高考数学一轮复习第4章第5课时三角函数的图象与性质学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第5课时三角函数的图象与性质学案，共23页。

2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在-π2，π2上的性质．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
[常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；
(3)函数y＝A cs (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；
(4)函数y＝A cs (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(2)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1．( )
(3)函数y＝tan x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )
(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P201例2改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
A [T＝2π2＝π，A＝2－1＝1，故选A.]
2．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan 2x+π4的定义域是( )
A．xx≠kπ+π2，k∈Z
B．xx≠k2π-π8，k∈Z
C．xx≠k2π+π8，k∈Z
D．xx≠k2π，k∈Z
C [要使函数有意义，则2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，
即x≠k2π＋π8，k∈Z，
所以函数的定义域为xx≠k2π+π8，k∈Z.]
3．(人教A版必修第一册P207练习T3改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减
B．在-π2，π2上单调递增，在-π，-π2及π2，π上单调递减
C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减
D．在π2，π及-π，-π2上单调递增，在-π2，π2上单调递减
B [函数y＝4sin x在-π，-π2和π2，π上单调递减，在-π2，π2上单调递增．故选B.]
4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2csx+π4的最大值为________，此时x＝________．
5 3π4＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2csx+π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝34π＋2kπ(k∈Z)．]
考点一 三角函数的定义域和值域
[典例1] (1)(易错题)函数y＝1tanx-1的定义域为________．
(2)函数y＝sin x－cs x+π6的值域为________．
(3)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________．
(1)xx≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z (2)[－3，3] (3)78，2 [(1)要使函数有意义，必须有tanx-1≠0， x≠π2+kπ，k∈Z，即x≠π4+kπ，k∈Z，x≠π2+kπ，k∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ，且x≠π2+kπ，k∈Z}.
(2)∵y＝sin x－cs x+π6＝sin x－32cs x＋12sin x＝32sin x－32cs x＝3sin x-π6，
∴函数y＝sin x－cs x+π6的值域为[－3，3].
(3)因为x∈π6，7π6，所以sin x∈-12，1.
又y＝3－sin x－2cs2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx-142＋78，
所以当sin x＝14时，ymin＝78，当sin x＝－12或sin x＝1时，ymax＝2．即函数的值域为78，2.]
【教师备选题】
1．函数y＝lg (sin 2x)＋9-x2的定义域为________．
-3，-π2∪0，π2 [∵函数y＝lg (sin 2x)＋9-x2，
∴应满足sin2x>0 9-x2≥0，解得kπ∴函数的定义域为-3，-π2∪0，π2.]
2．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
－332 [f′(x)＝2cs x＋2cs 2x＝2cs x＋2(2cs2x－1)＝2(2cs2x＋csx－1)＝2(2cs x－1)(cs x＋1)．
因为cs x＋1≥0，所以当cs x＜12时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；
当cs x＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以当cs x＝12时，f(x)有最小值，
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cs x)，
所以当sin x＝－32时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2×-32×1+12＝－332.]
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cs x＋c的三角函数化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
[跟进训练]
1．(1)函数y＝sinx-csx的定义域为________．
(2)函数y＝sin x－cs x＋sin x cs x的值域为________．
(1)2kπ+π4，2kπ+5π4(k∈Z) (2)-1+222，1 [(1)要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cs x的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，k∈Z.
(2)设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx·cs x，sin x cs x＝1-t22，且－2≤t≤2.
∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2].
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1+222.
∴函数的值域为-1+222，1.]
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
[典例2] (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝cs |2x| B．y＝|sin x|
C．y＝cs 2x+π6 D．y＝tan 2x-π4
(2)(多选)已知函数fx＝2sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则( )
A．fx是奇函数
B．fx的最小正周期是π
C．fx的一个对称中心是-2π，0
D．fx的一个递增区间是2，3
(3)已知f(x)＝A cs (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________．
(1)ABC (2)BD (3)－92－33 [(1)A项，y＝cs |2x|＝cs 2x，最小正周期为π；
B项，由图象知y＝|sin x|的最小正周期为π；
C项，y＝cs 2x+π6的最小正周期T＝2π2＝π；
D项，y＝tan 2x-π4的最小正周期T＝π2.
