2022-2023学年辽宁省丹东市第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省丹东市第四中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设函数的定义域A，函数的定义域为B，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合A，B，再求交集即可.

【详解】对于函数，有，解得，

即；

对于函数，有，解得，

即，

故选：D.

2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．

【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需，

所以时，不能推出“，”为真命题，

“，”为真命题时推出，

故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，

故选：A．

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

3．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】试题分析：均值为;

方差为

,故选D.

【解析】数据样本的均值与方差.

4．已知正数，满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.

【详解】因为，，，所以，

故，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，故，则的最大值为.

故选：B.

5．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）

7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198

3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181

A．02 B．15 C．16 D．19

【答案】D

【分析】根据个体编号规则，随机表法依次取出5个个体编号，即可确定第5个个体的编号.

【详解】由题意，依次取到的编号为16、15、08、02、19，

所以第5个个体的编号为19.

故选：D

6．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.

【详解】因为，所以令，则，

所以，所以，

因为，所以，

故选：B.

7．定义在上的函数满足（），，则等于

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【详解】试题分析：法一、根据条件给赋值得：，

所以.所以选

法二、满足题设条件.将代入即得.

【解析】抽象函数.

8．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.

【详解】选B.根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，即，所以，化为有解，令，则有在上有解，设，对称轴为.①若，则Δ＝，满足方程有解；②若，要在时有解，则需 ，解得.综上可得实数m的取值范围为．

故选：B.

二、多选题

9．下列说法不正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．若实数，，满足，则

C．若，则函数的最小值为

D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是

【答案】ACD

【分析】解一元二次不等式可判断A;根据不等式的性质可判断B;利用基本不等式结合函数单调性可判断C;根据一元二次不等式恒成立求得参数的取值范围可判断D.

【详解】不等式即，解集为或，A错误；

实数，，满足，则，故，B正确；

，，函数，

但此时，即，故等号取不到，

令，则在上为单调增函数，则，

即函数的最小值为，C错误；

，当时，恒成立，

当时，恒成立，需满足，解得，

综合可得k的取值范围是，D错误，

故选：

10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（    ）

A．这10天日均值的80%分位数为60

B．从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

C．从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差

D．这10天中日均值的平均值是50

【答案】BC

【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.

【详解】由图知：从小到大为，而，

所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；

前5天极差为，后5天极差为，B正确；

前5天平均值为，后5天平均值为，

所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；

故选：BC

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的值域为R

C．方程最多只有两个实数解 D．方程有5个实数解

【答案】ABD

【分析】根据函数解析式可求的值，故可判断A的正误，解方程后可判断D的正误，画出的图象后可判断BC的正误.

【详解】，故A正确.

等价于或，

故或，故方程有2个实数解，

下面考虑的解，令，则的解为或，

再考虑或的解，

即或或或，

故或或或或，共5个不同的解，

故D正确.

的图象如图所示：

由图象可得的值域为R，故B正确.

当时，直线与的交点个数为3，

故此时有3个不同的实数根，故C错误.

故选：ABD.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【解析】由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．

【详解】，，

，则不是偶函数，故A错误；

的定义域为，

，

为奇函数，故B正确；

，

又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；

，，则，可得，

即．

，故D错误．

故选：BC．

【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.

三、填空题

13．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．

【答案】

【分析】由奇函数的性质即可求解.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则有，

设，有，

则，

又由函数为奇函数，则，

则．

故答案为：

14．已知幂函数在上单调递增，则__________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出，进而得出.

【详解】由题意可知，，解得，即，

故答案为：

15．不等式的解集是______.

【答案】

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，然后解二次不等式即可.

【详解】，

即不等式的解集是

故答案为：

16．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克．

【答案】

【分析】利用标准差和均值的公式完成计算.

【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，.

草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即，，

则，则这6个香囊中草药甲含量的方差

，

所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．

故答案为：.

四、解答题

17．设集合U=R，；

（1）求：，；

（2）设集合，若，求a的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算；

（2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论．

【详解】（1），

，

，，，

（2），

（i） 时，；

（ii）时， ，解得.

综上：．

【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论．

18．已知函数，.

(1)若的解集为，求的值；

(2)当时，且，若，，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)的取值范围为

【分析】（1）、分析可知是的两根，根据韦达定理即可求出的值，进而可求出；

（2）、由可得得关系，并求出在上的；分析题意可知，即可得到的取值范围.

【详解】（1）的解集为，且的两根：

，，，；

（2），，，，

，对称轴为，

，，二次函数开口向上，在上单调递增，

时，取；

时，取；

，，恒成立，恒成立，

，，

，.

19．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：

（1）求的值；

（2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；

（3）试估计此样本数据的第90百分位数.

【答案】（1）；（2）众数75，中位数76.7，平均成绩76.2；（3）93.75.

【分析】(1)根据频率分布直方图面积之和为1，即可求出的值；

(2)根据频率分布直方图，每一组的中间值代表该组的数据，即得到可这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；

(3)根据频率分布直方图，求频率在时的分数，即为此样本数据的第90百分位数的估计值.

【详解】(1)根据频率分布直方图得：，

解得.

(2)有众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为，

，

前三个小矩形的面积的和为，而第四个小矩形的面积为：，

中位数应位于内，中位数=，

平均成绩为：

.     

(3)前5个小组的频率之和是，

所以第90百分位数在第五小组内，为.

20．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)6

(2)

【分析】利用对数与指数幂运算法则及对数的换底公式求解即可.

【详解】（1）原式

；

（2）原式.

21．设函数（且，），是定义域为的奇函数．

（1）求的值，并证明：当时，函数在上为增函数；

（2）已知，函数，，求的最大值和最小值.

【答案】(1)证明见解析,(2) 当时，；当时，.

【分析】（1）根据函数为上的奇函数，可求得的值，即可得函数的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；

（2）根据的值，可以求得，即可得的解析式，利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；

【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，∴，得．

，，即是上的奇函数，

设，则，

∵，∴，∴，∴在上为增函数.

（2）∵，∴，即，∴或（舍去）.

则，，令，，

由（1）可知该函数在区间上为增函数，则.

则，，

当时，；当时，.

【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了二次函数的最值，解题的关键是确定函数的单调性，从而确定参数的范围，属于中档题．

22．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．

（1）求f(50)的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？

【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．

【分析】（1）由计算可得；

（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．

【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，

所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．

（2）由题知，

f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120

＝－x＋4＋250，

依题意得

解得20≤x≤180，

故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，

y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，

当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．