。
1.简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
2.简便计算。
200×
解析：
200×
＝（201－1）×
＝201×－1×
＝199－
＝
【考点五】裂项相消法。
【典型例题】
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：（ ）。
（2）（ ）。
（3）探究并计算：（ ）。
（4）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；
（4）先拆项，再抵消结果即可求解。
【详解】（1）
＝
＝
【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。
【对应练习】
1.简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
2.简便计算。
（提示：，为不为0的自然数）
解析：
【考点六】连锁约分。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【答案】
【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。
【详解】×××…××
＝1×
＝
【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
【考点七】整体约分。
【典型例题】
1.简便计算。

解析：
＝
＝
＝2
2.简便计算。
（××）÷（××）
解析：
（××）÷（××）
＝××÷÷÷
＝×××××
＝（×）×（×）×（×）
＝2×2×2
＝8
【第三篇】比的认识和计算
【知识总览】
一、比的意义。
两个数相除又叫做两个数的比。
二、比的符号和读写法。
符号：比用符号“：”表示，“：”叫做比号。
写法：15：10，记做15：10或
读法：两种形式的比都读作几比几。
三、比的各部分名称。
四、比的化简。
1.比的基本性质法，即利用比的基本性质化简。
2.比值法，即先求出比的比值，再约分化成最简比。
注意：当比的前项和后项为互质数时，这个比才是最简整数比。
五、比与除法的关系。
比值＝前项÷后项
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(前项＝比值×后项,后项＝前项÷比值))
六、求比值。
直接用前项除以后项求出比的比值，需要注意的是当前项或后项带单位时要先统一单位再求比值。
七、比与除法、分数、小数互化。
【考点一】比的认识和意义。
【典型例题】
如果5a＝b，则a∶b＝( )；若a＝10，那么b＝( )。
【答案】 2∶15 75
【分析】假设5a＝b＝1，根据积÷因数＝另一个因数，算出a和b，两数相除又叫两个数的比，据此写出a和b的比，化简即可；将a＝10代入5a＝b，根据等式的性质2，两边同时÷，即可求出b的值。
【详解】假设5a＝b＝1。
a＝1÷5＝
b＝1÷＝1×＝
a∶b＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶15
将a＝10代入5a＝b
5×10＝b
解：b＝50
b÷＝50÷
b＝50×
b＝75
如果5a＝b，则a∶b＝2∶15；若a＝10，那么b＝75。
【对应练习】
1．（判断）可以表示比，也可以表示比值。( )
【答案】√
【分析】两个量相除，叫做两个量的比；依据分数与除法之间的关系，分数可以转变成除法，除法也可以表示比，分数、除法、比之间是可以相互转换的；比的前项除以后项得到的商叫做比值，比值可以用分数表示，也可以用整数或小数表示。
【详解】由比的意义和比值的意义可知，比能用分数的形式表示，比值也可以用分数表示，原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查比的概念以及比值的求法，掌握比值的表示方法也是解题的关键。
2．（判断）一场足球比赛的比分是2∶0，所以比的后项可以为零。( )
【答案】×
【分析】比的意义是两个数相除又叫做两个数的比，比是表示两个数相除。比的前项相当于除法算式中被除数，比的后项相当于除法算式中的除数，除数不能为0。据此解答。
【详解】例如：3÷5＝3∶5。3∶5表示3和5相除，是表示两个数的关系。
一场足球比赛的比分是2∶0，比分代表的是具体的数值。比分可以为0，比的后项不能为0。
故答案为：×
【点睛】本题要重点理解比的意义，知道比是表示两个数的关系。
3．（判断）既可以看作“比”，也可以看作“比值”，所以“比”和“比值”没有区别。( )
【答案】×
【分析】可以看作一个比，是比3∶4的另一种写法，仍然读作三比四；还可以看作一个比的比值，因为比值是一个数，可以是小数、分数或整数；但比和比值是有区别的，（1）概念不同，比的前项÷后项所得的商叫做比值；比表示两数相除的一种关系。（2）性质不同，比的最后结果仍是一个比，可以用比的形式或分数形式表示，但不可以用整数、小数或者带分数表示；比值可以是整数、小数、分数。据此进行判断。
【详解】根据分析得，虽然可以看作“比”，也可以看作“比值”，但“比”和“比值”是有区别的。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查比和比值的意义，需要熟练掌握。