(2)对于B，fx的最小正周期T＝2π2＝π，B正确；
对于A，由于fx的图象关于直线x＝π对称，且最小正周期是π，因此fx的图象也关于直线x＝0对称，故fx是偶函数，A错误；
对于C，因为f(x)是偶函数，且最小正周期是π，则fx＝2cs 2x或fx＝－2cs 2x，根据0<φ<π可得解析式为前者．当x＝－2π时，f(x)＝2cs 4π＝2≠0，∴(－2π，0)不是f(x)的对称中心，C错误；
对于D，由于2，3⊆π2，π，f(x)在π2，π上单调递增，D正确．故选BD.
(3)∵f(x)＝A cs (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，∴φ＝π2＋kπ，k∈Z，则φ＝π2，则f(x)＝－A sin ωx.
当x＝3时，f(x)取得最小值－3，
故A＝3，sin 3ω＝1，∴3ω＝π2＋2kπ，k∈Z.
∴ω的最小正数为π6，∴f(x)＝－3sin π6x，
∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＝－92－33.]
【教师备选题】
当x＝π4时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝fπ4-x是( )
A．奇函数且图象关于直线x＝π2对称
B．偶函数且图象关于直线x＝π2对称
C．奇函数且图象关于点π2，0对称
D．偶函数且图象关于点π2，0对称
D [因为当x＝π4时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，所以π4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝－3π4＋2kπ，k∈Z，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4，所以f(x)＝A sin x-3π4(A>0)，所以y＝fπ4-x＝A sin π4-x-3π4＝－A cs x，所以函数y＝fπ4-x为偶函数且图象关于点π2，0对称，故选D.]
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cs ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cs (ωx＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．
[跟进训练]
2．(1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2＝( )
A．1 B．32
C．52 D．3
(2)(开放题)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有fπ3-x＝fπ3+x.则其解析式可以是f(x)＝________．(写出一个满足条件的解析式即可)
(1)A (2)cs 3x(答案不唯一) [(1)由函数的最小正周期T满足2π3＜T＜π，得2π3＜2πω＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点3π2，2对称，所以3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－16+23k，k∈Z，所以ω＝52，f(x)＝sin 52x+π4＋2，
所以fπ2＝sin 54π+π4＋2＝1．
故选A.
(2)因为对于任意的x∈R，都有fπ3-x＝fπ3+x，
所以函数的图象关于直线x＝π3对称．
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为f(x)＝cs 3x.
以下验证f(x)＝cs 3x符合题意．
因为f(－x)＝cs (－3x)＝cs 3x＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
令3x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ3，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称．]
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
[典例3] (1)函数 f(x)＝sin -2x+π3在[0，π]上的单调递减区间为________．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(1)0，5π12和11π12，π (2)kπ，kπ+π2，k∈Z kπ-π2，kπ，k∈Z [(1)f(x)＝sin -2x+π3＝sin -2x-π3＝－sin 2x-π3，
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)．
令A＝kπ-π12，kπ+5π12，k∈Z, B＝[0，π]，
∴A∩B＝0，5π12∪11π12，π，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为kπ，kπ+π2，k∈Z；单调递减区间为kπ-π2，kπ，k∈Z.]
根据单调性求参数
[典例4] 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ωx+π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0，2] B．0，12
C．12，34 D．12，54
D [法一(反子集法)：∵x∈π2，π，
∴ωx＋π4∈πω2+π4，πω+π4.
∵f(x)在π2，π上单调递减，
∴π2ω+π4≥π2+2kπ，k∈Z，πω+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得ω≥4k+12，k∈Z，ω≤2k+54，k∈Z.
又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时12≤ω≤54，故选D.
法二(子集法)：由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，得2kπω+π4ω≤x≤2kπω+5π4ω，k∈Z，
因为f(x)＝sin ωx+π4在π2，π上单调递减，
所以2kπω+π4ω≤π2，2kπω+5π4ω≥π，解得ω≥4k+12，ω≤2k+54.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为12，54.故选D.]
三角函数单调性的两类题型及求解策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间
①求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cs (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②求形如y＝A|sin (ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[跟进训练]
3．(1)(链接常用结论1)若函数f(x)＝sin ωx-π6(ω＞0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π2，则f(x)的一个单调递减区间为( )
A．-π6，π3 B．-π3，π6
C．π6，2π3 D．π3，5π6
(2)若函数f(x)＝3sin x+π10－2在区间π2，a上单调，则实数a的最大值是________．
(1)D (2)7π5 [(1)因为函数f(x)＝sinωx-π6(ω＞0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π2，所以周期T＝2πω＝2×π2＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝sin 2x-π6.令2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z，所以f(x)＝sin 2x-π6的单调递减区间为kπ+π3，kπ+5π6，k∈Z，结合各选项知：f(x)＝sin 2x-π6的一个单调递减区间为π3，5π6.
