专题2.14线段的有关综合计算大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

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1．（2022·江苏扬州·七年级期中）如图，线段AB，请先画图再完成作答．
(1)按要求作图：反向延长线段AB到点C，使AC=2AB，分别取AB、AC的中点D、E；
(2)若AB=2cm，求DE的长，
【答案】(1)画图见解析
(2)3cm
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先求出BC的长，再根据线段的中点的定义解答即可．
（1）解：如图所示：
（2）∵AB=2cm，
∴AC=2AB=4cm，
∴BC=AC+AB=4+2=6(cm)；
∵E是AC的中点，
∴CE=AE＝2cm；
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=12AB＝1cm，
∴DE=AD+AE=3cm．
【点睛】本题考查的的是作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的中点的含义与线段的和差关系”是解本题的关键．
2．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点，AD＝20cm，AC＝12cm．
(1)图中共有 条线段；
(2)求BD的长；
(3)若点E在线段BD上，且BE＝3cm，求AE的长．
【答案】(1)6
(2)BD的长是4cm
(3)AE的长是19cm．
【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；
（2）先根据点B为CD的中点，求出线段CD的长，再根据AC＝AD﹣CD即可得出结论；
（3）根据AB＝AD﹣BD求出线段AB的长，再根据BE＝AB+AE即可得出结论．
(1)解：图中共有1+2+3＝6条线段．
故答案为：6；
(2)∵AD＝20cm，AC＝12cm．
∴CD＝AD﹣AC＝8cm．
∵B为CD的中点．
∵BD＝12CD＝4cm，
(3)AB＝AD﹣BD＝20﹣4＝16（cm），
AE＝AB+BE＝16+3＝19（cm）．
故AE的长是19cm．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是详解此题的关键．
3．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，B、C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=2:5:3，M为AD的中点．
(1)判断线段AB与CM的大小关系，说明理由．
(2)若CM=10，求AD的长．
【答案】(1)AB=CM，见解析
(2)50
【分析】（1）设AB=2x，BC=5x，CD=3x，则AD=10x，根据M为AD的中点，可得AM=DM=12AD=5x，表示出CM，即可求解；
（2）由CM=10cm，CM=2x，得到关于x的方程，解方程即可求解．
（1）AB=CM.理由如下：
设AB=2 x，BC=5 x，CD=3 x，则AD=10 x，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM=12AD=5x，
∴CM=DM-CD=5x-3x=2x，
∴AB=CM；
（2）
∵CM=10cm，CM=2x，
∴2 x=10，
解得x=5，
∴AD=10x=50cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，利用线段的和差，线段中点的性质是解题关键．
4．（2021·江苏·无锡市东湖塘中学七年级阶段练习）如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（1）AB= ；
（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．
②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
【答案】（1）16；（2）经过8秒，点P与点Q相遇；（3）①当t=2912秒，点B恰好在线段AC的中点M处；②当t=134或t=3112时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位
【分析】（1）根据距离公式直接求解即可；
（2）设时间为t秒，分别求得P、Q两点代表的数，即可求解；
（3）①根据题意求得t秒后，A、C、B代表的数，再求得M代表的数，即可求解；②根据题意求得t秒后，A、C、B、D代表的数，再求得M、N代表的数，根据题意，即可求解．
【详解】解：（1）数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7
所以，AB=−9−7=16
故答案为：16
（2）设时间为t秒，则点P表示的数为4t−9，点Q表示的数为2t+7
由题意可得：4t−9=2t+7
解得t=8
即经过8秒，点P与点Q相遇；
（3）①运动时间为t秒时，点A表示的数为4t−9，点C表示的数为4t−9+3=4t−6，
点B表示的数为−2t+7，点D表示的数为−2t+7+6=−2t+13
点M为线段AC的中点，
∴点M表示的数为4t−9+4t−62=4t−152
由题意可得：4t−152=−2t+7，解得t=2912
即当t=2912秒，点B恰好在线段AC的中点M处；
②点N为线段BD的中点，
点N表示的数为−2t+7+(−2t+13)2=−2t+10
由题意可得：−2t+10−(4t−152)=2，即6t−352=2
即6t−352=−2或6t−352=2
解得t=134或t=3112，
即当t=134或t=3112时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
5．（2021·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）如图，B,C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点．
（1）若MN=6,CM=4,BN=5，求AD的长；
（2）若MN=a,BC=b，你能用含a和b的式子表示线段AD的长度吗？若能，请直接写出答案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）9；（2）能，2a−b
【分析】（1）由题意易得BC=3，然后可得BM+CN=3，则有AB+CD=6，进而问题可求解；
（2）由题意易得MB+CN=a-b，然后可得AB+CD=2a-2b，进而问题可求解．
【详解】解：（1）∵MN=6,CM=4,BN=5，
∴BC=CM+BN−MN=3，