【考点二】求比值。
【典型例题】
1.求比值。
15∶40 0.28∶0.42
【答案】；；
【分析】用比的前项除以比的后项，即可求出比值。
【详解】15∶40
＝15÷40
＝
0.28∶0.42
＝0.28÷0.42
＝
＝
＝
＝
2.求比值。
4.2∶0.35 350毫升∶升 540米∶千米
【答案】12；1.4；0.9
【分析】求比的比值，可用比的前项除以比的后项，即可得解，对于单位不统一的，先换算单位后，再求出比的比值。
【详解】4.2∶0.35
＝4.2÷0.35
＝12
350毫升∶升
＝350毫升∶（×1000）毫升
＝350毫升∶250毫升
＝350÷250
＝1.4
540米∶千米
＝540米∶（×1000）米
＝540米∶600米
＝540÷600
＝0.9
【对应练习】
1．求比值。
35∶105 ∶ ∶2
【答案】；；
【分析】根据求比值的方法可知，用比的前项除以比的后项，即可得解。
【详解】35∶105
＝35÷105
＝
∶
＝÷
＝×
＝
∶2
＝÷2
＝×
＝
2．求比值。

【答案】3；0.1；81
【分析】用比的前项除以比的后项即可求出比值。
【详解】
＝
＝
＝
＝3
＝20kg∶200kg
＝20∶200
＝20÷200
＝0.1
＝
＝
＝81
3．求比值。
0.4米∶0.3分米
【答案】；；
【分析】根据求比值的方法，用比的前项除以比的后项，即可解答。
【详解】∶
＝÷
＝×3
＝
4∶1.2
＝4÷1.2
＝
0.4米∶0.3分米
＝4分米∶0.3分米
＝4÷0.3
＝
【考点三】比的基本性质。
【典型例题】
1.在5∶8中，如果前项加上15，要使比值不变，后项应加( )或乘( )。
【答案】 24 4
【分析】根据5∶8的前项加上15可知比的前项由5变成20，相当于前项乘4；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘4，由8变成32，也可以认为是后项加上32－8＝24；据此进行解答。
【详解】由分析可得：在5∶8中，如果前项加上15，要使比值不变，后项应加24或乘4。
【点睛】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变。
2. 24∶40的前项减去6，要使比值不变，后项要减去( )。
【答案】10
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此把24∶40化为最简整数比，再确定前项扩大的倍数，进而求出后项的值，最后求出后项要减去多少。
【详解】24∶40
＝（24÷8）∶（40÷8）
＝3∶5
（24－6）÷3
＝18÷3
＝6
40－5×6
＝40－30
＝10
则要使比值不变，后项要减去10。
【点睛】本题考查比的基本性质，熟练运用比的基本性质是解题的关键。
【对应练习】
1．如果把5∶9的前项加上10，要使比值不变，后项应加上( )。
【答案】18
【分析】5∶9的前项加上10，前项变为15，前项相当于乘3，根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变；所以要使比值不变，比的后项也应乘3，此时比的后项变为27，再减去9，即可求出比的后项应增加的数。
【详解】5＋10＝15
15÷5＝3
所以比的后项也应乘3；
或者增加：
3×9－9
＝27－9
＝18
所以要使比值不变，比的后项应加上18。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用比的基本性质求解。
2．在3∶7中，比值扩大到原来的5倍，后项不变，前项应增加( )。
【答案】12
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，通过题意，可知比值扩大到原来的5倍，后项不变，则前项也扩大到原来的5倍，即用前项的具体数值乘5，可得前项的数值，再用该数值减去原来的数值3，即为前项应该增加的数字。
【详解】由分析可得：
3×5＝15
15－3＝12
综上所述：在3∶7中，比值扩大到原来的5倍，后项不变，前项应增加12。
3．如果的前项增加36，要使比值不变，那么后项应该增加( )。
【答案】24
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此确定前项扩大的倍数，进而求出后项的值，最后求出后项应增加多少。
【详解】（18＋36）÷18
＝54÷18
＝3
12×3－12
＝36－12
＝24
则后项应该增加24。
【点睛】本题考查比的基本性质，熟练运用比的基本性质是解题的关键。
【考点四】化简比。
【典型例题】
1．把下面各比化成最简单的整数比。
12∶8 0.16∶20 ∶
【答案】3∶2；1∶125；2∶3
【分析】化简比根据比的基本性质，化简比的结果还是一个比。
【详解】12∶8＝3∶2
0.16∶20＝1∶125
∶＝2∶3
2．化简比。
∶ 0.45∶0.2 3m∶150cm
【答案】5∶39；9∶4；2∶1
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
