2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高三月考（二） 数学（word版）

华南师大附中2023届高三月考（二）

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 

C．第三象限 D．第四象限

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

4．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点61的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（    ）

（参考数据：）

A．40m B．45m 

C．50m D．55m

5．在中，为边上的点，当，，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

6．在中，，则此三角形必是（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形

 C．等腰三角形 D．钝角三角形

7．设实数满足，且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．设为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ）

A．若,,则    B．若则

C．若,,则   D．若则

10．函数(）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．直线是函数图象的一条对称轴

B．函数的图象关于点对称

C．函数的单调递增区间为

D．将函数的图象向由右平移个单位得到函数的图象

11． 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

记图乙中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，则下列结论中正确的是（    ）

A．      B．

C．当时，均为等比数列 D．

12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（    ）

A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同

B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值

C．若函数，则函数的值域为

D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量夹角为，且，，则______．

14．已知，则__________．

15．某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③．写出一个符合条件的函数解析式__________．

16．已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知的内角的对边分别为，，，且A．

(1)求

(2)若，，求的值．

18．（本小题满分12分）

设数列的前项和为，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）

某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．

(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（直接写结论）；

(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；

(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

20． （本小题满分12分）

在斜三棱柱中，，，．

(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC中点；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知，是椭圆的两个顶点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，求的值．

22．（本小题满分12分）

设函数，为实数，有最大值为．

(1)求的值；

(2)若，求实数的最小整数值．

华南师大附中2023届高三月考（二）

数学参考答案

一、单项选择题：

1．D    2．C    3．A    4．C    5．A    6．B    7．C    8．A

二、多项选择题：

9．BD      10．BCD      11．BCD      12．ACD

11. 【答案】BCD

【详解】易得，且有，

故有，故

故，进而易判断BCD正确，A错误.故选：BCD.

12.【答案】ACD

【详解】对于A，，，则，

又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；

对于B，设，，

则，当且仅当，

即时，曲率取得最大值，故B错误；

对于C，，

，

当时，；当时，函数为增函数，

所以的最大值为，故C正确；

对于D，，

，

当且仅当时，等号成立，故D正确．故选ACD．

三、填空题：

13.       14.       15. （答案不唯一）      16.

16.【详解】在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，

由，得到是取中最大值.

，是数列中的最小项，

又单调递减，单调递增，

当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，

当时，，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.

四、解答题：

17．（1）由得，(1分)

即，

，

，(3分)

，，(4分)

．(5分)

（2）由，，，

解得，(7分)

，．(10分)

18．解： (1)，①

当时，，②(1分)

①-②得，(2分)

∴，∴，(3分)

∵，∴，∴也满足上式，（4分)

∴数列为等比数列且首项为2，公比为3，

∴.

即的通项公式为.(5分)

(2)由（1）知，所以，(6分)

令，①(7分)

得，②(8分)

①-②得(9分)

(10分)

 (11分)

所以.(12分)

19．解：（1）；(1分)

（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，

所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；(4分)

（3）题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，(5分)

则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；(6分)

依题意，所有可能取值为，，.(7分)

则，(8分)

，(9分)

，(10分)

所以随机变量的分布列为

(11分)

故数学期望为.(12分)

20. 解：（1）法一：取的中点，连接

∵且为的中点，则(1分)

又∵，，且平面

∴平面(2分)

平面，(3分)

由题意可得，则

∴，则

∵，则(4分)

又∵为等边三角形且为的中点，则

，且平面

∴平面

平面，则(5分)

又，且平面

∴平面即在底面ABC上的射影是线段BC中点M(6分)

法二：取的中点，连接

由得(1分)

又由得(2分)

因为，所以(3分)

由于，得

在中，，

在中，，(4分)

同理

在中，，因此(5分)

又由于，所以平面即在底面ABC上的射影是线段BC中点M(6分)

（2）如图，以M为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，(7分)

则，∴(8分)

设平面的法向量，则即

令，则，即(9分)

平面的法向量(10分)

∴(11分)

即平面与平面夹角的余弦值为.(12分)

21．解：（1）由，是椭圆的两个顶点，

得，，即；(3分)

（2）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆有且只有一个公共点，不成立，(4分)

所以设，，，直线的斜率为，

则，

同理，，

则 (5分)

设：，而：，联立解得，

所以 (6分)

联立直线与椭圆方程，消去得：，(7分)

解得

所以，，(8分)

所以(9分)

，(11分)

所以，即．(12分)

22．解：(1)，定义域为，

，(1分)

当时，，当时，，

所以在处取得极大值，也是最大值，(2分)

所以，解得：；(3分)

(2)，即,，(4分)

令，定义域为，

，(5分)

令，，则，

可以看出在单调递减，(6分)

又，，

由零点存在性定理可知：，使得，即，(7分)

当时，，当时，，

在处取得极大值，也是最大值，

，(8分)

，，

，

故存在，，使得，(9分)

所以当时，，当时，，

所以在上大于0，在上小于0，

所以在单调递增，在上单调递减，

且当时，恒成立，(10分)

所以在处取得极大值，也是最大值，其中，

，(11分)

令，，

，当时，，

故，所以实数的最小整数值为1. (12分)