苏科版八年级数学上册专题4.5与一元一次方程解有关的四大题型同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题4.5与一元一次方程解有关的四大题型同步练习(学生版+解析)，共27页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与一元一次方程解有关的四大题型的理解！
【题型1 已知方程的解求字母的值】
1．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期中）已知x=0是方程x2−x+2m−1=0的解，则m的值为（ ）
A．0B．12C．−12D．1
2．（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
3．（2023秋·湖南永州·七年级校考期中）已知方程3x+8=x4−a的解满足x−2=0，则a的值为（ ）
A．−272B．−128C．−114D．4
4．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）小李在解方程5a−x=13（x为末知数）时，误将−x看做+x，得出方程的解为x=−2，则原方程的解为（ ）．
A．x=−3B．x=0C．x=2D．x=1
5．（2023秋·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程20222023x+5=7x+m的解为x=−5，那么关于y的一元一次方程202220232y−1+5=72y−1+m的解为 ．
6．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解是x=0，试求−2m2021−m−322020的值．
7．（2023秋·广东东莞·七年级东莞市华侨中学校考期中）小明解方程2x+15−1=x+a2．去分母时左边的1没有乘10，由此求得方程的解为x=4，试求a的值，并正确求出原方程的解．
【题型2 由两个方程的解之间的关系求字母的值】
1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程2x=3x+a与关于x的一元一次方程23a−x=5的解相同，则a的值为（ ）
A．−9B．9C．3D．−3
2．（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）若方程x−2=2x+1与关于x的方程kx−2=x+12的解相同，则k的值为（ ）
A．1B．−1C．12D．15
3．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）当k＝ 时，关于x的方程1−k4+2x=−1−2x2的解比关于x的方程k(2+x)=x(k+2)的解大6
4．（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）已知方程92x+6=5+4x的解比关于x的方程7x−3a=0的解小1，则a的值为 ．
5．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程x−12=3x−2的解互为倒数，求m的值．
7．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知关于x的方程5m+2x=1+x．
(1)若该方程与方程7−x=2x+1同解，试求m的值；
(2)当m为何值时，该方程的解比关于x的方程52x+m=3+12x的解大2？
【题型3 一元一次方程的特殊解】
2023年11月5日初中数学作业
1．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）若关于x的方程kx−22−x−34=1的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3B．3或5C．2或3D．1或6
2．（2023春·广东惠州·七年级统考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−1有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−5B．−6C．−8D．−19
3．（2023秋·重庆大足·七年级统考期末）已知关于x的方程x3−2=x−2−ax6有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．1B．2C．4D．5
4．（2023春·上海杨浦·七年级校考期中）a、b为常数，关于x的方程2kx+a3=2+x−bk6，无论k为何值，它的解总是1，则2a+b= ．
5．（2023秋·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，则n= ．
6．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n= ．
7．（2023秋·安徽阜阳·七年级阜阳实验中学校考期中）关于x的方程mx−33=1−x2的解是整数，则整数m= .
8．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程2ax−1−5−ax=3b有无数多个解，求常数a、b的值．
【题型4 一元一次方程中的新定义问题】
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，则m=______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则n=______．
(3)若关于x的两个方程x3+m=0与3x−25=x+m2是“和谐方程”，求m的值．
2．（2023秋·湖南衡阳·七年级统考期中）定义：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x=−4的解为x=−2，且−2=−4+2，则该方程2x=−4是和解方程．
(1)判断−3x=1是否是和解方程，说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程5x=m−2是和解方程，求m的值．
3．（2023春·甘肃天水·七年级天水市逸夫实验中学校考期中）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．例如：方程2x=4和方程3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程2x+3m−2=0和方程3x−5m+4=0是关联方程，求出m的值．
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx−n=0的解恰为x=2m+n，则此方程称为“合并式方程”．
例如：3x+9=0，∵ x=2×3+−9=−3，且x=−3是方程3x+9=0的解，∴此方程3x+9=0为“合并式方程”．
请根据上述定义解答下列问题：
(1)一元一次方程14x−12=0是否是“合并式方程”？并说明理由；
(2)关于x的一元一次方程6x−n=0是“合并式方程”，求n的值．
