专题2.11一元一次方程的新定义问题大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

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1．（2021秋•江都区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠1）的解为x＝ab，则称该方程为“积解方程”．例如：2+x＝﹣2的解为x＝﹣2﹣2＝﹣4且x＝2×（﹣2）＝﹣4，则称方程2+x＝﹣2是“积解方程”，请回答下列问题：
（1）判断一元一次方程4+x=−43是不是“积解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程32+x＝m+4是“积解方程”，求m的值并求出该方程的解．
【分析】（1）求出方程的解是x=−163，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于m的方程，最后求出方程的解即可．
【解答】解：（1）4+x=−43，
x=−163，
而−163=4×(−43)，
所以4+x=−43是“积解方程”；
（2）32+x＝m+4，
x＝m+52，
∵关于x的一元一次方程32+x＝m+4是“积解方程”，
∴m+52=32×(m+4)，
解得：m＝﹣7；
故原方程的解为：x=32×(−7+4)=−92．
2．（2021秋•溧阳市期末）阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅化成分数．
设0.7⋅=x．
由0.7⋅=0.7777…，可知10×0.7⋅=7777…＝7+0.7777…＝7+0.7⋅，
即10x＝7+x．
可解得x=79，即0.7⋅=79．
（1）将0.5⋅直接写成分数形式为 59 ．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.2⋅7⋅；
②0.13⋅6⋅．
【分析】（1）根据题目给的例题，首先设0.5⋅=x，列出方程10x＝5+x，解出x；
（2）①根据题目给的例题，首先设0.2⋅7⋅=y，列出方程100y＝27+y，解出y；
②首先把0.13⋅6⋅写成0.1+0.03⋅6⋅，再设0.03⋅6⋅=n，列出方程100n＝3.6+0.03⋅6⋅，解出n，从而求出最后结果．
【解答】（1）设0.5⋅=x，
根据题意得，10x＝5+x，
解得x=59，
故答案为：59；
（2）①设0.2⋅7⋅=y，
根据题意得，100y＝27+y，
解得y=311；
∴0.2⋅7⋅=311；
②∵0.13⋅6⋅=0.1+0.03⋅6⋅，
设0.03⋅6⋅=n，
∴100n＝3.6+0.03⋅6⋅，
∴100n＝3.6+n，
解得n=255．
∴0.13⋅6⋅=0.1+255=322．
3．（2021秋•高邮市期末）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 92 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x=−12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n=−92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
【解答】解：（1）解方程3x+k＝0得：
x=−k3，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴−k3=3﹣k，
解得：k=92，
故答案为：92；
（2）解方程﹣2x＝mn+n得：
x=−12（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴−12（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n=−23，
把n=−23代入mn＝2得：m×（−23）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解方程3x＝mn+n得：
x=mn+n3，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴mn+n3=3+mn+n，
∴mn+n=−92，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（−92）
＝﹣9．
4．（2022春•泰州期末）如果a⊕b＝c，则ac＝b，例如2⊕8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若3⊕27＝x，则x＝ 3 ；
（2）记3⊕5＝a，3⊕6＝b，3⊕90＝c，求a、b、c之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意代入具体的值即可求解；
（2）利用题中的规定列出式子，再进行化简即可求解．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝c，则ac＝b，
∴3⊕27＝x，则3x＝27，
∴x＝3，
故答案为：3；
（2）由3⊕5＝a，3⊕6＝b，3⊕90＝c可得：
3a＝5，3b＝6，3c＝90，
∵3×5×6＝90，
∴3×3a×3b＝3c，即31+a+b＝3c，
∴1+a+b＝c，即a+b﹣c＝﹣1，
∴a、b、c之间的数量关系为a+b﹣c＝﹣1．
5．（2022秋•秦淮区校级月考）某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程：|2x|＝1．
解：分类讨论：当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x=12．
当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的标是x=−12．
∴原方程的解为x=12或x=−12．
（1）依例题的解法，方程|12x|＝3的解是 x＝6或x＝﹣6 ．
（2）在尝试解绝对值方程|x﹣2|＝3时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
（3）在尝试解绝对值方程|x﹣3|＝5时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，|a﹣b|表示数a，b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则|x﹣3|＝5表示数x与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 x＝8或x＝﹣2 ；