利用“比的基本性质 ”把比化简成最简单的整数比，即前项和后项是整数，且互质。
【详解】（1）∶
＝（×65）∶（×65）
＝5∶39
（2）0.45∶0.2
＝（0.45×100）∶（0.2×100）
＝45∶20
＝（45÷5）∶（20÷5）
＝9∶4
（3）3m∶150cm
＝（3×100）cm∶150cm
＝300∶150
＝（300÷150）∶（150÷150）
＝2∶1
【对应练习】
1．化简比。

【答案】1∶6；1∶2；4∶1
【分析】化简比，可根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。
【详解】
2．化简比。
1.4∶3.5 1.6kg∶640g 15分∶0.45时
【答案】2∶5；5∶2；5∶9
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；依据比的基本性质化简比。
【详解】1.4∶3.5＝（1.4÷0.7）∶（3.5÷0.7）＝2∶5
1.6kg∶640g＝1600g∶640g＝1600∶640＝（1600÷320）∶（640÷320）＝5∶2
15分∶0.45时＝15分∶（0.45×60分）＝15分∶27分＝15∶27＝（15÷3）∶（27÷3）＝5∶9
3．化简比。
35∶14 ∶ 1.6∶ 100m∶km
【答案】5∶2；9∶10；64∶15；2∶15
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。
【详解】（1）35∶14
＝（35÷7）∶（14÷7）
＝5∶2
（2）∶
＝（×12）∶（×12）
＝9∶10
（3）1.6∶
＝∶
＝（×40）∶（×40）
＝64∶15
（4）100m∶km
＝100m∶（×1000）m
＝100∶750
＝（100÷50）∶（750÷50）
＝2∶15
【考点五】化连比。
【典型例题】
已知a：b＝2：3，b：c＝4：5，求a：b：c。
解析：
a：b＝2：3＝8：12
b：c＝4：5＝12：15
所以a：b：c＝8：12：15
【对应练习】
已知：a：b＝3：4，b：c＝：，求：a：b：c。
解析：
a：b＝3：4＝20：12
b：c＝：＝15：20
所以a：b：c＝15：20：12。
【考点六】比与除法、分数、小数的关系与互化。
【典型例题1】基础型。
∶( )＝4 ( )∶＝。
【答案】
【分析】比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商，则比的后项＝比的前项÷比值，比的前项＝比的后项×比值，据此解答。
【详解】（1）÷4＝
（2）×＝
所以，∶＝4，∶＝。
【点睛】掌握比与除法之间的关系是解答题目的关键。
【典型例题2】综合型
填入合适的数使算式成立。
6∶( )＝0.6＝＝3∶( )＝( )。
【答案】10；12；5；0.1
【分析】根据小数与分数的关系，把小数化为分数形式，即0.6＝；根据分数与比的关系＝3∶5，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘2就是3∶5＝6∶10；根据分数的基本性质，的分子和分母同时乘4就是＝；根据商×除数＝被除数，用0.6×即可求出被除数，即0.6×＝0.1。
【详解】由分析可知：
6∶10＝0.6＝＝3∶5＝0.1
【点睛】本题考查小数、比、分数和除法的互化，明确它们之间的关系是解题的关键。
【对应练习】
1．填入合适的数使算式成立。
2∶( )＝0.25＝＝( )÷12。
【答案】8；16；3
【分析】把小数0.25化成分母是100的分数，约分后可得；
根据分数与除法的关系，＝1÷4，利用商不变的规律，可得1÷4＝（1×3）÷（4×3）＝3÷12；
根据比与除法的关系1÷4＝1∶4，再根据比的基本性质比的前项和比的后项都乘2，可得1∶4＝（1×2）∶（4×2）＝2∶8；
根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘4，得到分子是4的分数。
【详解】根据分析得，2∶8＝0.25＝＝3÷12。
【点睛】此题主要考查小数、分数、比之间的互化，根据比与分数、除法的关系，利用比、分数的基本性质及商的变化规律，求出结果。
2．填入合适的数使算式成立。
＝( )∶( )＝＝( )÷10。
【答案】3；5；30；6
【分析】写成比的形式是3∶5；根据分数的基本性质，的分子分母同时乘6，得到；根据分数与除法的关系，＝3÷5，被除数和除数同时乘2，得到6÷10；据此解答即可。
【详解】由分析可知，＝3∶5＝＝6÷10。
3．填入合适的数使算式成立。
( )÷12＝0.75＝＝( )∶( )。
【答案】9；15；3；4
【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；据此可得0.75＝；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘3，可得＝；将的分子和分母同时乘5，可得＝；根据分数与除法的关系，可得＝9÷12；根据分数和比的关系，可得＝3∶4。
【详解】9÷12＝0.75＝＝3∶4
【第四篇】百分数的认识和计算
【知识总览】
