2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知集合，集合B＝{x|lg3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2）B．[﹣2，3）C．[0，2）D．[﹣2，0）
2．（3分）“sinθ＝1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（3分）命题“∀x＞0，x2+x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x≤0，x2+x+1＜0B．∃x＞0，x2+x+1＜0
C．∃x≤0，x2+x+1≥0D．∀x＞0，x2+x+1＜0
4．（3分）不等式的解集为（ ）
A．B．{x|x≥4}
C．{x|x≤﹣4}D．{x|x＞1或x≤﹣4}
5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．[2，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）D．[﹣3，﹣2]
6．（3分）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA＝0.2m，AD＝0.3m，∠AOB＝100°，则该扇环形砖雕的面积为（ ）m2．
A．B．C．D．
7．（3分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，，则不等式的解集为（ ）
A．（0，2）B．
C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分.
（多选）9．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．x＞1时，的最小值是2
B．存在实数x，使得不等式成立
C．若x，y∈R，则
D．若x＞0，y＞0，且x+y＝16，则xy≤64
（多选）10．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n
C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3
D．对任意x∈R，都有3x＞2x
（多选）11．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）已知函数f（x），则方程f（x2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.
13．（3分）函数y的定义域为 ．（用区间表示）
14．（3分）已知sinx﹣csx，则 ．
15．（3分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．
16．（3分）若∀x∈[2，3]，不等式x恒成立，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17．（8分）（1）求值：；
（2）设4a＝5b＝m，且，求m的值．
18．（8分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[m，0]上的值域为，求m的取值范围．
19．（9分）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如图：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①y＝alg2x+b，②y＝x2+ax+b，③y＝2x﹣a+b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用（4，4）和（8，4.5）这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个．
20．（9分）已知两个变量x，y（x＞0且x≠1）满足关系式xy＝e，且y是x的函数．
（1）写出该函数的表达式y＝f（x），值域和单调区间（不必证明）；
（2）在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）．
21．（9分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）令，求g（x）的最小值．
22．（9分）给定常数a＞0，定义在R上的函数．
（1）若f（x）在R上的最大值为2，求a的值；
（2）设为正整数．如果函数y＝f（x）在区间（0，nπ）内恰有2022个零点，求n的值．
2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）已知集合，集合B＝{x|lg3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2）B．[﹣2，3）C．[0，2）D．[﹣2，0）
【分析】求出集合A，B，利用交集定义，即可求解．
【解答】解：B＝{x|lg3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，，
故A∩B＝{x|0＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（3分）“sinθ＝1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果．
【解答】解：∵sinθ＝1，∴，k∈Z，
且，
∴“sinθ＝1”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断，是一道基础题．
3．（3分）命题“∀x＞0，x2+x+1≥0”的否定是（ ）
A．∃x≤0，x2+x+1＜0B．∃x＞0，x2+x+1＜0
C．∃x≤0，x2+x+1≥0D．∀x＞0，x2+x+1＜0
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案．
【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x+1≥0”的否定是∃x＞0，x2+x+1＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4．（3分）不等式的解集为（ ）
A．B．{x|x≥4}
C．{x|x≤﹣4}D．{x|x＞1或x≤﹣4}
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解．
【解答】解：，即，
等价于，解得x＞1或x≤﹣4；
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．[2，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）D．[﹣3，﹣2]
【分析】结合图像讨论对称轴位置可得．
【解答】解：由题知，当a≤2或a≥3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．
6．（3分）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA＝0.2m，AD＝0.3m，∠AOB＝100°，则该扇环形砖雕的面积为（ ）m2．
A．B．C．D．
【分析】由已知结合扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：由题意得该扇环形砖雕的面积S＝S扇形COD﹣S扇形OAB（0.52﹣0.22）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，属于基础题．
7．（3分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可得sinα，csα的值，然后利用诱导公式求得正确答案．
【解答】解：由于角α的终边过点（﹣1，2），
所以，
所以


＝2sinα﹣csα

．
故选：D．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．（3分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，，则不等式的解集为（ ）
A．（0，2）B．
C．D．
【分析】分析函数f（x）的单调性，且f（ln2）＝f（﹣ln2）＝0．根据奇偶性可得即为f（lnt）＞0，根据单调性即可求解．
【解答】解：x＞0时，，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上也单调递减．
不等式转化为2f（lnt）＜﹣3f（﹣lnt）＝3f（lnt），
可得f（lnt）＞0，
由题意得，f（ln2）＝0，
故f（﹣ln2）＝0，
故由f（lnt）＞0，可得0＜lnt＜ln2或lnt＜﹣ln2，
解得1＜t＜2或，
故不等式的解集为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分.