∴BM+CN=MN−BC=3，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BM=12AB,CN=12CD，
∴AB+CD=2BM+CN=6，
∴AD=AB+BC+CD=9；
（2）能用含a和b的式子表示线段AD的长度，理由如下：
∵MN=a,BC=b，
∴MB+CN=a-b，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BM=12AB,CN=12CD，
∴AB+CD=2BM+CN=2a−2b，
∴AD=AB+BC+CD=2a−2b+b=2a−b．
【点睛】本题主要考查线段的中点及和差关系，熟练掌握线段的中点及和差关系是解题的关键．
6．（2021·江苏·无锡市东湖塘中学七年级阶段练习）如图线段AB=6cm，在线段AB上有一点C，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
（1）当AC=4cm时，求线段MN的长．
（2）当C在AB延长线上时，其他条件不变，是否能求出线段MN的长，若能，求线段MN的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）3cm；（2）能，3cm
【分析】（1）求得线段CM、CN的长度，即可求解；
（2）设BC为xcm，求得线段CM、CN的长度，即可求解．
【详解】解：（1）当AC=4cm时，BC=2cm
因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点
∴CM=12AC=2cm，CN=12BC=1cm
MN=CM+CN=3cm；
（2）能，理由如下：
如下图，当C在AB延长线上时，
设BC为xcm，则AC=(6+x)cm
因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点
∴CM=12AC=12(x+6)cm，CN=12BC=x2cm
∴MN=CM−CN=3cm
【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的含义，利用数形结合的思想求解问题．
7．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．
【答案】（1）6；（2）7cm；（3）6cm或14cm
【分析】（1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可；
（2）根据点B为CD的中点，BC＝3cm，AC＝AD－CD即可求得AC的长；
（3）分两种情况讨论：当点E在AC上时，当点E在CA延长线上时，根据线段的和差关系求解即可
【详解】解：（1）图中的线段有AC,AB,AD,CB,CD,BD共6条，
故答案为：6；
（2）∵点B为CD的中点，BC＝3cm，
∴CD＝2BC＝6cm．
∵AD＝13cm，
∴AC＝AD－CD＝13－6＝7（cm）；
（3）分两种情况讨论：
①如图（1），当点E在AC上时，
∵AB＝AC＋BC＝10 cm，EA＝4cm，
∴BE＝AB－AE＝10－4＝6（cm）；
②如图（2），当点E在CA延长线上时，
∵AB＝10cm，AE＝4cm，
∴BE＝AE＋AB＝14（cm）；
综上，BE的长为6cm或14cm．
【点睛】本题考查了数线段的数量，线段的中点的意义，线段的和差关系，第三问分类讨论是解题的关键．
8．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9cm，BC=2cm．
（1）图中共有______条线段？
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长．
【答案】（1）6；（2）5cm；（3）4cm或10cm．
【分析】（1）固定A为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；
（2）根据AC=AD-CD=AC-2BC，计算即可；
（3）分点E在点A左边和右边两种情形求解．
【详解】（1）以A为端点的线段为：AC，AB，AD；以C为端点的线段为：CB，CD；
以B为端点的线段为：BD；
共有3+2+1=6（条）；
故答案为：6．
（2）解：∵B为CD中点，BC=2cm
∴CD=2BC=4cm
∵AD=9cm
∴AC=AD−CD=9−4=5cm
（3）AB=AC+BC=7cm，AE=3cm
第一种情况：点E在线段AD上（点E在点A右侧）．
BE=AB−AE=7−3=4cm
第二种情况：点E在线段DA延长线上（点E在点A左侧）．
BE=AB+AE=7+3=10cm．
【点睛】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，差是解题的关键．
9．（2021·江苏·南闸实验学校七年级阶段练习）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)若线段AC＝6，BC＝4，求线段MN的长度；
(2)若AB＝a，求线段MN的长度；
(3)若将(1)小题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，(1)小题的结果会有变化吗?求出MN的长度．
【答案】（1）5cm；（2）12a；（3）1或5．
【分析】（1）由点M、N分别是AC、BC的中点．可知MC=3，CN=2，从而可求得MN的长度．
（2）由点M、N分别是AC、BC的中点，MN=MC+CN=12（AC+BC）=12AB．
（3）由于点C在直线AB上，所以要分两种情况进行讨论计算MN的长度．
【详解】解：（1）∵ AC＝6，BC＝4，
∴ AB＝6+4＝10，
又∵ 点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴ MC＝AM＝12AC，CN＝BN＝12BC，
∴ MN＝MC+CN＝12AC+12BC＝12（AC+BC）＝12AB＝5（cm）．
（2）由（1）中已知AB＝10cm求出MN＝5cm，分析（1）的推算过程可知MN＝12AB，
故当AB＝a时，MN＝12a，
从而得到规律：线段上任一点把线段分成的两部分的中点间的距离等于原线段长度的一半．
（3）分类讨论：
当点C在点B的右侧时，如图可得：
MN=MC−NC=12AC−12BC=12AC−BC=12×6−4=1；
当点C在线段AB上时，如（1）；
当点C在点A的左侧时，不满足题意．
综上可得：点C在直线AB上时，MN的长为1或5．
【点睛】本题考查线段计算问题，涉及线段中点的性质，分类讨论的思想，属于基础题型．
10．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，已知线段AB＝12 cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝ cm；
（2）若AC＝4 cm，求DE的长；
（3）试说明无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．
【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见解析．
【分析】（1）由AB＝12 cm，点D，E分别是AC和BC的中点，得出DE＝DC+CE＝12（AC+CB），即可求解；
（2）由AC＝4 cm，推出CD＝2cm，根据AB＝12cm，AC＝4 cm，得出BC＝8cm，由DE＝DC+CE即可求DE的长；
（3）根据点D，E分别是AC和BC的中点，得出DC＝12AC，CE＝12CB，由DC+CE＝12（AC+CB），即可得证．
【详解】解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝12AC，CE＝12CB，
∴DE＝DC+CE＝12（AC+CB）＝6 cm；
故答案为：6．
（2）∵AC＝4 cm，
∴CD＝2cm，
∵AB＝12cm，AC＝4 cm，
∴BC＝8cm，
∴CE＝4cm，DE＝DC+CE＝6cm；
（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝12AC，CE＝12CB，
∴DC+CE＝12（AC+CB），
即DE＝12AB＝6cm，
故无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．
【点睛】本题考查了线段的和差倍分，解题的关键是正确的识别图形．
11．（2021·江苏·七年级专题练习）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝163或83，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，
∴CD＝163或CD＝83，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵AD+ECBE=32，
∴0.5x+y+yx−y=32，
∴y＝27x，
∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x，
∴CDAB=1714x3x=1742；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝x+y，
∴y−0.5x+yx+y=32，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴CDAB=5.5x3x=116，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述CDAB的值为1742或116．
故答案为：1742或116．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
12．（2021·江苏·七年级专题练习）在平面内有三点A，B，C，
（1）A，B，C三点不共线
①如图，画直线AC，线段BC，射线AB，在线段AB上任取一点D（不同于点A，B），连接CD，
②数一数，此时图中共有 条线段．
（2）当A，B，C三点共线时，若AB=15cm，BC=8cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．（画出图形并写出计算过程）
【答案】（1）①见解析；②6；（2）线段EF的长度为11.5cm或3.5cm．
【分析】（1）①根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；
②根据线段的定义即可得到结论；
（2）根据线段的定义分类讨论即可求解．
【详解】解：（1）作图如下：

此时图中线段有AB、AC、AD、DC、DB、BC，共6条线段；
故答案为：6；
（2）有两种情况：
①当点C在线段AB的延长线上时，如图1：
因为E，F分别是AB，BC的中点，AB=15cm，BC=8cm，
所以BE=12AB=7.5cm，BF=12BC=4cm，
所以EF=EB+BF=7.5+4=11.5（cm）；
②当点C在线段AB上时，如图2：
根据题意，如图2，BE=12AB=7.5cm，BF=12BC=4cm，
所以EF=BE-BF=7.5-4=3.5（cm），
综上可知，线段EF的长度为11.5cm或3.5cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．
13．（2021·江苏·七年级专题练习）（1）如图，已知点C在线段AB上，且AB=10 cm，BC=4 cm，点M、N分别是AB、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AB=a，BC=b，点M，N分别是AB，BC的中点，则MN=________；
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，直接写出MN的长度的表达式．
【答案】（1）3cm；（2）a−b2；（3）不成立，MN的长度为a−b2或a+b2或b−a2
【分析】（1）根据点M、N分别是AB、BC的中点分别求出BM和BN的长度，最后用BM减去BN即可求出MN的长度；
（2）根据点M，N分别是AB，BC的中点，分别表示出BM和BN的长度，最后BM-BN即可表示出MN的长度；
（3）根据题意分3种情况讨论，即当点C在线段AB上时，当点C在AB的延长线上时和当点C在BA的延长线上时，分别求出BM和BN的长度，然后根据BM，BN和MN之间的关系即可表示出MN的长度．
【详解】解：（1）因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，
所以BM=12AB=12×10=5（cm），BN=12BC=12×4=2（cm），MN=BM−BN=5−2=3（cm），
∴线段MN的长度为3cm；
（2）a−b2
解析：因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，
所以BM=12AB=2a，BN=12BC=12b，
MN=BM−BN=a−b2；
（3）不成立，MN的长度为a−b2或a+b2或b−a2．
理由：当点C在线段AB上时，同（2）可得MN=a−b2；
当点C在AB的延长线上时，如图1所示，
因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，所以BM=12AB=12a，BN=12BC=12b，MN=BM+BN =a+b2，
即线段MN的长度为a+b2；
当点C在BA的延长线上时，如图2所示，因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，所以BM=12AB=12a，BN=12BC=12b，MN=BN−BM=b−a2，即线段MN的长度为b−a2．
