高考数学一轮复习第5章第1课时平面向量的概念及线性运算学案

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第1课时 平面向量的概念及线性运算
[考试要求]
1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔OP＝12(OA+OB)．
2．若G为△ABC的重心，则有
(1)GA+GB+GC＝0；(2)AG＝13(AB+AC)．
3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
4．对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
5．向量共线定理的拓展
(1)三点共线的充要条件：
若OP＝vOA＋μOB(μ、v为常数)，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．
(2) “爪子”模型向量定理(向量鸡爪定理)
已知O，A，B三点不共线，点P是线段AB上一点，若AP∶PB＝m∶n，则OP＝nm+nOA+mm+nOB.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(2)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
A．EF＝CD
B．AB与DE共线
C．BD与CD是相反向量
D．AE＝12|AC|
D [AE＝12AC，故D错误．]
2．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
12 [∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ使得λa＋b＝μ(a＋2b),
∴λ=μ，2μ=1，∴λ=12，μ=12. ]
3．(人教A版必修第二册P14例6改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________．(用a，b表示)
b－a －a－b [如图，
DC＝AB＝OB-OA＝b－a，
BC＝OC-OB＝－OA-OB
＝－a－b.]
4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
8 2 [|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，
当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2.]
考点一 平面向量的概念
[典例1] (1)(多选)下列命题中的真命题是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使aa＝bb成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
(1)BC (2)C [(1)A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
B正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|，AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC；
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.
(2)因为向量aa的方向与向量a方向相同，向量bb的方向与向量b方向相同，且aa＝bb，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，aa＝2b2b＝bb，故a＝2b是aa＝bb成立的充分条件．]
向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4) aa是与a同方向的单位向量．
[跟进训练]
1．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．PE＝PF D．EP＝PF
D [根据相等向量的定义，分析可得AD与BC不平行，AC与BD不平行，所以AD＝BC，AC＝BD均错误，PE与PF平行，但方向相反，故不相等，只有EP与PF方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以EP＝PF.]
考点二 平面向量的线性运算
向量的线性运算
[典例2] (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则( )
A．BC＝－12AB+AD B．AF＝13AB+13AD
C．BF＝－23AB+13AD D．CF＝16AB-23AD
ABC [∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
∴BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD+12AB＝－12AB+AD，A正确；
∵BC＝3EC，∴BE＝23BC＝－13AB+23AD，
∴AE＝AB+BE＝AB+-13AB+23AD＝23AB＋23AD，又F为AE的中点，∴AF＝12AE＝13AB+13AD，B正确；
∴BF＝BA+AF＝－AB+13AB+13AD＝－23AB+13AD，C正确；
∴CF＝CB+BF＝BF-BC＝－23AB+13AD--12AB+AD＝－16AB-23AD，D错误；故选ABC.]
根据向量的线性运算求参数
[典例3] 在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
A．13 B．12
C．－12 D．－13
A [由题意，知AN＝13AM＝13(AB+BM)＝13AB+13×32BC＝13AB+12(AC-AB)＝-16AB+12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.]
平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
[跟进训练]
2．(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________．
(1)B (2)2 [(1)因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，即CD-CB＝2(CA-CD)，所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n.
故选B.
(2)由题意得AE＝AB+BE＝AB+12AD，
AF＝AD+DF＝AD+12AB，
因为AB＝xAE＋yAF，
所以AB＝x+y2AB+x2+yAD，
所以x+y2=1，x2+y=0，解得x=43，y=-23，所以x－y＝2.]
考点三 共线向量定理的应用
[典例4] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.
∴AB，BD共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
共线向量定理的三个应用
证明向量共线-对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λbb≠0，则a与b共线
|
证明三点共线-若存在实数λ，使AB=λAC，则A，B，C三点共线
|
求参数 的值-利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组求参数的值
提醒：证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
[跟进训练]
3．(1)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA+PB，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
(2)(链接常用结论2，5)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若AD＝λAB，AE＝μAC，则1λ+1μ＝________．
(1)B (2)3 [(1)由CB＝λPA+PB得CB-PB＝λPA，CP＝λPA，则CP，PA为共线向量，又CP，PA有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在AC边所在直线上．
(2)如图，设F为BC中点，则AG＝23AF＝13(AB+AC)，又AB＝1λAD，AC＝1μAE，
∴AG＝13λAD+13μAE，又G，D，E三点共线，∴13λ+13μ＝1，即1λ+1μ＝3.]
课时分层作业(二十九) 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．AB+BC-AD＝( )
A．CD B．CB C．AD D．DC
D [AB+BC-AD＝AC-AD＝DC，故选D.]
2．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
A [法一：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.]
3．已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
A [由题意得BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A.]
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
A．34AB-14AC B．14AB-34AC
C．34AB+14AC D．14AB+34AC
A [法一：如图所示，EB＝ED+DB＝12AD+12CB＝12×12(AB+AC)＋12(AB-AC)＝34AB-14AC，故选A.
法二：EB＝AB-AE＝AB-12AD＝AB-12×12(AB+AC)＝34AB-14AC，故选A.]