（多选）9．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．x＞1时，的最小值是2
B．存在实数x，使得不等式成立
C．若x，y∈R，则
D．若x＞0，y＞0，且x+y＝16，则xy≤64
【分析】根据基本不等式的取等条件可判断A；取x＝1可判断B；作差可判断C；利用基本不等式可判断D．
【解答】解：对于选项A，当x＞1时，，
当且仅当x，即x＝1时等号成立，
故x＞1时，取不到最小值2，故A选项错误；
对于选项B，当x＝1时，，故B选项正确；
对于选项C，，故，故C选项正确；
对于选项D，x＞0，y＞0，x+y＝16，则，解得xy≤64，
当且仅当x＝y＝8时等号成立，故D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n
C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3
D．对任意x∈R，都有3x＞2x
【分析】令x＝2可判断A；当0＜a＜1时可判断B；令可得ex＝3，从而可判断C；当x＜0时可判断D．
【解答】对于A，令x＝2，可得f（2）＝a0﹣3＝﹣2，故函数f（x）的图象必过定点（2，﹣2），故A正确；
对于B，若0＜a＜1，函数y＝ax单调递减，由 am＞an可得m＜n，故B错误；
对于C，令，可得ex＝3，解得x＝ln3，故C正确；
对于D，当x＝0时，D显然错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据诱导公式可判断A；根据两角差的余弦公式可判断B；15°＝60°﹣45°，根据两角差的正切公式可判断C；根据两角和的正弦公式可判断D．
【解答】解：对于选项A，，故A选项正确；
对于选项B，，故B选项正确；
对于选项C，，故C选项正确；
对于选项D，sin100°＝sin80°，故D选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查诱导公式，两角差的余弦公式，两角差的正切公式，两角和的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（3分）已知函数f（x），则方程f（x2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论．
【解答】解：如图所示：
∵函数f（x），
即f（x）．
因为当f（x）＝1时，
求得x＝﹣4，或，或1，或3．
则①当a＝1时，由方程f（x2）＝a（a∈R），可得 x2＝﹣4，或，或1，或3．
又因为 x2≥0，或x2≤﹣4，
所以，当x2＝﹣4时，只有一个x＝﹣2 与之对应，其它3种情况都有2个x值与之对应．
故此时，原方程f（x2）＝a的实数根有7个根．
②当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故原方程有8个根．
②当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故原方程有6个根．
综上：不可能有5个根，
故选：A．
【点评】本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于难题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.
13．（3分）函数y的定义域为 [﹣1，1）∪（1，+∞） ．（用区间表示）
【分析】根据分母不为0，偶次根式的被开方非负列式可求出结果．
【解答】解：由函数有意义，得，解得x≥﹣1且x≠1．
所以函数的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查根式的性质，是基础题．
14．（3分）已知sinx﹣csx，则 ．
【分析】对两边平方求出，结合诱导公式求出答案．
【解答】解：因为，两边平方得：
所以．
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15．（3分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 7 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．
【分析】设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，根据题意可得（1﹣10%）n＜0.5，求解即可得出答案．
【解答】解：设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，
则（1﹣10%）n＜0.5，即，
∴，即，解得，
故至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，
故答案为：7．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（3分）若∀x∈[2，3]，不等式x恒成立，则实数k的取值范围是 （3，4] ．
【分析】将不等式等价转化为恒成立，根据函数的单调性与最值解不等式即可．
【解答】解：根据不等式恒成立可知，k＞0，
由，可得，所以，
所以，所以，
先解﹣k≤x2﹣kx，则（x﹣1）k≤x2，所以，
设函数，
令t＝x﹣1，则t∈[1，2]，
根据双勾函数的性质，可得在t∈[1，2]单调递增，
当t＝1时，的最小值为4，所以k≤4，
再解x2﹣kx≤k，则x2≤（x+1）k，所以，
令x+1＝m∈[3，4]，则x＝m﹣1，所以，
设函数，
根据双勾函数的性质，可得在m∈[3，4]单调递增，
当m＝4时，的最大值为，所以，
又x∈[2，3]，所以k的取值范围为（3，4]．
故答案为：（3，4]．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题和双勾函数的性质，考查了转化思想，属中档题．
四、解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17．（8分）（1）求值：；
（2）设4a＝5b＝m，且，求m的值．
【分析】（1）根据指对数的运算性质即可求解；
（2）根据指对互化可得a＝lg4m，b＝lg5m，代入，根据换底公式即可求解．
【解答】解：（1）．
（2）由4a＝5b＝m，可得a＝lg4m，b＝lg5m，
因为，
所以，
解得m＝4×53＝500．
【点评】本题主要考查有理数指数幂的运算，对数的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（8分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[m，0]上的值域为，求m的取值范围．