综上所述，MN的长度为a−b2或a+b2或b−a2．
【点睛】此题考查了线段的中点和线段长度的表示方法，解题的关键是熟练掌握线段的中点的概念和线段长度的表示方法．
14．（2021·江苏·七年级专题练习）已知AB＝5cm，延长AB至C，使AC＝2AB，反向延长AB至E，使AE＝13CE，
计算：（1）线段CE的长；
（2）线段AC是线段CE的几分之几？
（3）线段CE是线段BC的几倍？
【答案】（1）15cm；（2）23；（3）3倍
【分析】（1）先根据AE＝13CE得出AC=2AE，再根据AC＝2AB，AB=5，即可得出CE的长
（2）分别用AB表示AC和CD，即可得出结论
（3）先根据AC＝2AB和AC＝AB+BC得出AB=BC，从而得出线段CE是线段BC的关系
【详解】解：（1）∵AE＝13CE，
∴CE=3AE，
∴AC=2AE，
∵AB=5，AC=2AB
∴AC=10（厘米），
∴AE=5（厘米），
∴CE=15（厘米）；
（2）∵ AC=2AB， CE=3AE=3AB
∴ACCE=2AB3AB=23 ,
∴AC是AE的23；
（3）∵AC＝2AB，
∴AB=BC，
∵CE=3AB，
∴CE=3BC
∴CE是BC的3倍
答：线段CE的长15厘米；线段AC是线段CE的23；线段CE是线段BC的3倍．
【点睛】本题考查了线段的倍分关系，借助图形来计算是解题的关键．
15．（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级阶段练习）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的12，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝12BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）212或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，
∴BM=12BN，
∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=12AM时，DM=1，
∴|x-（-3）|=1，
解得：x=-2或-4，
②当AM=12DM时，DM=2AM=4，
∴|x-（-3）|=4，
解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，
故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，
当PN=12MN时，PN=12×9=92，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为212，
当MN=12PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为212或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
16．（2020·江苏南京·七年级期末）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点.
（1）若线段AC=4，BC=6则线段MN= ；
（2）若AB=m，求线段MN的长度；
【答案】（1）5；（2）12m
【分析】（1）由点M、N分别是AC、BC的中点，可知MC=2，CN=3，从而可求出MN的长度；
（2）由点M、N分别是AC、BC的中点，MN=MC+CN=12AC+BC=12AB．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=12AC=2，CN=12BC=3，
∴MN=CN+CM=5．
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN=MC+CN=12AC+BC=12AB，
∵AB=m，
∴MN=12m．
【点睛】本题考查的知识点是两点间的距离，属于基础题目，便于掌握．
17．（2020·江苏南京·七年级期末）已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，求线段AB、CE的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝20，AD＝2BE，求线段CE的长．
【答案】（1）AB＝17，CE＝5.5；（2）7；（3）6.
【分析】（1）由绝对值的非负性，平方的非负性，互为相反数的两个数和为0求出AB的长为17，CE的长为5.5；（2）线段的中点，线段的和差求出DE的长为7；（3）线段的中点，线段的和差求出CE的长为6．
【详解】解：（1）∵|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，
∴|a﹣17|＝0，（b﹣5.5）2＝0，
解得：a＝17，b＝5.5，
∵AB＝a，CE＝b，
∴AB＝17，CE＝5.5
（2）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝12AB＝12×17＝172，
又∵AE＝AC+CE，
∴AE＝172+112＝14，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝12AE＝12×14＝7；
（3）如图2所示：
∵C为线段AB上的点，AB＝20，
∴AC＝BC＝12AB＝12×20＝10，
又∵点D为线段AE的中点，AD＝2BE，
∴AE＝4BE，DE＝12AE，
又∵AB＝AE+BE，
∴4BE+BE＝20，
∴BE＝4，AE＝16，
又∵CE＝BC﹣BE，
∴CE＝10﹣4＝6．
【点睛】本题综合考查了绝对值的非负性，平方的非负性，线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握线段的计算．
18．（2018·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期末）若关于x，y的多项式（8-2m）x2+（-n+3）x-5y+1的值与字母x取值无关．
（1）求m、n的值；
（2）已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使APPB=n，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
【答案】（1）m=4，n=3；（2）AQ=72或5．
【分析】（1）由关于x，y的多项式（8-2m）x2+（-n+3）x-5y+1的值与字母x取值无关，即不含x的项，所以8-2m=0，-n+3=0，然后解出m、n即可；