(2)法一：令2kπ＋π2≤x＋π10≤2kπ＋3π2，k∈Z，即2kπ＋2π5≤x≤2kπ＋7π5，k∈Z，所以函数f(x)在区间2π5，7π5上单调递减，所以a的最大值为7π5.
法二：因为π2≤x≤a，所以π2+π10≤x＋π10≤a＋π10，
又f(x)在π2，a上单调，
π2+π10课时分层作业(二十五) 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin x3＋cs x3的最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和2 B．3π和2
C．6π和2 D．6π和2
C [因为函数f(x)＝sin x3＋cs x3＝222sinx3+22csx3＝2sinx3csπ4+csx3sinπ4＝2sin x3+π4，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.]
2．若直线x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝( )
A．2 B．32
C．1 D．12
A [依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2πω＝2×3π4-π4＝π，解得ω＝2．]
3．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f(x)在-π2，-π6上单调递减
B．f(x)在-π4，π12上单调递增
C．f(x)在0，π3上单调递减
D．f(x)在π4，7π12上单调递增
C [f(x)＝cs2x－sin2x＝cs 2x，选项A中：2x∈-π，-π3，此时f(x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈-π2，π6，此时f(x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈0，2π3，此时f(x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈π2，7π6，此时f(x)先递减后递增，D错误．所以选C.]
4．函数f(x)＝cs x－cs 2x，则该函数为( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为98 D．偶函数，最大值为98
D [由题意，f(－x)＝cs -x－cs -2x＝cs x－cs 2x＝fx，所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cs x－cs 2x＝－2cs2x＋csx＋1
＝－2csx-142＋98，
所以当cs x＝14时，f(x)取最大值98.故选D.]
5．(多选)(2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝tan 2x+π4，则下列说法正确的是( )
A．fx的最小正周期为π
B．fx的定义域为xx≠π8+kπ2，k∈Z
C．fx的图象关于点-π8，0对称
D．fx在0，π8上单调递增
BCD [由题意，函数f(x)＝tan 2x+π4，可得fx的最小正周期T＝π2，所以A错误；
令2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠π8+kπ2，k∈Z，
即函数fx的定义域为xx≠π8+kπ2，k∈Z，所以B正确；令2x＋π4＝kπ2，k∈Z，解得x＝－π8+kπ4，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝－π8，所以函数fx的图象关于点-π8，0对称，所以C正确；由x∈0，π8，可得2x＋π4∈π4，π2，根据正切函数的性质，可得函数fx在0，π8上单调递增，所以D正确．故选BCD.]
6．(多选)下列各式的大小关系正确的是( )
A．sin 11°＜sin 168°
B．sin 194°＜cs 160°
C．cs -15π8＞cs 14π9
D．tan -π5＜tan -3π7
AC [对于A，∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，
又∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x是增函数，
∴sin 11°＜sin 12°，即sin 11°＜sin 168°.故正确；
对于B，∵sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs (180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°，
又∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x是增函数，
∴sin 14°＜sin 70°，即cs 160°＜sin 194°.故错误；
对于C，∵cs -15π8＝－cs 7π8， cs 14π9＝－cs 5π9，又∵y＝cs x在x∈[0，π]上是减函数，
∴－cs 5π9＜－cs 7π8，即cs -15π8＞cs 14π9.故正确；对于D，∵tan -π5＝－tan π5，tan -3π7＝－tan 3π7，又∵y＝tan x在x∈0，π2上是增函数，∴tan π5＜tan 3π7，即tan -π5＞tan -3π7.故错误．故选AC.]
二、填空题
7．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．
sin πx(答案不唯一) [基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，
∴此题可考虑在正弦函数的基础上调整周期使其满足题意．
由此可知f(x)＝sin ωx且T＝2πω＝2⇒f(x)＝sin πx.]
8．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________．
32 [因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时， y＝sin ωx是增函数；
当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sin ωx是减函数．
由已知得π2ω＝π3，解得ω＝32.]
9．(2023·烟台二中模拟)若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
π2(答案不唯一，只要等于π2＋2kπ，k∈Z即可) [∵f(x)＝sin (x＋φ)＋cs x的最大值为2，
又sin (x＋φ)≤1，cs x≤1，
则sin (x＋φ)＝cs x＝1时，f(x)取得最大值2．
由诱导公式，得φ＝π2＋2kπ，k∈Z.
∴φ的一个取值可为π2.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜2π3的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点π6，32，求f(x)的单调递增区间．
[解] 因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2πω＝π.