（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．
【分析】（1）根据题所给的例子，求解方程即可；
（2）根据（1）的解法，利用整体思想解方程即可；
（3）根据绝对值的几何意义可得数轴上与3的点距离是5的点分别是8或﹣2，即可求解方程；
（4）分类讨论求解方程即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，原方程可化为12x＝3，它的解是x＝6，
当x＜0时，原方程可化为−12x＝3，它的解是x＝﹣6，
∴原方程的解为x＝6或x＝﹣6，
故答案为：x＝6或x＝﹣6；
（2）当x≥2时，原方程可化为x﹣2＝3，它的解是x＝5，
当x＜2时，原方程可化为﹣x+2＝3，它的解是x＝﹣1，
∴原方程的解为x＝5或x＝﹣1，
故答案为：x＝5或x＝﹣1；
（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或﹣2，
∴方程的解是x＝8或x＝﹣2，
故答案为：x＝8或x＝﹣2；
（4）当x≥2时，x﹣2+x﹣1＝m，解得x=m+32；
当1＜x＜2时，2﹣x+x﹣1＝m，可得m＝1；
当x≤1时，2﹣x+1﹣x＝m，解得x=3−m2；
∴当m＝1时，方程有无数解；当0＜m＜1时，方程无解；当m＞1时，x=m+32或x=3−m2．
6．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．
【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下：
由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；
由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1．
∵﹣1+2＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”．
（2）由3x﹣2＝x+4，解得x＝3；
由x2+m=0解得x＝﹣2m．
∵方程3x﹣2＝x+4与方程x2+m=0是“美好方程”，
∴﹣2m+3＝1，
解得m＝1．
（3）由2x﹣n+3＝0，解得x=n−32；
由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；
∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，
∴n−32+1﹣5n＝1，
解得n=−13．
7．（2021秋•泗阳县期末）已知y1＝x+3，y2＝5﹣x．
（1）当x取何值时，y1与y2的值相等？
（2）当x取何值时，y1的值比y2的值的2倍大5？
【分析】（1）根据题意先列出方程，再解方程求解即可；
（2）根据题意先列出方程，再解方程求解即可．
【解答】解：（1）当y1＝y2时，
即x+3＝5﹣x，
2x＝5﹣3，
∴x＝1；
即当x＝1时，y1与y2的值相等；
（2）当y1＝2y2+5时，
即x+3＝2（5﹣x）+5，
x+3＝10﹣2x+5，
∴x＝4．
当x＝4时，y1的值比y2的值的2倍大5．
8．（2021秋•宝应县期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如下：a※b＝ab2﹣2ab+a．例如：（﹣1）※3＝﹣1×32﹣2×（﹣1）×3+（﹣1）＝﹣4．
（1）求2※（﹣3）的值；
（2）化简：（1※x）﹣[（﹣8x）※12]；
（3）若（x※3）※13=5，求x的值．
【分析】（1）按照定义的新运算进行计算即可；
（2）按照定义的新运算进行计算即可；
（3）按照定义的新运算，列出关于x方程，然后解方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）2）※（﹣3）
＝2×（﹣3）2﹣2×2×（﹣3）+2
＝18+12+2
＝32；
（2）（1※x）﹣[（﹣8x）※12]
＝x2﹣2x+1﹣[（﹣8x）×(12)2−2×(−8x)×12+（﹣8x）]
＝x2﹣2x+1﹣（﹣2x+8x﹣8x）
＝x2﹣2x+1+2x
＝x2+1；
（3）由（x※3）※13=5，得：
（9x﹣6x+x）※13=5，
即4x※13=5，
∴4x×(13)2−2×4x×13+4x＝5，
整理，得169x=5，
解得：x=4516．
9．（2021秋•兴化市期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．
（1）求2*（﹣5）的值；
（2）若（3x﹣2）*1＝x，求x的值．
【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝（﹣5）2+2×2×（﹣5）＝25﹣20＝5；
（2）根据题中的新定义化简得：1+2（3x﹣2）＝x，
去括号得：1+6x﹣4＝x，
移项合并得：5x＝3，
解得：x=35．
10．（2021秋•姜堰区期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝2a+b．例如：（﹣3）※2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．
（1）求2※（﹣5）的值；
（2）若（x﹣3）※（x+3）＝6，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝2×2+（﹣5）＝4﹣5＝﹣1；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
2（x﹣3）+（x+3）＝6，
去括号得：2x﹣6+x+3＝6，
移项合并得：3x＝9，
解得：x＝3．
11．（2021秋•锡山区期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝a2b+2ab+b，例如：1⊗3＝12×3+2×1×3+3＝12．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若3⊗（x﹣1）＝16，求x的值；
（3）已知x为有理数，设m＝x⊗2，n＝3⊗x4，试比较m、n的大小．
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案．
【解答】解：（1）2⊗（﹣1）
＝22×（﹣1）+2×2×（﹣1）+（﹣1）
＝4×（﹣1）﹣4+（﹣1）
＝﹣4﹣4﹣1
＝﹣9；
（2）由3⊗（x﹣1）＝16，
可得9（x﹣1）+6（x﹣1）+（x﹣1）＝16，
解得x＝2；
（3）由m＝x⊗2，得m＝2x2+4x+2，
由n＝3⊗x4，得n＝4x，
∵m﹣n＝2x2+2＞0，
∴m＞n．