5．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小明结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0=424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足x0+y0=400+24=424，所以关于y的方程y=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程y−1=12是否是关于x的一元一次方程2x−1=820的“航天方程”，并说明理由；
(2)若关于y的方程y+1−3=14是关于x的一元一次方程x−x−2a4=2a+3的“航天方程”，求a的值．
6．（2023春·浙江金华·七年级校联考期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
7．（2023秋·湖北荆州·七年级统考期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 x0是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且 x0，y0满足x0+y0=100，则称关于 y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x－2x－99=0的解是 x=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1时，x0+y0=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x－2x－99=0的“友好方程”
(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，哪个方程是一元一次方程3x－2x－102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．
(2)若关于y的方程2y−2+3=5 是关于 x的一元一次方程x−2x−2a3=a+1的“友好方程”，请求出 a的值．
8．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣x−2m3＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣6mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．
专题4.5 与一元一次方程解有关的四大题型
【苏科版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与一元一次方程解有关的四大题型的理解！
【题型1 已知方程的解求字母的值】
1．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期中）已知x=0是方程x2−x+2m−1=0的解，则m的值为（ ）
A．0B．12C．−12D．1
【答案】B
【分析】将x=0代入方程x2−x+2m−1=0得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x=0是方程x2−x+2m−1=0的解，
∴2m−1=0，
解得：m=12，
B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
2．（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】B
【分析】将x=7代入3x−3−■=x+1求解即可．
【详解】解：将x=7代入3x−3−■=x+1得：3×7−3−■=7+1，
12−■=8，
解得：■=4，
C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
3．（2023秋·湖南永州·七年级校考期中）已知方程3x+8=x4−a的解满足x−2=0，则a的值为（ ）
A．−272B．−128C．−114D．4
【答案】A
【分析】由x−2=0可得x=2，再代入3x+8=x4−a中求解即可．
【详解】∵x−2=0，
∴x=2，
把x=2代入3x+8=x4−a得：3×2+8=24−a，
解得a=−272，
A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键．
4．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）小李在解方程5a−x=13（x为末知数）时，误将−x看做+x，得出方程的解为x=−2，则原方程的解为（ ）．
A．x=−3B．x=0C．x=2D．x=1
【答案】B
【分析】把x=−2代入方程5a+x=13，即可得到一个关于a的方程，求得a的值，再求出原方程的解．
【详解】把x=−2代入方程5a+x=13，得：5a−2=13,
解得：a=3，
则原方程是：5×3−x=13，
解得：x=2
C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．
5．（2023秋·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程20222023x+5=7x+m的解为x=−5，那么关于y的一元一次方程202220232y−1+5=72y−1+m的解为 ．
【答案】y=−2
【分析】设2y−1=x，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设2y−1=x，则关于y的方程化为：20222023x+5=7x+m，
∴2y−1=x=−5，
∴y=−2
故答案为：y=−2．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．
6．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解是x=0，试求−2m2021−m−322020的值．
【答案】−2
【分析】将x=0代入原方程得：2m=1，解得：m=12，代入原式即可解得．
【详解】解：将x=0代入原方程得：2m=1，
解得：m=12，
原式=−2×122021−12−322020
=−12021−−12020
=−1−1
=−2
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是把x=0代入求出m的值．
7．（2023秋·广东东莞·七年级东莞市华侨中学校考期中）小明解方程2x+15−1=x+a2．去分母时左边的1没有乘10，由此求得方程的解为x=4，试求a的值，并正确求出原方程的解．
【答案】a=−35，x=−5．
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘10”而得到x=4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
【详解】解：∵去分母时左边的1没有乘10，
∴22x+1−1=5x+a，
把x=4代入上式，解得a=−35，
原方程可化为：2x+15−1=x−352，
去分母，得22x+1−10=5x−35，