一、百分数的意义。
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
二、百分数的写法。
通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
三、小数化成百分数。
把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
四、百分数化成小数。
把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
五、百分数化成分数。
先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。
六、分数化成百分数。
1.用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
2.先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
【考点一】百分数的认识和意义。
【典型例题】
1．10.2%读作( )，百分之零点二写作( )。
【答案】 百分之十点二 0.2%
【分析】百分数的读法：先读百分之，然后读百分号前面的数；
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
【详解】10.2%读作百分之十点二，百分之零点二写作0.2%。
【点睛】熟练掌握百分数的读法和写法是解答本题的关键。
2．中国旅游研究院发布报告指出，选择国内旅游的人数明显上升。数据显示，前三个季度全年国内旅游总人数约为20.94亿人次，其中省内旅游客流占比达到81%。这里81%表示的含义是( )。
【答案】省内旅游客流占国内旅游总人数的81%
【分析】百分数表示一个数占另一个数的百分比，据此结合题意，填空即可。
【详解】这里81%表示的含义是省内旅游客流占国内旅游总人数的81%。
【点睛】本题考查了百分数，掌握百分数的意义是解题的关键。
【对应练习】
1．（判断）小明画了条56%厘米的线段。( )
【答案】×
【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比。
百分数只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。
【详解】小明画了条56厘米的线段。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握百分数的意义，明确百分数不能表示具体的数量。
2．（判断）去掉37.5%的百分号，它就扩大到原来的100倍。( )
【答案】√
【分析】把37.5%的百分号去掉就变为了37.5，37.5%＝0.375，由0.375到37.5，小数点向右移动两位，即扩大到原来的100倍，据此判断即可。
【详解】37.5%＝0.375
37.5÷0.375＝100
则去掉37.5%的百分号，它就扩大到原来的100倍。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】百分数去掉百分号后，即将这个数的小数点向右移动两位，所以扩大到原来的100倍。
3．（判断）出油率、出勤率、增长率都不可能大于100%。( )
【答案】×
【分析】××率＝要求量（就是××所代表的信息）÷单位“1”的量（总量）×100%，据此分析。
【详解】出油率＝榨的油的质量÷花生或其它农作物的质量×100%，不可能大于100%；
出勤率＝出勤人数÷总人数×100%，出勤人数不可能大于总人数，出勤率不可能大于100%；
增长率＝增长幅度÷原产量×100%，增长幅度有可能超过原产量，增长率有可能大于100%。
出油率、出勤率不可能大于100%，增长率有可能大于100%，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是理解百分率的意义，掌握百分率的求法。
【考点二】分数、小数、百分数、除法、比之间的综合转化。
【典型例题1】
＝16∶( )＝( )÷25＝( )%＝( )（填小数）。
【答案】 10 40 160 1.6
【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项；分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空；分数化小数，直接用分子÷分母；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。
【详解】16÷8×5＝10；25÷5×8＝40；8÷5＝1.6＝160%
＝16∶10＝40÷25＝160%＝1.6
【点睛】关键是掌握百分数、分数、小数、比之间相互转化的方法。
【对应练习】
1．。
【答案】15；25；32；62.5
【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；＝＝＝；根据分数与除法的关系：分数的分子做被除数，分母做除数；＝25÷40；分数与比的关系：分子做比的前项，分母做比的后项，＝20∶32；再根据分数化小数的方法：用分子除以分母，得到的商就是小数；＝5÷8＝0.625，再根据小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，再添上百分号；即0.625＝62.5%。
