浙江省温州市精准教学试点区学习力测评2023—2024学年九年级数学期中试卷（含解析）

这是一份浙江省温州市精准教学试点区学习力测评2023—2024学年九年级数学期中试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（3分）现有三张正面分别印有2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下，从中随机抽取一张是“琮琮”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，M是弦AB的中点，且OM＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（3分）如图，∠A是⊙O的圆周角，若∠OBC＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+2x上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
7．（3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D．若∠EAD＝2∠BDC，则∠BDC的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
8．（3分）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约2.15米，与篮筐的水平距离4.5m，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为2.5米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
A．4.55米B．4.60米C．4.65米D．4.70米
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣1的图象开口向下，则实数a的取值范围是 ．
10．（3分）一个不透明的口袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大．
11．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A'BC'D'，若AD＝1，AB＝2，则DD'的长为 ．
12．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则的度数为 °．
14．（3分）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，记△ACE的周长为C1，正六边形ABCDEF的周长为C2，则的值为 ．
15．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1，当﹣2≤x≤2时，y的最大值为 ．
16．（3分）图1是“中国第一泉”鸣沙山月牙泉，其示意图如图2，它是由和组成的封闭图形，C，D分别为 和的中点，测得∠ADB＝30°，∠ACB＝45°．记所在圆的半径为r米，所在圆的半径为R米，则＝ ；测得AB为50米，则C，D两点之间的距离为 米．
三.解答题（本题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（8分）已知：如图，在⊙O中，弦AD＝BC．求证：AB＝CD．
18．（8分）校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．
（1）求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率．
（2）请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率．
19．（8分）如图在8×8的方格中有一个格点△ABC（顶点都在格点上）．
（1）在图1中画出格点△ABC外接圆的圆心O，并保留作图痕迹．
（2）在图2中找到一个格点P，使得∠APC＝∠ABC．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+3x+4与一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（m，0）（m＜0）和点B（3，4）．
（1）求a，m的值．
（2）利用函数图象，求当y1≥y2时自变量x的取值范围．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，C为半圆O上一点，∠BAC＝30°，D为上任意一点，连结AD，CD，BC．
（1）求∠D的度数．
（2）若CD∥AB，求CD的长．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），B（3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+3上．
（1）求该抛物线与y轴的交点坐标．
（2）若m＝n时，求t的值．
（3）若m＜n＜3时，求t的取值范围．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务：
24．（12分）如图1，在⊙O中，P是直径AB上的动点，过点P作弦CD（点C在点D的左边），过点C作弦CE⊥AB，垂足为点F，连结BC，已知．
（1）求证：FP＝FB．
（2）当点P在半径OB上时，且OP＝FB，求的值．
（3）连结BD，若OA＝5OP＝5．
①求BD的长．
②如图2，延长PC至点G，使得CG＝CP，连结BG，求△BCG的面积．
2023-2024学年浙江省温州市精准教学试点区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O内，
∴OP＜3，
即OP的长可能为2．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．（3分）现有三张正面分别印有2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下，从中随机抽取一张是“琮琮”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）如图，⊙O的半径为5，M是弦AB的中点，且OM＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】先根据垂径定理得出AB＝2AM，OM⊥AB，再根据勾股定理求出BM的长，故可得出结论．
【解答】解：连接OB．
∵AB是⊙O的弦，点M是AB的中点，
∴AB＝2AM，
∴OM⊥AB，
在Rt△AOM中，
∵OB＝5，OM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴AB＝2AM＝2×4＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
5．（3分）如图，∠A是⊙O的圆周角，若∠OBC＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠A＝∠BOC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°
