2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）月考数学试卷（4月份）

2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（下）月考数学试卷（4月份）

1. 下列结论中正确的是

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

2. 已知i，j为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则的取值范围为

A.  B.
C.  D.

3. 设向量，，若，则

A.  B.  C. 1 D.

4. 在复平面内O为坐标原点，复数，对应的点分别为，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

5. i为虚数单位，已知复数是纯虚数，则a等于

A.  B. 1 C.  D. 0

6. 如果复数z满足，那么的最大值是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的条件．

A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充分必要 D. 既非充分又非必要

8. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法正确的是

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 棱锥的侧面一定都是三角形
C. 棱台各侧棱所在直线必交于一点
D. 有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台

10. 以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是

A. 两个圆锥拼接而成的组合体
B. 一个圆台
C. 一个圆锥
D. 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

11. 下面四个命题中的真命题为

A. 若复数z满足，则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，则

12. 复数z的共轭复数记为，复数z、分别对应点Z、设A是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的，都有，就称A为“共轭点集”．下列点集中是“共轭点集”的有

A.  B.
C.  D.

13. 已知方程有两个虚根，，则的取值范围是______.
14. 已知关于x的方程，总有实数解，则的取值范围是______.
15. 如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为______.
    
     

16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，若，则的最大值为______.
17. 实数k为何值时，复数是：实数；虚数；纯虚数；
    
    
    
    
    
    
     
18. 设复数z满足：在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且是和的等比中项，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为
    若，求的值；
    求的取值范围.
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中，
    求表达式的值，并说明理由；
    求面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设复数求函数的最大值以及对应的值．
    
    
    
    
    
    
     

对于函数，，如果a，b，c是任意的正实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“恒三角形函数”．
设，，若函数是上的“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
在的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．







答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

根据棱锥，圆锥，棱柱的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．
本题考查了棱锥和圆锥、棱柱的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥、棱柱的几何特征，是解答的关键．

【解答】

解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；
以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，故C错误；
圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；
故选：

2.【答案】D
 

【解析】解：根据条件得，，，
与的夹角为钝角，
，且与不共线，
，解得且，
的取值范围为：
故选：
根据条件可得出，，，然后根据与的夹角为钝角即可得出关于不等式组，解出的范围即可．
本题考查了向量坐标的定义，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：向量，，，
，
求得，
故选：
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得k的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：，，
，，
，
，

故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查向量与复数的综合应用，属于中档题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知a是实数，
已知复数是纯虚数，可得，，
解得
故选：
本题是选择题，通过选项可以判断出a是实数，利用复数的基本概念求解即可．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：复数z满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．

的最大值是
故选：
复数z满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离．
求出即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要、充要条件的判断，是基础题.
的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，复数模通常考虑其几何意义解题．
实系数一元二次方程的两根都是虚数时，则方程无实根，即判别式注意端点值的取舍．

【解答】

解：实系数一元二次方程的两根都是虚数，
，；
又表示以为圆心，以2为半径的圆；
而是以为圆心，以1为半径的圆．
可知复平面上的圆和圆有公共交点，
所以，实数，
所以“实系数一元二次方程的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足且”的既非充分又非必要条件．
故选：

8.【答案】C
 

【解析】解：因为，
由正弦定理得：，
即，
所以，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
故选：
利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得a，b，c关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值．
 

9.【答案】BC
 

【解析】解：对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱，像两个倒扣的棱柱符合这种情况，但是不叫棱柱，故A错误；
对于B：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；
对于C：棱台是由棱锥截成的，故各个侧棱一定相交于一点，故C正确；
对于D：有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台，与棱台的定义不符，故D错误；
故选：
直接利用棱柱和棱台的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：棱柱和棱台的定义，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
 

10.【答案】AD
 

【解析】解：以钝角三角形的长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；
以钝角三角形的短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；
故选：
判断旋转体的形状，即可得到选项．
本题考查旋转体图形的判断，考查空间想象能力，是基础题．
 

11.【答案】AD
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，属于基础题．
根据复数的分类，利用复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．