所以ω＝2．所以f(x)＝sin (2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x).
所以sin (2x＋φ)＝sin (－2x＋φ)．
展开整理，得sin 2x cs φ＝0．
上式对任意x∈R都成立，
所以cs φ＝0．因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.
(2)因为f(x)的图象过点π6，32，
所以sin 2×π6+φ＝32，
即sin π3+φ＝32.
又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ<π.
所以π3＋φ＝2π3，所以φ＝π3.
所以f(x)＝sin 2x+π3.
令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-5π12，kπ+π12，k∈Z.
11．已知a＝(sin x，3cs x)，b＝(cs x，－cs x)，函数f(x)＝a·b＋32.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝13在(0，π)上的解为x1，x2，求cs (x1－x2)的值．
[解] (1)f(x)＝a·b＋32
＝(sin x，3cs x)·(cs x，－cs x)＋32
＝sin x·cs x－3cs2x＋32
＝12sin2x－32cs 2x＝sin 2x-π3.
令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝5π12+k2π(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝5π12+k2π(k∈Z)．
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝5π12对称，
则x1＋x2＝5π6，
∴cs (x1－x2)＝cs x1-5π6 -x1
＝cs 2x1-5π6＝cs 2x1-π3-π2
＝sin 2x1-π3＝f(x1)＝13.
12．(多选)已知函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间π2，π上单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
AD [f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当π2∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确．综上，选AD.]
13．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sin x＋1sinx有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝π2对称；
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
②③ [由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin (－x)＋1sin-x＝－sinx+1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为fπ2-x＝sin π2-x+1sinπ2-x＝cs x＋1csx，fπ2+x＝sinπ2+x+1sinπ2+x＝cs x＋1csx，所以fπ2+x＝fπ2-x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，③为真命题．当sin x＜0时，f(x)＜0，所以④为假命题．]
14． (2022·河北保定一模)已知定义在x∈-3π4，π4上的函数f(x)＝sin x+π4＋sin 2x在x＝θ处取得最小值，则最小值为________，此时cs θ＝________．
－98 30-28 [因为x∈-3π4，π4，则x＋π4∈-π2，π2，令t＝sin x+π4∈[－1，1]，
则t＝22(sin x＋cs x)，
t2＝12(1＋2sin x cs x)＝12(1＋sin 2x)，
则sin 2x＝2t2－1，所以y＝2t2＋t－1，
所以，当t＝－14时，函数y＝2t2＋t－1取得最小值，即ymin＝18-14－1＝－98，此时sin θ+π4＝－14，由已知θ＋π4∈-π2，π2，
所以，cs θ+π4＝1-sin2θ+π4＝154，csθ＝cs θ+π4-π4＝cs θ+π4cs π4＋sin θ+π4sin π4＝30-28.]
15．在①f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，②f(x)的图象关于点5π18，0对称，③f(x)在-π4，π4上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由．
已知函数f(x)＝4sin ωx+π6＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于π3，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3?
[解] 由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，则有5π6ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝65k＋25(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4．
此时，f(x)＝4sin 4x+π6＋a.
由x∈0，π12，得4x＋π6∈π6，π2，因此当4x＋π6＝π2，即x＝π12时，f(x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．
若选择②，即f(x)的图象关于点5π18，0对称，则有5π18ω＋π6＝kπ(k∈Z)，解得ω＝185k－35(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，所以k＝1，ω＝3．
此时，f(x)＝4sin 3x+π6＋a.
由x∈0，π12，得3x＋π6∈π6，5π12，因此当3x＋π6＝5π12，即x＝π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12＋a＝6+2＋a，令6+2＋a＝3，解得a＝3－6-2，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．
若选择③，即f(x)在-π4，π4上单调递增，
则有-ωπ4+π6≥2kπ-π2，ωπ4+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得ω≤-8k+83，ω≤8k+43，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1．
此时，f(x)＝4sin x+π6＋a，
由x∈0，π12，得x＋π6∈π6，π4，因此当x＋π6＝π4，即x＝π12时，f(x)取得最大值22＋a，令22＋a＝3，解得a＝3－22，符合题意．
故存在正实数a，使得函数f(x)在0，π12上有最大值3．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ+π2，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
递增区间
-π2+2kπ，π2+2kπ，k∈Z
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
-π2+kπ，π2+kπ，k∈Z
递减区间
π2+2kπ，3π2+2kπ，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
无
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
kπ+π2，0，k∈Z
kπ2，0，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋π2，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋π2，k∈Z
kπ，k∈Z