【详解】＝＝25÷40＝20∶32＝62.5%
【点睛】熟练掌握分数、小数、比、百分数、除法之间的互化以及分数的基本性质是解答本题的关键。
2．9∶4＝( )( )÷28＝( )%。
【答案】2.25；12；63；225
【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项；分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空。求比值，直接用比的前项÷后项；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。
【详解】9∶4＝9÷4＝2.25；27÷9×4＝12；28÷4×9＝63；2.25＝225%
9∶4＝2.2563÷28＝225%
【点睛】关键是掌握百分数、分数、小数、比之间相互转化的方法。
【典型例题2】
在0.323232…、32.3%、0.32和中，最大的数是( )，最小的数是( )。
【答案】 0.323232… 0.32
【分析】将循环小数写成一般形式，将百分数写成小数形式，然后按照小数的大小比较方法，找出其中最大的和最小的数即可。
【详解】＝0.322…
32.3%＝0.323
0.323232…＞32.3%＞＞0.32
所以，在0.323232…、32.3%、0.32和中，最大的数是0.323232…，最小的数是0.32。
【点睛】比较小数大小时，先比较整数部分，整数部分大的就大。整数部分相同的，再比较小数部分的十分位，十分位大的就大。十分位也相同的，再比较百分位，以此类推。
【对应练习】
1．在、16.7%、、0.16中，最大的是( )，最小的是( )。
【答案】 16.7% 0.16
【分析】把分数和百分数化为小数，多位小数比较大小时，从高位到低位依次比较各个位上的数字，较高位上数字大的小数值大，较高位上数字小的小数值小，据此解答。
【详解】＝1÷6＝，16.7%＝0.167，在、0.167、、0.16中，它们的整数部分和小数点后面前两位数字相同，小数点后面第三位是6，0.167小数点后面第三位是7，小数点后面第三位是1，0.16小数点后面第三位是0，则0.167＞＞＞0.16，16.7%＞＞＞0.16，所以最大的是16.7%，最小的是0.16。
【点睛】小数、分数、百分数比较大小时，通常把分数和百分数转化为小数，再进行比较，最后排序时一定要按照原数排列。
2．在、66.7%、和0.66这四个数中，( )最大，( )最小。
【答案】 66.7%
【分析】根据分数、百分数与小数的关系，把、66.7%、都化为小数形式，再按照小数比较大小的方法进行比较即可。
【详解】＝，66.7%＝0.667，＝
因为0.667＞＞0.66＞，所以66.7%＞＞0.66＞
则这四个数中，66.7%最大，最小。
【点睛】本题考查分数、百分数和小数的互化，明确它们之间的关系是解题的关键。
3．在0.3、0.33、34%、这5个数中，( )最大，( )最小。
【答案】 34% 0.3
【分析】把百分数和分数化成小数，然后再比较这些数的大小即可。
【详解】
所以34%最大，0.3最小。
【点睛】本题考查百分数，解答本题的关键是掌握百分数和分数转化成小数的方法。
【考点三】分数、百分数四则混合运算和简便计算。
【典型例题】
脱式计算，能简算的要简算。
37.5%×120－37.5%×40
【答案】；20
；30
【分析】，先算乘法，再算除法；
，先算小括号里的除法，再算括号外的除法；
，先算乘除法，再算加法；
37.5%×120－37.5%×40，利用乘法分配律进行简算。
【详解】
37.5%×120－37.5%×40
＝0.375×（120－40）
＝0.375×80
＝30
【对应练习】
1．脱式计算，能简算的要简算。
20－35× 78×
×60
【答案】0；16；
6；28；106
【分析】－（＋50%），根据减法性质，原式化为：－－50%，再进行计算；
20－35×（－），根据乘法分配律，原式化为：20－（35×－35×），再进行计算；
78×，把78化为77＋1，原式化为：（77＋1）×，再根据乘法分配律，原式化为：77×＋1×，再进行计算；
3.7×＋1.3÷，把除法换算成乘法，原式化为：3.7×＋1.3×，再根据乘法分配律，原式化为：×（3.7＋1.3），再进行计算；
（＋）÷，把除法换算成乘法，原式化为：（＋）×27，再根据乘法分配律，原式化为：×27＋×27，再进行计算；
（＋＋）×60，根据乘法分配律，原式化为：×60＋×60＋×60，再进行计算。
【详解】－（＋50%）
＝－－50%
＝0.5－0.5
＝0
20－35×（－）
＝20－（35×－35×）
＝20－（14－10）
＝20－4
＝16
78×
＝（77＋1）×
＝77×＋1×
＝19＋
＝
3.7×＋1.3÷
＝3.7×＋1.3×
＝×（3.7＋1.3）
＝×5
＝6
（＋）÷
＝（＋）×27
＝×27＋×27
＝24＋4
＝28
（＋＋）×60
＝×60＋×60＋×60
＝30＋40＋36
＝70＋36
＝106