12．（2021秋•盱眙县期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．
（1）求（﹣3）※4的值；
（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣3）×（﹣3+4）
＝﹣3×1
＝﹣3；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
﹣2×（﹣2+3x﹣2）＝x+1，即﹣2（3x﹣4）＝x+1，
去括号得：﹣6x+8＝x+1，
移项合并得：﹣7x＝﹣7，
解得：x＝1．
13．（2021秋•太仓市期末）若规定“⊕”的运算过程表示为：a⊕b=13a﹣2b，如3⊕1=13×3﹣2×1＝﹣1．
（1）则（﹣6）⊕12= ﹣3 ．
（2）若（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，求x的值．
【分析】（1）根据规定的运算列式计算；
（2）根据规定的运算列方程，解出一元一次方程．
【解答】解：（1）（﹣6）⊕12
=13×（﹣6）﹣2×12
＝﹣2﹣1
＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（2）（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，
13×（2x﹣1）﹣2×12x=13×3﹣2x，
23x−13−x＝1﹣2x，
23x﹣x+2x＝1+13，
53x=43，
x=45．
14．（2021秋•连云港期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2的解．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴x=−m3．
∵4x﹣2＝x+10．
∴x＝4．
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，
∴−m3+4＝1．
∴m＝9．
（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，
∴另一个方程的解为：1﹣n．
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8．
∴n=−72或n=92．
（3）∵12022x+1＝0．
∴x＝﹣2022．
∵关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k的解为1﹣（﹣2022）＝2023．
关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2可化为：12022（y+1）+3＝2（y+1）+k．
∴y+1＝x＝2023．
∴y＝2022．
15．（2021秋•邗江区期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
（1）试求（﹣2）※3的值；
（2）若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．
【分析】（1）根据定义，可得（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3，再计算求解即可；
（2）根据定义，列出方程42+2×4×x＝﹣x﹣2，再求解即可．
【解答】解：（1）根据题中新定义得：
（﹣2）※3
＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3
＝4+（﹣12）
＝﹣8；
（2）根据题意：42+2×4×x＝﹣x﹣2，
整理得：16+8x＝﹣x﹣2，
解得：x＝﹣2．
16．（2022秋•如东县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x﹣3|＝2．
解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；
当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．
所以原方程的解是x＝5或x＝1．
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b．
【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
【解答】解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）﹣4＝0，解得x=−23．
∴原方程的解是x＝2或x=−23；
（2）①当b＜0时，原方程无解，
②当b＝0时，
原方程可化为：x﹣2＝0，解得x＝2；
③当b＞0时，
当x﹣2≥0时，原方程可化为x﹣2＝b，解得x＝b+2；
当x﹣2＜0时，原方程可化为x﹣2＝﹣b，解得x＝﹣b+2．
17．（2022春•朝阳区期中）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3＝4a+3．
（1）计算5※6值为 31 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；
（3）根据题中的新定义验证即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×6﹣5+6
＝30﹣5+6
＝31；
故答案为：31；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，
移项合并得：m＝﹣5；
（3）根据题中的新定义得：
2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，
∴2※3≠3※2，
则“※”运算不满足交换律．
18．（2022秋•宛城区校级月考）整数都能化成分数，部分小数也可以化成分数，比如：
（1）5可以看作51，（2）2.4=2410=125，（3）要把0.3转化成分数形式，可以采用下面的方法：
设x＝0.3⋅=0.3333…①，则10x＝3.3333…②，由②﹣①，得9x＝3，解得x=13．
因此0.3⋅=0.3333⋯=13，通过阅读以上材料，请你完成下列问题：
（1） 整数 和 分数 统称为有理数．
（2）把0.7⋅化成分数．
【分析】（1）根据有理数的定义即可得出结论；
（2）根据例题可设x＝0.7⋅=0.777•••，故可得出10x＝7.777•••，两式相减即可得出x的值．
【解答】解；（1）由有理数的定义可知整数和分数统称为有理数．
故答案为：整数，分数；
（2）设x＝0.7⋅=0.777•••①，则10x＝7.777•••②，由②﹣①得，9x＝7，解得x=79．
19．（2022春•无锡期末）对于有理数，规定新运算a*b=a+b−5，a＞b，ab−b，a≤b．