去括号，得4x+2−10=5x−3，
移项、合并同类项，得x=−5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的知识，易在去分母、去括号和移项中出现错误．
【题型2 由两个方程的解之间的关系求字母的值】
1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程2x=3x+a与关于x的一元一次方程23a−x=5的解相同，则a的值为（ ）
A．−9B．9C．3D．−3
【答案】B
【分析】先求出方程2x=3x+a的解，然后代入方程23a−x=5，可解出a的值；
【详解】解：2x=3x+a
解得：x=−a
将x=−a代入方程23a−x=5可得：23a+a=5，
解得：a=3
C
【点睛】本题考查了同解方程的知识，属于基础题，解答本题的关键是理解方程解得含义．
2．（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）若方程x−2=2x+1与关于x的方程kx−2=x+12的解相同，则k的值为（ ）
A．1B．−1C．12D．15
【答案】A
【分析】先求解方程x−2=2x+1，得出x的值，再把x的值代入kx−2=x+12，即可求解．
【详解】解：由方程x−2=2x+1得：x=−3，
把x=−3代入kx−2=x+12得：k−3−2=−3+12，
即−5k=−1，
解得：x=15．
D．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
3．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）当k＝ 时，关于x的方程1−k4+2x=−1−2x2的解比关于x的方程k(2+x)=x(k+2)的解大6
【答案】−9
【分析】先分别求出两个方程的解，再由题意列出关于k的方程求解．
【详解】解：∵1−k4+2x=−1−2x2，
∴1−k+8x=−2+4x，
∴4x=−3+k，
∴x=−3+k4，
∵k(2+x)=x(k+2)，
∴2k+kx=kx+2x，
∴x=k，
∵方程1−k4+2x=−1−2x2的解比关于x的方程k(2+x)=x(k+2)的解大6，
∴−3+k4−k=6,，
∴−3+k−4k=24，
∴−3k=27，
∴k=−9，
故答案为：−9．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
4．（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）已知方程92x+6=5+4x的解比关于x的方程7x−3a=0的解小1，则a的值为 ．
【答案】−73/−213
【分析】先求92x+6=5+4x的解，得到方程7x−3a=0的解，代入计算即可．
【详解】解方程92x+6=5+4x，
解得x=−2，
∵方程92x+6=5+4x的解比关于x的方程7x−3a=0的解小1，
∴方程7x−3a=0的解为x=−1，
∴7×−1−3a=0，
解得a=−73，
故答案为：−73．
【点睛】本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键．
5．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【答案】k=−1
【分析】先解方程2−3x+1=0得到x=−13，进而得到关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13，把x=13代入方程k+x2−3k−2=2x中求出k的值即可．
【详解】解：2−3x+1=0
去括号得：2−3x−3=0，
移项得：−3x=3−2，
合并同类项得，−3x=1，
系数化为1得：x=−13，
∵方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，
∴关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13
∴k+132−3k−2=23，
解得k=−1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程x−12=3x−2的解互为倒数，求m的值．
【答案】−1
【分析】先将x−12=3x−2的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值．
【详解】解：解x−12=3x−2，得x=35，
∴ x=53是方程x−m2=x+m3的解，
由x−m2=x+m3，得3x−m=6x+2m，
∴ 3×53−m=6×53+2m，
解得：m=−1，
答：m的值为−1．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．
7．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知关于x的方程5m+2x=1+x．
(1)若该方程与方程7−x=2x+1同解，试求m的值；
(2)当m为何值时，该方程的解比关于x的方程52x+m=3+12x的解大2？
【答案】(1)m=−15
(2)m=−59
【分析】（1）解方程7−x=2x+1，得x=2，然后把x=2代入方程5m+2x=1+x求解即可；
（2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可．
【详解】（1）解方程7−x=2x+1，得x=2，
把x=2代入方程5m+2x=1+x，得5m+4=1+2，
解得：m=−15；
（2）解方程5m+2x=1+x，得x=1−5m，
解方程52x+m=3+12x，得x=3−m2，
∵方程5m+2x=1+x的解比关于x的方程52x+m=3+12x的解大2，
∴1−5m=3−m2+2，
解这个方程，得：m=−59．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键．
【题型3 一元一次方程的特殊解】
1．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）若关于x的方程kx−22−x−34=1的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3B．3或5C．2或3D．1或6
【答案】A
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】去分母得2kx−2−x−3=4，
去括号得：2kx−4−x+3=4
移项合并同类项得：2k−1x=5，
系数化1得：x=52k−1，
∵关于x的方程kx−22−x−34=1的解是整数，
∴2k−1=±1或±5，
∴k=1或k=0或k=−2或k=3
∵k是正整数，
∴k=1或k=3，
A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．
2．（2023春·广东惠州·七年级统考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−1有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−5B．−6C．−8D．−19