（2）分两种情况：①点P在线段AB上，先由AB=4，APPB=3，求出BP=14AB=1，然后由点Q为PB的中点，可求PQ=BQ=12BP=12，最后由AQ=AB-BQ即可求出答案；②点P在线段AB的延长线上，先由AB=4，APPB=3求出PB=2，然后点Q为PB的中点，可求PQ=BQ=1，最后由AQ=AB+BQ即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：
8-2m=0，-n+3=0，
解得m=4，n=3；
（2）由（1）知：AB=4，APPB=3．
①当点P在线段AB上时，如图所示：
∵AB=4，APPB=3，
∴BP=14AB=1，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=BQ=12BP=12，
∴AQ=AB-BQ=4-12=72；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AB=4，APPB=3，
∴AB=2PB，PB=12AB=2，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=BQ=12PB=1，
∴AQ=AB+BQ=4+1=5．
故AQ=72或5．
故答案为（1）m=4，n=3；（2）AQ=72或5．
【点睛】本题考查两点间的距离，多项式以及线段中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
19．（2018·江苏泰州·七年级期末）已知：点C，D是直线AB上的两动点，且点C在点D左侧，点M，N分别是线段AC、BD的中点．
（1）如图，点C、D在线段AB上．
①若AC=10，CD=4，DB=6，求线段MN的长；
②若AB=20，CD=4，求线段MN的长；
（2）点C、D在直线AB上，AB=m，CD=n，且m＞n，请直接写出线段MN的长（用含有m，n的代数式表示）．
【答案】(1)①12；②12；（2）m+n2．
【分析】（1）①根据线段中点的定义可得CM和DN的长，利用线段的和可得＞n结论；
②根据线段中点的定义可得CM+DN的长，利用线段的和可得结论；
（2）由（1）②得出结果．
【详解】解：（1）①∵点M，N分别是线段AC、BD的中点，
∴CM=12AC，DN=12BD，
∵AC=10，BD=6，
∴CM=5，DN=3，
∴MN=CM+CD+DN=5+4+3=12；
②∵AB=20，CD=4，
∴AC+BD=20-4=16
∵点M，N分别是线段AC、BD的中点，
∴CM=12AC，DN=12BD，
∴CM+DN=12AC+BD=8，
∴MN=CM+DN+CD=8+4=12；
（2）由（1）②得，
MN=12m-n+n=m+n2．
【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
20．（2020·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=20，C是线段AB的“二倍点”，则BC= （写出所有结果）
【深入研究】
如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒.
（2）问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【答案】（1）①是；②10或203或403；（2）5或103或203；（3）8或607或152
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．
∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为：是.
②∵AB=20，C是线段AB的“二倍点”，
当AB=2BC时，BC=12×20=10；
当AC=2BC时，BC=13×20=203；
当BC=2AC时，BC=23×20=403；
故答案为：10或203或403；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=103；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=203；
答：t为103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=152；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=607；
答：t为152或8或607时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．
21．（2020·江苏扬州·七年级期末）已知A、B在直线l上，AB=28,点C线段AB的中点，点P是直线l上的一个动点.
（1）若BP=5，求CP的长；
（2）若M是线段AP的中点，N是BP的中点，求MN的长.
【答案】（1）CP的长为:9或19；（2）MN=14
【分析】(1) 分当P在CB上时、当P在CB的延长线上时两种情况进行分类讨论即可；
（2）分当P在AB线上时、当P在AB的延长线上时、当P在BA的延长线上时三种情况进行讨论，利用中点的性质将MM的和差分别表示出来即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点C线段AB的中点，AB=28,
∴AC=CB=12AB=14
当P在CB上时，如图：
∵BP=5
∴CP=BC-CP=14-5=9
当P在CB的延长线上时，如图：
∵BP=5
∴CP=BC+BP=14+5=19
∴CP的长为:9或19
（2）∵M为AP的中点
∴AM=MP=12AP
∵N为BP的中点
∴PN=NB=12PB
当P在AB线上时，如图
MN=MP+PN=12AP+12PB=12AP+PB=12AB=14
当P在AB的延长线上时，如图
MN=MP-PN=12AP-12PB=12AP-PB=12AB=14
当P在BA的延长线上时，如图
MN=PN−MP=12PB-12AP=12PB-AP=12AB=14
综上所述：MM=14
【点睛】本题考查了线段的中点，灵活掌握图形不定，需要分类讨论是解题的关键．
22．（2020·江苏淮安·七年级期末）已知数轴上有A、B两点，分别代表-12、4.
(1) A、B两点间的距离为 个单位长度;
(2)点M从点A出发，以1个单位长度秒的速度沿数轴向点B做匀速运动，同时点N从点B出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴由B→A→B的路径做匀速运动，当点N最后到达B点时，都停止运动.设运动时间为t秒
①请写出t= 时，M、N两点相遇.
②当t= 时，两点停止运动.
③当MN=4时，求t的值.
【答案】（1）16；（2）①当t=4或t=8时，它们相遇；②当t=323时，两点停止运动；③当MN=4时，求t的值为4或5或6或10.