∴∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠A＝∠BOC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+2x上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线y＝﹣x2+2x的开口向下，对称轴为直线x＝，
所以抛物线上的点离对称轴越近，则其纵坐标越大．
又因为1﹣1＝0，2﹣1＝1，4﹣1＝3，
且0＜1＜3，
所以y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D．若∠EAD＝2∠BDC，则∠BDC的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【分析】直接利用角平分线的性质结合圆内接四边形的性质得出∠DBC＝∠BCD，根据三角形内角和定理即可得的答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴∠EAD＝∠DAC＝∠DBC＝∠BCD，
∵∠EAD＝2∠BDC，
∴∠DBC＝∠BCD＝2∠BDC，
∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴5∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝36°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及圆内接四边形的性质，正确得出∠EAD＝∠BCD是解题关键．
8．（3分）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约2.15米，与篮筐的水平距离4.5m，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为2.5米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
A．4.55米B．4.60米C．4.65米D．4.70米
【分析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+k（a≠0），再把（0，2.15）和（4.5，3.05）代入解析式，求出a，k即可．
【解答】解：根据题意得：抛物线过点（0，2.15）和（4.5，3.05），对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+k（a≠0），
把（0，2.15）和（4.5，3.05）代入解析式得：
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+4.65，
∵﹣0.4＜0，
∴函数的最大值为4.65，
∴球在运动中离地面的最大高度为4.65m，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣1的图象开口向下，则实数a的取值范围是 a＜0 ．
【分析】直接根据二次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣3x﹣1的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当a＜0时，抛物线向下开口是解题的关键．
10．（3分）一个不透明的口袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 白 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大．
【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【解答】解：∵袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球，
∴球的个数为1+3+5＝9（个），
∴任意摸出一球，摸到红球的概率＝，摸到黄球的概率＝＝，摸到白球的概率＝，
∵＞＞，
∴摸到白球的可能性最大．
故答案为：白．
【点评】本题考查了可能性的大小：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，通过概率公式计算各随机事件的概率来判断各事件发生的可能性大小．
11．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A'BC'D'，若AD＝1，AB＝2，则DD'的长为 ．
【分析】首先根据旋转的性质得到∠DBD′＝90°，DB＝D′B，得到△DBD′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BD的长，进而可得结论．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A′BC′D′，
∴∠DBD′＝90°，DB＝D′B，
∴△DBD′是等腰直角三角形，
∵AB＝2，AD＝1，
∴BD＝＝＝，
∴DD′＝BD＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，解答本题的关键是根据题意得到△DBD′是等腰直角三角形．
12．（3分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 y＝x2+2 ．
【分析】直接利用二次函数图象平移规律“上加下减”得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为：y＝x2+2．
故答案为：y＝x2+2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象平移规律，正确记忆平移规律是解题关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则的度数为 40 °．
【分析】连接AD，OD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，再根据AB＝AC，∠C＝70°，可得∠B＝70°，然后求得∠DAB＝20°，从而得出∠DOB＝40°即可．
【解答】解：连接AD，OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠DAB＝20°，
∴∠DOB＝40°，
∴＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查圆周角以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握直径所对的圆周是直角和同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
14．（3分）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，记△ACE的周长为C1，正六边形ABCDEF的周长为C2，则的值为 ．
【分析】设正六边形的边长为a，利用含30°角的直角三角形的性质求出DH，从而得出CE的长，进而解决问题．
【解答】解：设正六边形的边长为a，
连接AD，交CE于H，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴DC＝DE＝a，∠CDE＝120°，AD⊥CE，
∴DH＝a，
∴CE＝2CH＝a，
由正六边形的性质知，△ACE是等边三角形，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
15．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣1，当﹣2≤x≤2时，y的最大值为 7 ．
【分析】根据抛物线解析式可以求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再根据函数的对称性求出函数的最大值．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴y的最小值为﹣2；
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y有最大值，最大值为4+4﹣1＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是掌握二次函数的性质．
16．（3分）图1是“中国第一泉”鸣沙山月牙泉，其示意图如图2，它是由和组成的封闭图形，C，D分别为 和的中点，测得∠ADB＝30°，∠ACB＝45°．记所在圆的半径为r米，所在圆的半径为R米，则＝ ；测得AB为50米，则C，D两点之间的距离为 （25+25﹣25） 米．
【分析】设所在圆的圆心为O1，所在圆的圆心为O2，连接AO1，BO1，AO2，BO2，然后根据∠ADB＝30°，∠ACB＝45°，求出AB＝r，AB＝R，从而得出；再根据AB＝50米，求出CD即可．
【解答】解：设所在圆的圆心为O1，所在圆的圆心为O2，
连接AO1，BO1，AO2，BO2，如图所示：
则AO1＝BO1＝r，AO2＝BO2＝R，
∵∠ADB＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠AO1B＝2∠ACB＝90°，∠AO2B＝2∠ADB＝60°，
∴△AO1B是等腰直角三角形，△AO2B是等边三角形，
∴AB＝＝r，AB＝AO2＝R，
∴r＝R，
则＝＝；
当AB＝50米时，r＝50，
∴r＝25（米），R＝50米，
∴O1O2＝R﹣r＝25﹣25（米），
∴CD＝O1D﹣O1C＝O1O2+O2D﹣O1C＝25﹣25+50﹣25＝（25+25﹣25）米．
故答案为：，（25+25﹣25）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理以及垂径定理的应用，关键是结合图形利用圆的有关知识解答．
三.解答题（本题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（8分）已知：如图，在⊙O中，弦AD＝BC．求证：AB＝CD．
【分析】由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．
【解答】证明：∵AD＝BC，
∴．
∴．
∴．
∴AB＝CD．
【点评】本题利用了在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．
18．（8分）校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．
（1）求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率．
（2）请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率为．
（2）将篮球、排球、拔河分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果有3种，
∴小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（8分）如图在8×8的方格中有一个格点△ABC（顶点都在格点上）．
（1）在图1中画出格点△ABC外接圆的圆心O，并保留作图痕迹．
（2）在图2中找到一个格点P，使得∠APC＝∠ABC．
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为△ABC外接圆的圆心O．
（2）由图可得∠ABC＝45°，取格点P，使AP＝AC，且AP⊥AC，则∠APC＝45°，即∠APC＝∠ABC．
【解答】解：（1）如图1，点O即为所求．
（2）如图2，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+3x+4与一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（m，0）（m＜0）和点B（3，4）．
（1）求a，m的值．
（2）利用函数图象，求当y1≥y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据点与图象的关系列方程求解；
（2）根据函数和不等式的关系求解．
【解答】解：（1）由题意得：32a+3×3+4＝4，
解得：a＝﹣1，
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴m＝﹣1，
所以：a＝﹣1，m＝﹣1；
（2）由图象得：﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，C为半圆O上一点，∠BAC＝30°，D为上任意一点，连结AD，CD，BC．
（1）求∠D的度数．
（2）若CD∥AB，求CD的长．
【分析】（1）连接BD，由AB是半圆O的直径可得∠ADB＝90°，再由同弧所对圆周角相等可得∠BDC＝30°，从而可得结论；
（2）根据CD∥AB可得∠DCA＝∠CAB＝30°，∠CDB＝∠ABD＝30°，由∠ADB＝90°，可得∠ABC＝60°，然后得出∠DBC＝30°，从而得出CD＝BC，然后求出BC的值即可．
【解答】解：（1）连接BD，如图所示：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC和∠BDC是同弧所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BDC＝30°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+30°＝120°；
（2）∵CD∥AB，
∴DCA＝∠BAC＝30°，∠CDB＝∠ABD＝30°，
由（1）知，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝DC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝5，
∴DC＝5．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等是解题关键．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），B（3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+3上．
（1）求该抛物线与y轴的交点坐标．
（2）若m＝n时，求t的值．
（3）若m＜n＜3时，求t的取值范围．
【分析】（1）将x＝0代入函数解析式即可．
（2）由m＝n可知A，B两点关于抛物线的对称轴对称，据此可解决问题．
（3）用含t的代数式表示m和n即可解决问题．
【解答】解：（1）将x＝0代入函数解析式得，
y＝3，
所以该抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
（2）因为m＝n，
所以A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
则，
解得t＝2，
故t的值为2．
（3）将A，B两点坐标代入二次函数解析式得，
m＝﹣2t+4，
n＝﹣6t+12，
因为m＜n＜3，
所以﹣2t+4＜﹣6t+12＜3，
解得．
故t的取值范围为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务：
【分析】（1）根据表格中的数据，描点、连线即可；
（2）根据总利润＝每只的利润×生产数量，可求w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可求解；
（3）三个生产周期生产23万只，3万只≤每个生产周期的产量≤10万只，且均为整万只，又因为生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大，所以三个周期分别生产7万只、8万只、8万只，时销售利润最大，求出最大利润即可．
【解答】解：（1）描点、连线：
由图象可知，一个生产周期里手提袋的生产数量x万只与每只手提袋的利润y元成一次函数关系，
设y＝kx+b，将（3，2）和（5，1.6）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣0.2x+2.6（3≤x≤10）；
（2）根据题意得，
w＝xy＝x（﹣0.2x+2.6）＝﹣0.2x2+2.6x（3≤x≤10），
∵此函数为二次函数，且a＝﹣0.2＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x＝﹣＝6.5时，
w最大＝﹣0.2×6.52+2.6×6.5＝8.45（万元），
∴生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是8.45万元；
（3）∵三个生产周期，每个生产周期的产量均为整万只，
又∵生产数量为6.5万只时，一个生产周期的总利润最大，
23÷3≈7.7（万只），
∴三个周期分别生产7万只、8万只、8万只，
此时销售利润最大，最大利润为﹣0.2×72+2.6×7﹣0.2×82+2.6×8﹣0.2×82+2.6×8＝24.4（万元）．
故答案为：7，8，8，24.4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，二次函数的应用，求出一个生产周期内总利润与生产数量之间的函数关系是解题的关键．
24．（12分）如图1，在⊙O中，P是直径AB上的动点，过点P作弦CD（点C在点D的左边），过点C作弦CE⊥AB，垂足为点F，连结BC，已知．
（1）求证：FP＝FB．
（2）当点P在半径OB上时，且OP＝FB，求的值．
（3）连结BD，若OA＝5OP＝5．
①求BD的长．
②如图2，延长PC至点G，使得CG＝CP，连结BG，求△BCG的面积．
【分析】（1）利用圆周角定理，垂直的定义和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，设⊙O的半径为3a，则OP＝PF＝FB＝a，利用勾股定理和垂径定理解答即可；
（3）①连接OE，利用垂径定理，圆的有关性质，等弧对等弦的性质和勾股定理解答即可；
②利用三角形的中位线的定义与性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠DCE＝∠BCE．
∵CE⊥AB，
∴∠CFP＝∠CFB＝90°．
在△CPF和△CBF中，
，
∴△CPF≌△CBF（ASA），
∴FP＝FB；
（2）解：连接OE，如图，
∵OP＝FB，FP＝FB，
∴OP＝PF＝FB，
设⊙O的半径为3a，则OP＝PF＝FB＝a，
∴OF＝2a，OE＝3a．
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，
∴CF＝EF，
∵EF＝＝＝a，
∴FC＝a，
∴＝；
（3）解：①连接OE，如图，
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝CE．
∵OA＝5OP＝5，
∴OE＝5，OP＝1．
∴PF＝FB＝PB＝（5﹣1）＝2，
∴OF＝OP+PF＝3，
∴EF＝＝＝4，
∴CE＝2EF＝8，
∴BD＝CE＝8；
②∵CG＝CP，FP＝FB，
∴CF为△PGB的中位线，
∴CF∥BG，CF＝BG，
∴BG＝2CF＝8．
∵CF⊥AB，
∴BG⊥AB，
∴△BCG中BG边上的高等于BF的长，
∴△BCG的面积＝BG•BF＝8×2＝8．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，连接圆的半径，利用勾股定理解答问题是解决此类问题常利用的方法．手提袋生产方案设计
素材1
如图是2023年第19届杭州亚运会的礼品手提袋，温州某包装厂承按了本次亚运会23万只礼品手提袋的生产任务．
素材2
该厂每个生产周期的最低产量为3万只，最大产量为10万只，生产成本、售价、利润与生产数量之间存在一定函数关系，部分生产信息如表所示：
生产数量（万只）
3
5
6
7
9
10
生产成本（元/只）
15
14.2
13.8
13.4
12.6
12.2
售价（元/只）
17
15.8
15.2
14.6
13.4
12.8
利润（元/只）
2
1.6
1.4
1.2
0.8
0.6
问题解决
任务1
建立函数模型
设该厂一个生产周期里手提袋的生产数量为x万只，每只手提袋的利润为y元，请在直角坐标系中，根据生产信息表中的数据进行描点并连线，选择合适的函数模型，并求出y关于x的函数表达式．
任务2
探究函数最值
设该厂一个生产周期里手提袋的销售总利润为w万元，请求出总利润w（万元）关于生产数量x（万只）的函数表达式，并求出生产数量为多少万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是多少万元？
任务3
设计最优方案
现计划分三个生产周期生产这23万只手提袋，且每个生产周期的产量均为整万只，请通过计算，帮助该厂设计一个生产方案，使得销售总利润最大．
生产数量
销售总利润
周期1
周期2
周期3
万只
万只
万只
万元
手提袋生产方案设计
素材1
如图是2023年第19届杭州亚运会的礼品手提袋，温州某包装厂承按了本次亚运会23万只礼品手提袋的生产任务．
素材2
该厂每个生产周期的最低产量为3万只，最大产量为10万只，生产成本、售价、利润与生产数量之间存在一定函数关系，部分生产信息如表所示：
生产数量（万只）
3
5
6
7
9
10
生产成本（元/只）
15
14.2
13.8
13.4
12.6
12.2
售价（元/只）
17
15.8
15.2
14.6
13.4
12.8
利润（元/只）
2
1.6
1.4
1.2
0.8
0.6
问题解决
任务1
建立函数模型
设该厂一个生产周期里手提袋的生产数量为x万只，每只手提袋的利润为y元，请在直角坐标系中，根据生产信息表中的数据进行描点并连线，选择合适的函数模型，并求出y关于x的函数表达式．
任务2
探究函数最值
设该厂一个生产周期里手提袋的销售总利润为w万元，请求出总利润w（万元）关于生产数量x（万只）的函数表达式，并求出生产数量为多少万只时，一个生产周期的总利润最大，最大是多少万元？
任务3
设计最优方案
现计划分三个生产周期生产这23万只手提袋，且每个生产周期的产量均为整万只，请通过计算，帮助该厂设计一个生产方案，使得销售总利润最大．
生产数量
销售总利润
周期1
周期2
周期3
7 万只
8 万只
8 万只
24.4 万元