【答案】A
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x−2−ax6=x3−1，
去分母，得6x−2−ax=2x−6，
去括号，得6x−2+ax=2x−6，
移项、合并同类项，得4+ax=−4，
将系数化为1，得x=−44+a，
∵x=−44+a是非负整数解，
∴4+a取−1，−2，−4，
∴a=−5或−6，−8时，x的解都是非负整数，
则−5+−6+−8=−19，
D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
3．（2023秋·重庆大足·七年级统考期末）已知关于x的方程x3−2=x−2−ax6有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非正整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x3−2=x−2−ax6
去分母，得2x−12=6x−2−ax
去括号，得2x−12=6x−2+ax
移项、合并同类项，得−4−ax=10
将系数化为1，得x=−104+a
∵ x=−104+a是非正整数
∴a=−3或−2，1，6时，x的解都是非正整数
则−3+−2+1+6=−5+7=2．
B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
4．（2023春·上海杨浦·七年级校考期中）a、b为常数，关于x的方程2kx+a3=2+x−bk6，无论k为何值，它的解总是1，则2a+b= ．
【答案】9
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值．
【详解】解：把x=1代入方程得2k+a3=2+1−bk6，
化简，得(4+b)k=13−2a，
由于k可以取任意值，则4+b=013−2a=0，
解得：a=132b=−4，
则2a+b=2×132−4=13−4=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程，以及解二元一次方程组 ，正确得到a和b的值是关键．
5．（2023秋·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，则n= ．
【答案】2.7
【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n，由于仅有3个不相等的解，则−2.7+n=0，解方程求得n的值．
【详解】解：∵||x+m|−n|=2.7，
∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n，
当|x+m|=2.7+n时，x=2.7+n−m或x=−2.7−n−m，
当|x+m|=−2.7+n时，x=−2.7+n−m或x=2.7−n−m，
∵方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，
∴−2.7+n=0时，n=2.7或2.7+n=0时，n=−2.7，
当n=−2.7时，|x+m|=−5.4，不成立，
∴n=2.7，
综上所述：n的值为2.7，
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键．
6．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n= ．
【答案】52
【分析】先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案．
【详解】解：将x=1代入2kx+m3=x−nk6+2，
∴ 2k+m3=1−nk6+2，
∴(4+n)k=13−2m，
由题意可知：无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，
∴n+4=0，
∴n=−4，m=132，
∴m+n=52，
故答案为：52
【点睛】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
7．（2023秋·安徽阜阳·七年级阜阳实验中学校考期中）关于x的方程mx−33=1−x2的解是整数，则整数m= .
【答案】0；或-1；或-2；或-3
【详解】解方程mx−33=1−x2可得（2m+3）x=12，，因为x、m都为整数，所以当m=0时，x=4，当m=-1时，x=12，当m=-2时，x=-12，当m=-3时，x=-6，所以m的取值为0，或-1，或-2，或-3.
点睛：本题考查了一元一次方程解得情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
8．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程2ax−1−5−ax=3b有无数多个解，求常数a、b的值．
【答案】a=53，b=−109
【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得a的值，进而得出b的值．
【详解】解：化简得：2ax−2a−5x+ax=3b，
即：3a−5x=2a+3b，
根据题意得：3a−5=0
解得：a=53，
∴2a+3b=0
∴b=−109．
【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
【题型4 一元一次方程中的新定义问题】
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，则m=______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则n=______．
(3)若关于x的两个方程x3+m=0与3x−25=x+m2是“和谐方程”，求m的值．
【答案】(1)m=9；
(2)n=−12；
(3)m=−32
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：∵3x+m=0
∴x=−m3，
∵4x−2=x+10
∴x=4，
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，
∴−m3+4=1
∴m=9；
（2）∵“和谐方程”两个解之和为1，
∴另一个方程的解为：1−n，
∵两个“和谐方程”的解相差2，
∴1−n−n=2，
∴n=−12；
（3）∵x3+m=0，
∴x=−3m，
∵3x−25=x+m2，
∴x=5m+4，
∵关于x的两个方程x3+m=0与3x−25=x+m2是“和谐方程”，
∴−3m+5m+4=1，
∴m=−32．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．
2．（2023秋·湖南衡阳·七年级统考期中）定义：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x=−4的解为x=−2，且−2=−4+2，则该方程2x=−4是和解方程．
(1)判断−3x=1是否是和解方程，说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程5x=m−2是和解方程，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)−174