【分析】（1）根据A、B两点间的距离等于它们表示的数的差的绝对值计算即可；
（2）①分N未到A点时相遇和N到达A点返回时相遇两种情况，列出方程求解即可；
②停止时N所走的路程为2×AB，用路程除以速度即可求得时间；
（3）分M、N相遇前，M、N第一次相遇后N未到达A点和当N已经从A点返回M、N第二次相遇前，M、N第二次相遇后四种情况讨论，列出方程求解即可；
【详解】解：（1）A、B两点间的距离为AB=|4-(-12)|=16．
故答案为16；
（2）①当N未走到A点时它们相遇，此时根据题意
3t+t=16 ，解得t=4，
当N到达A点返回时它们相遇，此时根据题意
3t−t=16，解得t=8，
故当t=4或t=8时，它们相遇；
②根据当点N最后到达B点时，都停止运动，
t=16×23=323，
故当t=323时，两点停止运动；
③当M、N相遇前，MN=4时，根据题意
3t+t+4=16，解得t=4，
当M、N第一次相遇后，但N还未到达A点，MN=4时，根据题意
3t+t−4=16，解得t=5，
当N已经从A点返回，M、N第二次相遇前，MN=4时，根据题意
3t−16=t−4，解得t=6，
当N已经从A点返回，M、N第二次相遇后，MN=4时，根据题意
3t−16=t+4，解得t=10，
综上所述，当MN=4时，求t的值为4或5或6或10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握点的移动与线段长度之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．在本题中需注意分类讨论思想的运用．
23．（2020·江苏南京·七年级期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”.
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，点A表示数-10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒.
（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【答案】（1）是 ；（2）20−3t；（3）103或5或203；（4）152或9011或9013
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）由题意可直接得出；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果；
【详解】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
故答案为：是．
（2）由题意得出：
点M在运动过程中表示的数为：20-3t(0≤t≤10)；
（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，
当AM=2BM时，30-3t=6t，解得，t=103；
当2AM=BM时，60-6t=3t，解得，t=203；
当AM=BM时，30-3t=3t，解得，t=5；
答：当103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”．
（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，
当AN=2NM时2t=10t-60，解得，t=152；
当2AM=NM时，60-6t=5t-30，解得，t=9011；
当AM=2NM时，30-3t=10t-60，解得，t=9013．
答：当152或9011或9013时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离，读懂题意，领会“二倍点”的定义是解此题的关键，此题需要分情况讨论，注意不要漏解
24．（2019·江苏·镇江市索普初级中学七年级期末）如图1，点C为线段AB延长线上的一点，点D是AC的中点，且点D不与点B重合，AB=8，设BC=x．
1①若x=6，如图2，则BD= ；
②用含x的代数式表示CD,BD的长，直接写出答案； CD= ，BD= ；
2若点E为线段CD上一点，且DE=4，你能说明点E是线段BC的中点吗？
【答案】（1）①1；②CD=4+12x，BD=4−12x；（2）E为BC的中点，详情见解析；
【分析】（1）①先求出AC=AB+BC，因为D是AC中点，可求AD，最后由BD=AB-AD进行计算即可；②分类讨论，当点D在AB之间，因为AC=AB+BC=8+x，D是AC中点，所以CD=AD=12AC=4+12x，所以BD=AB−AD=8−4+12x=4−12x；当D和B点重合，所以B是AC中点，可得BD=0=4−12x ，CD=8=4+12x；当D在AB之外，因为AC=AB+BC=8+x，D是AC中点，所以CD=AD=12AC=4+12x，所以BD=AD−AB=4+12x−8=12x−4；结合三种情况可得CD=4+12x，BD=4−12x ；
（2）分类讨论①当x＜8，D在AB上，②当x=8时，AB=BC=8，③当x>8时，D在BC上，由（1）可知，CD＝4+12x，所以CE＝CD-DE＝(4+12x)-4＝12x，所以CE＝12BC，所以E为BC的中点；
【详解】解：
（1）①若x=6，则AC=AB+BC=14，
∴D是AC中点，
∴AD=12AC=7，
∴BD=AB−AD=8−7=1，
故答案为：1；
②当x<8时，D在AB上，如图，
∵AC=AB+BC=8+x，
又∵D是AC中点，
∴CD=AD=12AC=4+12x，
∴BD=AB−AD=8−4+12x=4−12x，
当x=8时，AB=BC=8，如图，
∴B是AC中点，
∴此时B、D重合，
∴BD=0=4−12x ，CD=8=4+12x，
当x>8时，D在BC上，如图，
∵AC=AB+BC=8+x，
又因为D是AC中点，
∴CD=AD=12AC=4+12x，
∴BD=AD−AB=4+12x−8=12x−4，
故CD=4+12x，BD=4−12x ；
（2）①当x＜8，D在AB上，如图，
由（1）可知，CD＝4+12x，
∴CE＝CD-DE＝(4+12x)-4＝12x，
∴CE＝12BC，
∴E为BC的中点；
②当x=8时，AB=BC=8，如图，
由（1）可知，CD＝4+12x，
∴CE＝CD-DE＝(4+12x)-4＝12x，
∴CE＝12BC，
∴E为BC的中点；
③当x>8时，D在BC上，如图，
由（1）可知，CD＝4+12x，
∴CE＝CD-DE＝(4+12x)-4＝12x，
∴CE＝12BC，
∴E为BC的中点；
综上所述，E为BC的中点；
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握两点间的距离是解题的关键.