【解答】

解：，

，故命题A为真命题；
满足，但，故命题B为假命题；
，满足，但，故命题C为假命题；
若复数，则，故命题D为真命题．
故选项为：

12.【答案】BC
 

【解析】解：复数z的共轭复数记为，复数z、分别对应点Z、设A是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的，都有，就称A为“共轭点集”．
可知满足性质：复数z、分别对应点Z、对称点关于y轴对称，图形关于x轴对称．
表示的图形不关于x轴对称；所以不是“共轭点集”．
的图象关于x轴对称；是“共轭点集”
的图形关于x轴对称；是“共轭点集”
的图象不关于x轴对称．不是“共轭点集”
故选：
利用已知条件然后判断选项图形的对称性即可．
本题考查复数的几何意义，图形的对称性，考查分析问题解决问题的能力．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：，解得
，

故答案为：
由题意可得：，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得范围．
本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：
得有实数解，
，，
消去x得
，
，
，
即
则
得，
，，
，
则，即，
即的取值范围是
故答案为：
利用复数相等的条件，建立方程关系，消掉参数建立关于a，b的方程，利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查复数的应用，利用复数相等以及基本不等式的性质是解决本题的关键．考查学生的转化能力，有一定的难度．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意，，
，
又E，F，G三点共线，
，
；
又，
，
解得：，，
实数m的值为
故答案为：
用、表示出向量、，根据E，F，G三点共线，，再用、表示出，根据向量相等列方程组求出m的值．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由，得，
则，
，
，当且仅当时取等号，
则，
故的最大值为，
故答案为：
由余弦定理求出和的取值范围，结合基本不等式进行求解即可．
本题主要考查基本不等式的应用，结合余弦定理以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
 

17.【答案】解：当，即或时，z是实数．
当，即且时，z是虚数；
当，且，z是纯虚数，即时为纯虚数；
当，且，即时，z是
 

【解析】利用复数中，为实数；为虚数；且为纯虚数；，分别得到关于k的方程解之．
本题考查了复数的基本概念；属于基础题．
 

18.【答案】解：设，
，
该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，


，
，






 

【解析】设，利用复数的运算和几何意义可得x与y的关系，再根据等比数列的定义、和复数的模运算性质即可得出．
熟练掌握复数的运算和几何意义、等比数列的定义、复数的模运算性质等是解题的关键．
 

19.【答案】解：中，，
…①
的面积为，
…②
由①②得，，；…分
，
又，则，
；…分
由知，

； …分
又，，
的取值范围是…分
 

【解析】根据平面向量的数量积和三角形面积公式，利用余弦定理求得的值；
由三角形内角和定理与三角恒等变换求得的取值范围．
本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，也考查了平面向量的数量积问题，是中档题．
 

20.【答案】解：如图延长AG交BC与F，为的中心，
为BC的中点，则有
，，
即
、G、E三点共线

故；
是边长为1的正三角形，
，
由，，
，即

设则

易知在为减函数，在为增函数．
，即，时，取得最小值，
即取得最小值，又，
取得最大值是，则取得最大值，
此时或
 

【解析】将向量用向量和表达，由D、G、E三点共线，即可得到m和n的关系．
由三角形面积公式，，由可知，由消元法，转化为m的函数求最值即可．
本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．
 

21.【答案】解：由得
由得分
故分
，
分
当且仅当时，即时，上式取等号．
所以当时，函数y取得最大值分
 

【解析】由求得，再由两角差的正切建立关于的函数，，再由基本不等式法求解．
本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．
 

22.【答案】解：
，
，，
，
①时，，
由题意得，得，
②时，，
由题意得，得，
③时，符合题意，
综上，实数k的取值范围为
函数
，
令，
则，
，
，
，
由题意得，
①时，由题意得，
②时，由题意得，
③时，不符合题意，
综上，实数k的取值范围为或
 

【解析】本题主要考查函数的应用，函数的定义域与值域，三角恒等变换，向量的数量积，是难题.
根据向量的数量积及三角形恒等变换化简可得，分类讨论即可求出k的范围；
令，可化简，根据，分类讨论即可求出k的取值范围．