例如3*2，因为3＞2，所以3*2＝3+2﹣5＝0．
（1）计算：（﹣2）*5；
（2）若（x+3）*2＝3，求x；
（3）记M＝（x+3）*（x﹣1），N＝x*（x+1），判断M和N的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）分类讨论x+3与2的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（3）利用题中的新定义化简M与N，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）*5＝﹣10﹣5＝﹣15；
（2）当x+3＞2，即x＞﹣1时，
已知等式化简得：x+3+2﹣5＝3，
解得：x＝3；
当x+3≤2，即x≤﹣1时，
已知等式化简得：2（x+3）﹣2＝3，
解得：x=−12，不符合题意，舍去，
则x＝3；
（3）根据题中的新定义化简得：
M＝x+3+x﹣1﹣5＝2x﹣3，N＝x（x+1）﹣（x+1）＝x2+x﹣x﹣1＝x2﹣1，
∵N﹣M
＝x2﹣1﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1＞0，
∴M＜N．
20．（2022春•雁峰区期中）用“※”定义一种新运算：规定a※b＝ab2+2ab﹣b，如：1※3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）若|m+1|+（n﹣4）2＝0，求m※n的值；
（2）若（x﹣1）※3＝12，求x的值．
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负数性质可得m、n的值，再按规定的运算程序运算求值即可；
（2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值．
【解答】解：（1）∵|m+1|+（n﹣4）2＝0，而|m+1|≥0，（n﹣4）2≥0，
∴m+1＝0，n﹣4＝0，
解得m＝﹣1，n＝4，
∴m※n＝mn2+2mn﹣n＝（﹣1）×42﹣2×（﹣1）×4﹣4＝﹣16﹣8﹣4＝﹣28；
（2）∵（x﹣1）※3＝12，
∴（x﹣1）×32+2（x﹣1）×3﹣3＝12，
去括号，可得：9x﹣9+6x﹣6﹣3＝12，
移项，可得：9x+6x＝12+9+6+3，
合并同类项，可得：15x＝30，
系数化为1，可得：x＝2．
21．（2022秋•昭平县期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2+2ab+a．如：1★3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）（﹣3）★2＝ ﹣27 ．
（2）若（a2★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
【分析】（1）直接利用运算公式计算，进而得出答案；
（2）利用已知运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣3）★2＝（﹣3）×22+2×（﹣3）×2﹣3＝﹣27；
故答案为：﹣27；
（2）根据题意得：
a2★3=a2×32+2×a2×3+a2
=9a2+3a+a2
＝8a，
∴（a2★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝8a×（﹣2）2+2×8a×（﹣2）+8a＝16，
整理得8a＝16，
解得：a＝2．
22．（2022春•朝阳区期中）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 31 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；
（3）“※”不满足交换律，举例即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×6﹣5+6
＝30﹣5+6
＝31；
故答案为：31；
（2）根据题中的新定义化简得：
6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，
解得：m＝﹣5；
（3）“※”运算不满足交换律，
例如：2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，即2※3≠3※2．
23．（2022春•蒸湘区校级月考）定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝﹣2a+3b，如：1⊕5＝（﹣2）×1+3×5＝13．在以上运算规则下，解决下列问题，
（1）计算：2⊕（﹣3）；
（2）解方程：x⊕2＝10．
【分析】（1）根据新运算规则列出算式，再根据有理数的乘法法则和加法法则进行计算，即可得出结果；
（2）根据新运算规则列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝﹣2a+3b，
∴2⊕（﹣3）
＝（﹣2）×2+3×（﹣3）
＝﹣4﹣9
＝﹣13；
（2）∵a⊕b＝﹣2a+3b，x⊕2＝10，
∴﹣2x+3×2＝10，
∴﹣2x+6＝10，
∴﹣2x＝4，
∴x＝﹣2．
24．（2022春•徐汇区校级期中）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则是：a∗b=a+b2．
（1）2*x＝ 2+x2 ．
（2）关于x的方程：3*（2*x）＝1的解x＝ ﹣4 ．
【分析】（1）根据规则进行计算，即可得出答案；
（2）根据规则得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：由题意得：2*x=2+x2，
故答案为：2+x2；
（2）由题意得：3+2+x22=1，
3+2+x2=2，
6+2+x＝4，
x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
25．（2022春•唐河县月考）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求3※（﹣2）的值；
（2）若5※（x﹣2）＝11，求x的值．
【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3※（﹣2）
＝3﹣2×（﹣2）
＝3+4
＝7；
（2）5※（x﹣2）＝11，
5﹣2（x﹣2）＝11，
5﹣2x+4＝11，
﹣2x＝11﹣5﹣4，
﹣2x＝2，
x＝﹣1．
26．（2021秋•南关区校级期末）阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．