25．（2020·江苏徐州·七年级期末）如图，点A、点B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在原点O的左侧，且满足AB=6，OB=2OA.
（1）点A、B在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点A、B同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后，OA=3OB；
②点A、B在运动的同时，点P以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
【答案】（1）-2和4；（2）①经过107秒或145秒，OA=3OB；②经过25秒或52秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可;
(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;
②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点.
【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b
∵AB=6，
∴OA+OB=6
∴-a+b=6
∵OB=2OA.
∴b=-2a
∴-a+b=6b=-2a
∴a=-2b=4
∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4
故答案为：-2和4；
（2）①设t秒后，OA=3OB，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t
情况一：当点B在点O右侧时，故OB=4-2t
∵OA=3OB
则2+t=34−2t，
解得：t=107.
情况二：当点B在点O左侧时，，故OB=2t-4
∵OA=3OB
则2+t=32t−4，
解得：t=145.
答：经过107秒或145秒，OA=3OB.
②设经过t秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t
当点P是AB的中点时，则−2−t+4−2t2=t，
解得：t=25.
当点B是AP的中点时，则−2−t+t2=4−2t.
解得：t=52.
当A点是BP的中点时，则4−2t+t2=−2−t
解得：t=−8（不合题意，舍去）
答：经过25秒或52秒后，点A、B、P中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.
26．（2019·江苏苏州·七年级期末）如图，已知点A,B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在负半轴上，点B在正半轴上，AO=2, OB=10.动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达点B后立即返回，速度不变;动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点Q到达点B时，动点P,Q停止运动.设P,Q两点同时出发，运动时间为t秒.
(1)当点P从点A向点B运动时，点P在数轴上对应的数为 当点P从点B返回向点O运动时，点P在数轴上对应的数为 (用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，点P,Q第一次重合?
(3)当t为何值时，点P,Q之间的距离为3个单位?

【答案】（1）2t-2,22-2t;（2）t=2;（3）t=5或193或253.
【分析】（1）先确定点P和点Q的运动情况，根据题意，列出代数式即可；
（2）根据题意，点P与点Q第一次重合，则运动的距离相等，即可得到答案；
（3）根据题意，可分为三种情况进行分析，分别画出图形，求出三种情况的时间即可.
【详解】解：（1）AB=OA+OB=2+10=12，
∴点P从点A向点B运动时，有0≤t≤122，即0≤t≤6，
∴此时点P在数轴上对应的数为：2t−2（0≤t≤6）；
当点P从点B返回向点O运动时，总路程为：AB+OB=12+10=22，
∵点Q运动到点B所需要的时间为：101=10秒，
∴点P从点B返回向点O运动时，点P在数轴上对应的数为：22−2t（6故答案为：2t−2，22−2t.
（2）根据题意，第一次重合为点P追上点Q，则
2t−2=t，
解得：t=2；
（3）由点P，Q之间的距离为3个单位，可分为三种情况：
①点P追上点Q，且超过点Q的距离为3个单位，如图：
∴2t−2=t+3，
解得：t=5；
②点P从B点返回，与点Q第二次重合前，如图：
∴22−2t=t+3，
解得：t=193；
③点P与点Q第二次重合后，相距3个单位，如图：
∴22−2t=t−3,
解得：t=253.
∴当t=5或t=193或t=253时，点P，Q之间的距离为3个单位.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，注意利用数形结合和分类讨论的思想进行解题.
27．（2020·江苏盐城·七年级期末）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动.
（1）若点Q运动速度为2cm/s，经过多长时间P、Q两点相遇？
（2）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度;
（3）设运动时间为xs，当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，则OC−AP−2EF=____________cm.
【答案】（1）经过30s，P、Q两点相遇（2）答案不唯一，具体见解析（3）10
【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，根据OP+CQ=OA+AB+AC列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设运动时间为t，则t+2t=90，t=30；所以经过30s，P、Q两点相遇
（2）当点P在线段AB上时，如下图,
AP+PB=60,
∴AP=40,OP=50,
∴P用时50s,
∵Q是OB中点,
∴CQ=50,
点Q的运动速度为56 cm/s；
当点P在线段AB的延长线上时，如下图,
AP=2PB,
∴AP=120,OP=140,
∴P用时140s,
∵Q是OB中点,
∴CQ=50,
点Q的运动速度为514 cm/s；
（3）如下图,
由题可知,OC=90,
AP=x-20,
EF=OF-OE=OF-12OP=50-12x,
∴OC−AP−2EF=90-（x-20）-2(50-12x)=10
【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键．
28．（2019·江苏苏州·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示−10，点B表示11，点C表示18.动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动;同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时，P、Q两点相遇?相遇点M所对应的数是多少?