【分析】（1）令即可求得单调递增区间；
（2）由x∈[m，0]，得，画出y＝2sinx在[﹣2π，π]的图象，可得，从而可求解．
【解答】解：（1）令，
解得．
故f（x）的单调递增区间为．
（2）因为x∈[m，0]，所以．
画出y＝2sinx在[﹣2π，π]的图象如图所示：
所以，解得．
故m的取值范围为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
19．（9分）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如图：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①y＝alg2x+b，②y＝x2+ax+b，③y＝2x﹣a+b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用（4，4）和（8，4.5）这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个．
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由y≥6即可求解．
【解答】解：（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而y＝x2+ax+b在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
y＝2x﹣a+b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数y＝alg2x+b．
（2）由题意可得，解得，
所以．
令，解得x≥64．
故至少再经过62小时，细菌数列达到6百万个．
【点评】本题考查函数性质在生产生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（9分）已知两个变量x，y（x＞0且x≠1）满足关系式xy＝e，且y是x的函数．
（1）写出该函数的表达式y＝f（x），值域和单调区间（不必证明）；
（2）在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）．
【分析】（1）由xy＝e两边取以e为底的对数可求f（x）的解析式，再根据对数函数的性质即可求单调区间与值域；
（2）根据解析式与单调性即可画出图象．
【解答】解：（1）由xy＝e，可得lnxy＝lne＝1，即（x＞0且x≠1），
故（x＞0且x≠1），
当x∈（0，1）时，y＝lnx单调递增，故单调递减；
当x∈（1，+∞）时，y＝lnx单调递增，故单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（0，1），（1，+∞），无单调递减区间．
当x∈（0，1）时，lnx＜0，故f（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，故f（x）＞0．
故函数f（x）的值域为（﹣∞，0）⋃（0，+∞）．
（2）函数（x＞0且x≠1）的图象如图所示．
【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
21．（9分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）令，求g（x）的最小值．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的图象与性质可得时，f（x）∈[0，1]，令t＝f（x），根据二次函数的性质即可求最小值．
【解答】解：（1），
所以函数f（x）的最小正周期为．
（2）由，可得，所以．
令t＝f（x），则f2（x）+af（x）+3﹣a＝t2+at+3﹣a，t∈[0，1]，
令h（t）＝t2+at+3﹣a，t∈[0，1]，其对称轴为，
①当，即a≥0，
h（t）在[0，1]上单调递增，所以h（t）min＝h（0）＝3﹣a；
②当，即﹣2＜a＜0时，
h（t）在上单调递减，在上单调递增，
所以；
③当，即a≤﹣2时，
h（t）在[0，1]上单调递减，所以h（t）min＝h（1）＝4．
综上所述，
故
【点评】本题主要考查三角函数的最值，三角函数的周期，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（9分）给定常数a＞0，定义在R上的函数．
（1）若f（x）在R上的最大值为2，求a的值；
（2）设为正整数．如果函数y＝f（x）在区间（0，nπ）内恰有2022个零点，求n的值．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，利用换元法转化为一元二次函数，根据一元二次函数最值性质进行求解即可．
（2）利用换元法，结合三角函数零点问题，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】解：（1）∵．
∴
，
设t＝sinx，t∈[﹣1，1]，
则函数，
设的开口向下，对称轴为，
当，即0＜a＜2时，当t时，函数取得最大值，即，
又ymax＝2，即，，即a2＝6，得a与0＜a＜2矛盾．舍去．
当，即a≥2时，当t＝1时，函数取得最大值，，
又ymax＝2，则，即，满足条件．
综上所述，．
（2），
设t＝sinx，t∈[﹣1，1]，则函数等价为，
由f（x）＝0，得．
∵Δ＝a2+2＞0，∴有两个不等的实数根t1，t2（t1＜t2），
则，
则．
又t＝sinx，x∈R，
当时，
当x∈（0，π]时，t＝sinx有2个根0；
当x∈（π，2π]时，t＝sinx有2个根；
故x∈（0，2π]时，t＝sinx有4个根．
∵y＝f（x）在区间（0，nπ）内恰有2022个零点，∴n＝1011．
当时，
当x∈（0，π]时，t＝sinx有1个根；
当x∈（π，2π]时，t＝sinx有2个根；
故x∈（0，2π]时，t＝sinx有3个根．
∵y＝f（x）在区间（0，nπ）内恰有2022个零点，且2022＝674×3，∴n＝674×2＝1348．
综上所述，n的值为1011或1348．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值与对称轴的关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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y
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