5．(多选)下列命题中正确的是( )
A．若a＝b，则3a＞2b
B．BC-BA-DC-AD＝0
C．若向量a，b是非零向量，则|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同
D．向量a与b(b≠0)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a＝λb
CD [向量不能比较大小，故A选项错误．
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误．
|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同，C选项正确．
根据向量共线的知识可知D选项正确．故选CD.]
6．(2022·山东滨州二模)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．0，13 B．13，12
C．[0，1] D．[1，2]
C [由题意，设AN＝tAM0≤t≤1，
当t＝0时，AN＝0，所以λAB＋μAC＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0所以tAM＝λAB＋μAC，即AM＝λtAB+μtAC，
因为M、B、C三点共线，所以λt+μt＝1，即λ＋μ＝t∈0，1.
综上，λ＋μ的取值范围是[0，1].故选C.]
7．(2023·重庆模拟)在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B [记点O到AB、BC、CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝12a·h2，S△OAC＝12b·h3，S△OAB＝12c·h1，因为S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC＝0，即a·h2·OA＋b·h3·OB＋c·h1·OC＝0，又因为a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B.]
8．(多选)若点G是△ABC的重心，BC边的中点为D，则下列结论正确的是( )
A．G是△ABC的三条中线的交点
B．GA+GB+GC＝0
C．AG＝2GD
D．AG＝GD
ABC [对于A，△ABC三条中线的交点就是重心，故A正确；对于B，根据向量加法的平行四边形法则可知GB+GC＝2GD，因为点G是△ABC的重心，所以GA＝－2GD，所以GA+GB+GC＝0，故B正确；对于C，因为点G是△ABC的重心，所以AG＝2GD，所以AG＝2GD，故C正确，D错误．故选ABC.]
二、填空题
9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而e1－4e2和ke1＋e2共线，则实数k的值为________．
－14 [由向量共线定理知有且只有一个实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1－4e2)，
所以k=λ， 1=-4λ，解得k＝－14.]
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AF＝xAB+34AD，则x＝________．
12 [连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
所以AF＝12(AD+AE)，
而AE＝AB+BE＝AB+12BC＝AB+12AD，
所以AF＝12(AD+AE)＝12AD+AB+12AD
＝12AB+34AD，又AF＝xAB+34AD，所以x＝12.]
11．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．
2 [连接AO(图略)，则AO＝12(AB+AC)＝m2AM+n2AN，因为M，O，N三点共线，所以m2+n2＝1，所以m＋n＝2.]
12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝34AB+14AC.则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN，则x＋y＝________．
1∶4 107 [由AM＝34AB+14AC，
可知点M，B，C三点共线，
令BM＝λBC(λ∈R)，则AM＝AB+BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC-AB)＝(1－λ)AB＋λAC，
所以λ＝14，即点M在边BC上，如图所示，
所以S△ABMS△ABC＝BMBC＝14.
由BO＝xBM＋yBN，得BO＝xBM+y2BA，
BO＝x4BC＋yBN，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得
x+y2=1，x4+y=1，解得x=47 y=67，所以x＋y＝107.]
13．(2022·山东烟台三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A．83 B．2
C．43 D．1
A [(等和线定理)作BC的平行线与圆相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，
∵BC∥EF，∴设AEAB＝AFAC＝k，
则k∈0，43.
∴AE＝kAB，AF＝kAC，AP＝λAE＋μAF＝λkAB＋μkAC，
∴x＝λk，y＝μk.
∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤83.
故选A.]
14．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB-AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM-CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的12
ACD [若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB-AC，即有AM-AB＝AB-AC，即BM＝CB，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM-CM，即AM+BM+CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，
设AN＝2AM，所以AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可知B，N，C三点共线，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D正确．故选ACD.]
15. (2021·新高考Ⅰ卷改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
[解] (1)证明：因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
(2)因为AD＝2DC，所以BD＝13(BA＋2BC)，
所以BD2＝19(BA2＋4BC2＋4BA·BC)，
即b2＝19(c2＋4a2＋4ca cs ∠ABC)，
9b2＝c2＋4a2＋4ca·c2+a2-b22ca＝3c2＋6a2－2b2，
所以3c2＋6a2－11b2＝0，又b2＝ac，则3c2－11ac＋6a2＝0，
(c－3a)(3c－2a)＝0，所以c＝3a，c＝23a，
又b2＝ac，当c＝3a时，b＝3a，
则a＋b＝(3＋1)a＜3a＝c，三角形不存在．
当c＝23a时，b＝63a，则c＜b＜a，
则b＋c＝6+23a＞a，三角形存在．
不妨设a＝3，得b＝6，c＝2，
则cs ∠ABC＝c2+a2-b22ca＝4+9-62×2×3＝712.
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．考查形式
本章在高考中一般考查2道小题，分值约占10分．
2．考查内容
考查两个要点：复数和平面向量；其中复数主要考查复数的概念及运算；平面向量主要考查平面向量的线性运算和数量积．
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
三角形法则
平行四边形法则
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
几何意义
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb