2022-2023学年浙江省温州市某中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市某中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为其中数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，某游乐场一个跷跷板支撑柱垂直地面，，当的一端着地时，，若，则长可表示为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是(    )

A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的概率
B. 从一个装有个白球和个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率
D. 从十张纸牌中随机抽取一张，是的倍数的概率

9.  已知抛物线上的两点，满足，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10.  任意矩形经过恰当分割后就可以拼成正方形，如图，已知矩形，在延长线上取点，使，以为直径的半圆交延长线于点，在边上取点，使，过点作于，所得，，四边形就可以拼成正方形，若：：，则：的值为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  分式方程的解为______ ．

13.  随着“节能环保，绿色出行”意识增强，更多人选择低碳方式出行，某校调查了名学生平时外出方式，制成如图所示的扇形统计图，其中骑车出行的学生人数为______ 人

14.  如图，▱中，点，，点在反比例函数的图象上，则的值为______ ．

15.  如图，矩形中，，，点为边的中点，连接，，点，分别在和上，且，点关于的对称点为，分别交和于，，若，则四边形的面积为______ ．

16.  如图是一个天然湖泊，为估测岸边，两亭台间的距离，小明从亭台出发沿着的折线线路走了米到达亭台，除了与外的所有相邻线段均互相垂直，其中米，米当到达边上的点处时，点，，共线，米，当到达点处时，点，，共线，则亭台到的距离为______ 米，亭台，相距______ 米

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
 

18.  本小题分
如图，在中，，为中点，过作于点，交射线于点，于点．
求证：≌．
若，，求的长．

19.  本小题分
是人体维持生命所必需的营养素，国际上以血清水平值来衡量人体的营养状况见表为了解健康成年人营养状况，某医院随机抽取名健康成年人的血清水平值，并绘制出如图频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值．
人体营养标准表

这名健康成年人血清水平值的中位数所在组的组别为______ ______ ．
请你根据上述所给统计图表的信息，通过数据来分析健康成年人的营养状况．

20.  本小题分
如图，在的网格中，已知的顶点均在格点上请按要求在图和图的网格内画图图，图在答题纸上．
在图中画出格点，使得与面积相等．
在图中画出将平移后的格点，使得的对应点分别为，，．

21.  本小题分
已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
求该抛物线的解析式．
若该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后再次经过点，求的值．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，过点作的垂线交的延长线于点，，连结，分别交，于点，，且是的中点．
求证：四边形是菱形．
当，时，求的长．

23.  本小题分
根据如表所示素材，探索完成任务．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点在边上，点在边上，记，，已知，交边于点，为的外接圆．
求证：．
求的值．
连结，当与的一边垂直时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数的加法法则计算可得．
本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
不等式的两边都除以得：，
故选：．
不等式的两边都除以，即可得出答案．
本题考查的知识点有不等式的性质，解一元一次不等式，注意：不等式的两边都除以同一个负数，不等式的符号要改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此求解即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
方程有实数根，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
在中，，，
，
，
，
故选：．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据，可得，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，，
，
，
，
，
的长为．
故选：．
连接，，根据，，得，再根据圆周角定理得，即可求出答案．
本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练记住弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、从一个装有个白球和个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率为，故此选项符合题意；
C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、从十张纸牌中随机抽取一张，是的倍数的概率为，故此选项不符合题意．
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，，
，即点，关于对称轴对称，此时，
将代入得，
当时，当时，，
当时，，故选项A，不符合题意，
，
，
，
，，
当时，，，
，，
．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将代入解析式可得的值，通过抛物线的对称性及求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长，则的延长线经过点，如图，
，，四边形可以拼成正方形，
≌，≌，
，，
．
：：，
设，则，
．
，
．
四边形为矩形，
，，
，，
．
，
∽，
，
，
，

：：：．
故选：．
延长，利用已知条件则的延长线经过点，设，则，利用正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，，则结论可求．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，图形的拼接，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先确定公因式，直接提取公因式分解因式．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，骑车出行的学生人数为：
 人．
故答案为：．
根据骑车出行的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．
此题主要考查了扇形统计图，正确利用扇形统计图分析是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：▱中，点，，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质求得点的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，通过平移的性质求得的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
点关于的对称点为，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，，
点为边的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
故答案为：．
连接，则垂直平分，可证明四边形是菱形，则，，再证明≌，得，由，，，得，则，，所以，由，根据平行线分线段成比例定理得，而∽，则，而，则，所以，，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明四边形是菱形是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】
解：过点作于点，过点作于点，连接、，
米，
米，
除了与外的所有相邻线段均互相垂直，
米，，，
沿着走了米，米，米，
米，
米，
米，
设米，则米，
、、共线，
，
，
∽，
，
，
，
米，米，
，，
，
∽，
，
由勾股定理可知：，
米，
米，米．
故答案为：；．
作出辅助线，求出相应的长度，根据相似三角形及勾股定理求解即可．
本题考查了相似三角形及勾股定理的应用，解题的关键是作出相应的辅助线．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值和零指数幂，最后算加减即可得到结果；
先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可．
此题考查了负整数指数幂，算术平方根，绝对值，零指数幂以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则及运算律是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
为中点，
，
在与中，
，
≌；
解：，
，，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据证明≌即可；
根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明三角形全等解答．
 

19.【答案】   

【解析】解：中位数是第个数据和第个数据的平均数，
这名健康成年人血清水平值的中位数所在组的组别为．
故答案为：，；
根据上述所给统计图表的信息，可知的健康成年人的营养状况是缺乏的，只有接近一半的人是正常的．
由中位数的定义即可求解；
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：如图，过点作的平行线，
则平行线所经过的格点均可以是点的位置．
即为所求答案不唯一．
由平移可知，，或直线与直线重合，
，
，
过点作的平行线，则平行线所经过的格点均可以是点的位置．
如图，即为所求答案不唯一． 

【解析】过点作的平行线，则平行线所经过的格点均为满足题意的点的位置，即可得出答案．
若，则，过点作的平行线，则平行线所经过的格点均可以是点的位置，进而可得出答案．
本题考查作图平移变换、三角形的面积、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线过点，
，
该抛物线的解析式为；

，
抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后得抛物线，
经过点，
，
解得或，
，
的值为． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
根据二次函数图象几何变换规律得到新抛物线，代入的坐标即可求解．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
，
，
是的中点，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
即，
设，，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得：，或舍去，
． 

【解析】连接，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；
根据菱形的性质和勾股定理以及解直角三角形的性质解答即可．
此题是四边形综合题．关键是根据平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形的性质解答．
 

23.【答案】解：由图象可知，与为一次函数，设经过点，，代入得：．
．
与为二次函数，且顶点为，设，将代入，，
．
任务限速时，，即需要．
加速段此时，剩下．
剩下的路程行驶，则需．
共需．
要最快通过，则直接加速到限速再以行驶剩下路即可．
任务：
路口恰好变为红灯，即红绿灯：绿灯，红灯，红灯，红灯
                                 红绿灯：红灯红灯  绿灯
即红灯持续了：．
而之后，路口是红灯、红灯、绿灯，
则绿灯时，需要再过．
而甲在绿灯亮起之前通过，则甲最起码要在时到达．
、即速度至少是．
任务：
由可知，甲从到用了．
则此时还是绿灯，还是红灯，红灯，绿灯，
甲经过的车流长度为．
总时间为．
，
即平均每秒增加． 

【解析】任务：根据图中即可得出段的总路程和甲车经过速度；
任务：根据图中红绿灯的变化规律，再用路程问题来解决问题；
任务：结合上述的结果求出速度．
本题考查了一次函数和二次函数的应用，关键用路程的问题来求解．
 

24.【答案】证明：，，，
，
，，
，，
，
∽，，
，
即，
解得，
，
，
即，
，
解得，
，
；
解：过作，如图．

，，
∽，
，
即，
解得，，
，
；
如图，

当时，
，
，
，
作于，作于，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，舍去，
如图，
当时，作于，作于，交于，作于，
，
，，
，于，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，舍去，
综上所述：或． 

【解析】根据题意用含的式子分别表示出，即可求解．
过作，证明∽，得到对应边成比例，从而分别表示出和的长即可．
当时，可推出，作于，作于，可求得，，，从而，从而表示出，从而得出方程，从而求得的值；当时，作于，作于，交于，作于，可表示出，，，，，，从而，在中，由勾股定理得，，解方程求得结果．
本题考查了解直角三角形，圆中的垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．