2．脱式计算，能简算的要简算。


【答案】；；0.28
；96；
【分析】（1）把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
（2）先把99分解成98＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（3）根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算；
（4）从左往右依次计算；
（5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的除法；
（6）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3．脱式计算，能简算的要简算。
×÷ ÷1.25÷80% 1÷－×
＋÷3 ÷（－＋） ÷（＋）
【答案】；；
；；
【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；
（2）运用除法的性质进行计算即可；
（3）化除法为乘法，然后运用乘法分配律进行计算即可；
（4）先算除法，再算加法即可；
（5）运用加法交换律算小括号里面的，再算括号外面的除法即可；
（6）先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法即可。
【详解】×÷
＝××
＝×
＝
÷1.25÷80%
＝÷（1.25×80%）
＝÷1
＝
1÷－×
＝1×－×
＝×（1－）
＝×
＝
＋÷3
＝＋×
＝＋
＝
÷（－＋）
＝÷（＋－）
＝÷（1－）
＝÷
＝×
＝
÷（＋）
＝÷
＝×
＝
【考点四】分数、百分数解方程。
【典型例题】
解方程。

【答案】；；
【分析】（1）先合并方程左边含共同未知数的算式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程；
（2）先合并方程左边含共同未知数的算式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以46，解出方程；
（3）根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程。
【详解】
解：
解：
解：
【对应练习】
1．解方程。
7.2－2x＝3.8 x÷＝ x＋10%x＝2.2
【答案】x＝1.7；x＝；x＝2
【分析】7.2－2x＝3.8，根据等式的性质1和2，两边同时＋2x，再同时－3.8，最后同时÷2即可；
x÷＝，根据等式的性质2，两边同时×，再同时×即可；
x＋10%x＝2.2，先将左边合并成1.1x，再根据等式的性质2，两边同时÷1.1即可。
【详解】7.2－2x＝3.8
解：7.2－2x＋2x＝3.8＋2x
3.8＋2x＝7.2
3.8＋2x－3.8＝7.2－3.8
2x＝3.4
2x÷2＝3.4÷2
x＝1.7
x÷＝
解：x÷×＝×
x＝
x×＝×
x＝
x＋10%x＝2.2
解：1.1x＝2.2
1.1x÷1.1＝2.2÷1.1
x＝2
2．解方程。
x＝ x－55%x＝9 x＋x＝
【答案】x＝；x＝20；x＝
【分析】（1）利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以即可求解；
（2）先将等式的左边化简为0.45x，再利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以0.45即可求解；
（3）先将等式的左边化简为x，再利用等式的性质2，在等式的左右两边同时除以即可求解。
【详解】（1）x＝
解：x÷＝÷
x＝×
x＝
（2）x－55%x＝9
解：0.45x＝9
0.45x÷0.45＝9÷0.45
x＝20
（3）x＋x＝
解：x＝
x÷＝÷
x＝
x＝
3．解方程。

【答案】；；
【分析】先把百分数化成小数，方程左边逆用乘法分配律得到0.5x＝0.5，方程两边再同时除以0.5解答；
方程两边先同时乘再同时除以3解答；
方程两边先同时乘25%，再同时减去1，最后同时除以解答。
【详解】24%x＋26%x＝0.5
解：0.24x＋0.26x＝0.5
（0.24＋0.26）x＝0.5
0.5x＝0.5
0.5x÷0.5＝0.5÷0.5
x＝1
解：
解：
比
前项
∶(比号)
后项
比值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
比
前项
∶(比号)
后项
比值
分数
分子
—(分数线)
分母
分数值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
小数
小数、百分数可以和分数互化，从而和除法、比产生关系。
比
前项
∶(比号)
后项
比值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
比
前项
∶(比号)
后项
比值
分数
分子
—(分数线)
分母
分数值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
小数
小数、百分数可以和分数互化，从而和除法、比产生关系。