2022-2023辽宁省丹东市凤城市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023辽宁省丹东市凤城市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 已知正实数满足，则的最小值为， 已知函数，则使可以是， 已知函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章，第五章.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合为奇数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素的条件，寻找集合中的奇数，即为交集中的元素，由此得到答案.
【详解】∵为奇数，∴当且仅当为奇数，
集合，满足的奇数为-1、1、3，
所以.
故选：D.
2. 手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：B.
3. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】已知是二次函数，其对称轴为，开口向上，
要使得函数在区间上是减函数，
则必须，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小.
【详解】∵，，
∴.
故选:B.
5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
故选：A.
6. 小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 储蓄比通信开支多50元B. 日常开支比食品中的其他开支少150元
C. 娱乐支出为100元D. 肉类开支占总开支的
【答案】C
【解析】
【分析】根据图表信息对选项一一分析即可得出答案.
【详解】由食品开支图，可知食品开支为（元），所以一星期的总开支为（元），其中娱乐支出为（元），故C正确；
储蓄比通信开支多（元），故A错误；
日常开支为（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B不正确；
肉类开支占总开支的故D错误.
故答案为：C.
7. 已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数单调性的特征，求实数的取值范围.
【详解】当时，单调递增且，
所以当时，也单调递增，
则解得，所以.
故选：B.
8. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解集.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.
所以或，即或，
解得或，
综上，满足原不等式的的取值范围是.
故选：A
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则使可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，求出的值，然后结合函数的解析式可求得的值.
【详解】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
故选：BCD.
10. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点B. 的图象关于y轴对称
C. 在定义域上单调递减D. 在内的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点的坐标代入，可得，
则，
所以的图象经过点，A正确；
根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，
函数在内的值域为，故BC错误，D正确，
故选：AD．
11. 新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在内的居民有180人.则以下说法正确的是（ ）

A.
B. 调查的总人数为4000
C. 从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D. 根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的”的规定
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及中位数、平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由频率分布直方图的性质，可得，
即，解得，所以A正确；
设总共调查了人，可得，
解得，即调查的总人数为300人，所以B错误；
中位数位于区间，设中位数为，
则，解得，
由频率分布直方图知各段的频率分别为，
设平均数为，
则.
可得，所以C正确；
由评分在的居民占调查总人数的，所以评分低于65分的居民不超过全体居民的，所以D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B. 函数的图象关于原点对称
C. D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.
【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数且过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令，可得，
.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意，根据必要不充分条件可得⫋，从而建立不等关系即可求解.
【详解】解：不等式的解集为，不等式的解集为，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以⫋，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
15. 已知函数是奇函数，则实数的值为__________.
【答案】1或
【解析】
【分析】由题意可得，求出，检验即可.
【详解】由题意知，定义域为，
函数是奇函数，则，
即，化解得，解得或，
经检验，或都符合要求.
故答案为：1或.
16. 若实数满足，，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】令，易知为单调递增函数，函数变形同构可得，进而求解即可.
【详解】令，易知为单调递增函数，，
即有且仅有一个零点，
又由题可知，即，
所以，
所以，即，
又，得，
所以.
故答案为：1.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【小问1详解】
原式=；
【小问2详解】
原式.
18. 已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求的值；
（2）由函数的单调性，求和在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数的取值范围.
【小问1详解】
为幂函数且在上单调递增，
解得；
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增，
当时，，即；
在R上单调递增，
当时，，即，
，
解得，即实数的取值范围为.
19. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)甲获胜包括第一次甲投中和甲第一次不中乙第一次不中甲第二次投中两种情况;
(2) 乙只投了1个球包括甲第一次没投中，乙第一次投中和甲第一次没投中，乙第一次没投中甲第二次投中两种情况.
小问1详解】
解：（1）设，分别表示甲､乙在第次投篮时投中，
则，，，
“甲获胜”为事件，
则
；
【小问2详解】
记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件.
则
.
20. 在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
（1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据查数据可知至少参加上述一个培训的共有22人，即可计算出相应的概率；
（2）列出所有的基本事件，再选出符合题意的基本事件数，即可计算出结果.
【小问1详解】
由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人，
故至少参加上述一个培训的共有（人）.
因此从50名志愿者中随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；
【小问2详解】
从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，
其一切可能的结果组成的基本事件有，共8个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，共3个，
所以可得未被选中且被选中的概率为.
21. 已知函数为常数．
（1）当时，判断在上的单调性，并用定义法证明
（2）讨论零点的个数并说明理由．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由单调性的定义证明，
（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，
【小问1详解】
当，且时，是单调递减的．
证明：设任意，则，
，，，，
，，故当时，在上是单调递减的
【小问2详解】
令，可得，令，，则，
记易知在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，，此时，无零点，故无零点
当时，恰有一个零点，故有一个零点
当时，若，令，解得，若，又，
此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，
因此，当时，有个零点，有个零点
当时，若，则，即在无零点，若，又，
此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，
因此，当时，有一个零点，即有一个零点．
综上所述，当时，无零点当或时，有1个零点当时，有个零点．
22. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）是否存在常数，使得对于任意的，只要，就有.若存在，写出一个满足要求的实数的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算，化简得，易解出值域.
（2）根据任意性定义，任意的，只要，就有中，，则即可，对在的单调性进行分类讨论，可求出函数的解析式，再求该函数的最值即可.
【小问1详解】
因.
故的值域为；
【小问2详解】
当时，记，则只要，就有，则即可，
①当时，在上单调递增，
，
；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，，，
当时，有
，解得
时，，
时，，
则，
当时，，，
即在上的值域为，所以无最大值，
综上所述，无最大值，不存在常数.
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
28