（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为 0 ；
（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；
（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为 95 ；
（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，12☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为 2 ．
【分析】（1）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（2）直接利用已知运算法则列式计算即可；
（3）直接利用已知运算法则列方程解答即可；
（4）直接利用已知运算法则列方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得：1☆2☆3＝1+2﹣1×3＝3﹣3＝0，
故答案为：0；
（2）由题意可得：
（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3
＝（x﹣1）+（x2﹣2）﹣3（x﹣1）
＝x﹣1+x2﹣2﹣3x+3
＝x2﹣2x；
（3）由题意可得：2+x﹣6＝4+1﹣4x，
移项，得x+4x＝4+1+6﹣2，
合并同类项，得5x＝9，
系数化为1，得x=95；
故答案为：95；
（4）由题意可得：1﹣x+2x+1+2（1﹣x）＝m，
解得m＝4﹣x，
∴12☆m☆（m﹣1）＝2可化为12☆（4﹣x）☆（3﹣x）＝2，
即12+4﹣x−12（3﹣x）＝2，
整理，得−12x=−1，
解得x＝2．
故答案为：2．
27．（2021秋•濮阳期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21．
（1）试求3*（﹣2）的值；
（2）若（﹣3）*x＝3，求x的值；
（3）若（﹣5）*x等于2x+1，求x的值．
【分析】（1）根据定义，列出算式计算即可．
（2）根据定义得到方程，求出方程的解即可．
（3）根据定义得到方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3*（﹣2）
＝32+2×3×（﹣2）
＝9﹣12
＝﹣3；
（2）（﹣3）*x＝3，
（﹣3）2+2×（﹣3）x＝3，
9﹣6x＝3，
﹣6x＝3﹣9，
﹣6x＝﹣6，
x＝1．
（3）（﹣5）*x＝2x+1，
（﹣5）2+2×（﹣5）x＝2x+1，
25﹣10x＝2x+1，
﹣10x﹣2x＝1﹣25，
﹣12x＝﹣24，
x＝2．
28．（2021秋•秀屿区校级期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝ 4 ．
（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．
【分析】（1）根据规定直接计算求值；
（2）根据规定计算得方程，求解即可．
【解答】解：（1）（3，﹣2）★（1，﹣2）
＝（﹣2）×1﹣3×（﹣2）
＝﹣2+6
＝4；
故答案为：4；
（2）由题意，得（2x+1）×1﹣2（2x﹣1）＝7，
2x+1﹣4x+2＝7
﹣2x＝4．
x＝﹣2．
29．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝ 1 ；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝ 5 ；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；
（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．
【解答】（1）∵2x+1＝1，
解得x＝0；
把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：
1﹣2（0﹣m）＝3，
∴1+2m＝3，
解得：m＝1；
（2）解方程x2+3x﹣4＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x1＝1或x2＝﹣4，
把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×1+2×12﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
故满足条件的n的值为5．
（3）因a为正整数，则a≠0，
又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，
∴x=2a2−3a−5+4a，
∵两方程均为立信方程，
∴x的值为整数，
∴4a为整数，
∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，
∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，
同理9x﹣3＝kx+14，
∴（9﹣k）x＝17，
显然，此时k≠9，则x=179−k，
∴9﹣k可取8，﹣810，26，
∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，
∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，
故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
30．（2021春•方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝ 11 和x2＝ 211 ；
（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
【分析】（1）根据上述的结论方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c，即可猜想得到答案；
（2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣1+2x−1=11+211，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1=211，进一步求得方程的解．
【解答】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2=211；
（2）原方程可以变形为x﹣1+2x−1=11+211，
则x﹣1＝11，x﹣1=211．
则x1＝12，x2=1311．