(2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等;
(3)在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN−PC的值.
【答案】（1）283；263；（2）3或173；（3）28.
【分析】（1）根据题意，由相遇时P、Q两点的路程和为28列出方程求解即可；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．分点P在点O的左边，点P在点O的右边两种情况讨论即可求解；
（3）根据中点的定义得到AN=PN=12AP=t，可得CN=AC-AN=28-t，PC=28-AP=28-2t，再代入计算即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得2t+t=28，
解得t=283，
∴AM=563＞10，
∴M在O的右侧，且OM=563-10=263，
∴当t=283时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是263；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10-2t=7-t，解得t=3．
若点P在点O的右边，则2t-10=7-t，解得t=173．
综上所述，t的值为3或173时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）∵N是AP的中点，
∴AN=PN=12AP=t，
∴CN=AC-AN=28-t，PC=28-AP=28-2t，
2CN-PC=2（28-t）-（28-2t）=28．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度．
29．（2019·江苏·南通市北城中学七年级期中）如图，数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，若a=3，线段OB=5OA.
（1）a=______，b=______；
（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍；
（3）数轴上还有一点C表示的数为32，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4.
【答案】（1）a=3，b=15；（2）9或92；（3）8或503
【分析】（1）先根据A点在原点的右边以及|a|=3求出a的值，再根据B点在原点的右边以及线段OB=5OA，求出b的值即可；
（2）设运动时间为t秒，根据PA=3PB构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形构建方程，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，|a|=3，线段OB=5OA，
∴a=3，b=15，
故答案为：3，15；
（2）设运动时间为t秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍．
由题意得：AB=15-3=12，
当点P在A、B之间时，有
2t=3（12-2t），解得：t=92；
当点P在B的右边时，有
2t=3（2t-12），解得t=9；
即运动时间为92或9秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍；
（3）根据题意，由点C为32，则
AC=32−3=29，BC=32−15=17，
∴点P运动到点C所需要的时间为：t=292=14.5秒，
点Q运动到点C所需要的时间为：t=171=17秒，
则可分为两种情况进行分析：
①当点P还没有追上点Q时，有：
t+12−2t=4，
解得：t=8；
②当点P运动到点C返回时，与点Q相遇后，与点Q相距4，则有：
2t+t+12−4=29×2，
解得：t=503.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，两点间的距离等知识，关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
30．（2019·江苏宿迁·七年级阶段练习）如图，点C在线段AB上.点P从点C出发向点B运动，速度为2cm/s;同时，点Q也从点C以4cm/s速度出发用1s到达A处，并在A处停留2s，然后按原速度向点B运动，.最终，点Q比点P早1s到达B处.设点P运动的时间为t.
(1)线段AC的长为 cm;当t=3s时，P,Q两点之间的距离为 cm;
(2)求线段BC的长;
(3)从P,Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为何值时，P,Q两点相距1cm？
【答案】（1）4，10；（2）BC=20； (3) t=16,152,172192
【分析】（1）根据点C以4cm/s速度出发用1s到达A处即可计算出线段AC的长；当t=3s时,点Q仍在点A处，所以求出CP的长即可计算出P,Q两点之间的距离；
（2）设点P运动的时间为ts，则点Q从C运动到B的时间为（t-1-1-2-1）s,根据题意列方程即可求出t的值，然后再求线段BC的长;
（3）根据点P和点O的速度，结合在数轴上的位置，分情况讨论，根据题意列方程即可求出t的值.
【详解】解：（1）∵点C以4cm/s速度出发用1s到达A处，
∴AC=4×1=4,
∴线段AC的长为4cm；
∵当t=3s时,点Q仍在点A处,PC=2×3=6,
∴PQ=AC+CP=4+6=10,
∴ P,Q两点之间的距离为10cm.
(2) 设点P运动的时间为ts，则点Q从C运动到B的时间为（t-1-1-2-1）s,根据题意列方程得，2t=4(t-5),
解得，t=10,
∴BC=2×10=20
∴线段BC的长为20cm.
(3) ①当点Q在AC上时，根据题意列方程得，4t+2t=1,
解得，t= 16;
②当点Q在BC上且在点P的左侧时，根据题意列方程得，2t-4(t-4)=1,
解得，t= 152;
③当点Q在BC上且在点P的右侧时，根据题意列方程得，4(t-4)-2t=1,
解得，t=172;
④当点Q到达点B处而点P还未到达时，根据题意列方程得，20-2t=1,
解得，t= 192,
综上所述，，t为何值为16，152，172，192时，P,Q两点相距1cm.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键．