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）根据和解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵−3x=1，
∴x=−13，
∵−3+1=−2，而−13≠−2
∴−3x=1不是和解方程；
（2）∵5x=m−2，
∴x=m−25，
∵关于x的一元一次方程5x=m−2是和解方程，
∴m−2+5=m−25，
解得：m=−174．
故m的值为−174．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键．
3．（2023春·甘肃天水·七年级天水市逸夫实验中学校考期中）【定义】如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．例如：方程2x=4和方程3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程2x+3m−2=0和方程3x−5m+4=0是关联方程，求出m的值．
【答案】(1)m=25
(2)m=2
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程5x+m=0的解，再解出方程2x−4=x+1的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可；
【详解】（1）解：5x+m=0，
移项，得：5x=−m，
系数化为“1”，得：x=−m5；
2x−4=x+1，
移项，合并同类项，得：x=5．
∵方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，
∴−m5+5=0，
解得：m=25；
（2）解：2x+3m−2=0，
移项，得：2x=2−3m，
系数化为“1”，得：x=2−3m2；
3x−5m+4=0，
移项，得：3x=5m−4，
系数化为“1”，得：x=5m−43．
∵方程2x+3m−2=0和方程3x−5m+4=0是“关联方程”，
∴2−3m2+5m−43=0，
去分母，得：32−3m+25m−4=0，
去括号，得：6−9m+10m−8=0，
移项，合并同类项，得：m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键．
4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx−n=0的解恰为x=2m+n，则此方程称为“合并式方程”．
例如：3x+9=0，∵ x=2×3+−9=−3，且x=−3是方程3x+9=0的解，∴此方程3x+9=0为“合并式方程”．
请根据上述定义解答下列问题：
(1)一元一次方程14x−12=0是否是“合并式方程”？并说明理由；
(2)关于x的一元一次方程6x−n=0是“合并式方程”，求n的值．
【答案】(1)一元一次方程14x−12=0不是“合并式方程”，详见解析
(2)−725
【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可；
（2）由“合并式方程”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：一元一次方程14x−12=0不是“合并式方程”，
理由如下：2×14+12=1，把x=1代入方程14x−12=0的左右两边，左边=14×1−12=−14，
∵左边≠右边，
∴ x=1不是方程14x−12=0的解，
∴一元一次方程14x−12=0不是“合并式方程”；
（2）解：∵一元一次方程6x−n=0是“合并式方程”
∴ x=2×6+n=12+n是方程6x−n=0的解
∴ 612+n−n=0，
解得n=−725，
∴ n的值为−725．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程的解得定义以及“合并式方程”的定义是解题的关键．
5．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小明结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0=424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足x0+y0=400+24=424，所以关于y的方程y=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程y−1=12是否是关于x的一元一次方程2x−1=820的“航天方程”，并说明理由；
(2)若关于y的方程y+1−3=14是关于x的一元一次方程x−x−2a4=2a+3的“航天方程”，求a的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)a=202或a=219
【分析】（1）分别解2个方程，根据“航天方程”的定义即可求解．
（2）分别解方程y+1−3=14，x−x−2a4=2a+3，根据“航天方程”的定义得出关于a的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：是，理由如下，
y−1=12，即y−1=12或y−1=−12，
解得：y=13或y=−11，
2x−1=820，
即2x−2=820，
解得：x=411，
当x=411,y=13时，411+13=424，
∴方程y−1=12是关于x的一元一次方程2x−1=820的“航天方程”；
（2）x−x−2a4=2a+3，
4x−x−2a=42a+3，
4x−x+2a=8a+12，
3x=6a+12，
解得：x=2a+4，
y+1−3=14，解得：y=16或y=−18，
∵关于y的方程y+1−3=14是关于x的一元一次方程x−x−2a4=2a+3的“航天方程”，
∴2a+4+16=424或2a+4−18=424
解得：a=202或a=219．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．
6．（2023春·浙江金华·七年级校联考期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)不是“相似方程”，理由见解析
(2)m=2或3
【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可．
（2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值．
【详解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=12
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，解得：x=12
检验：当x=12时，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程无解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”．
（2）解：由题意，两个方程有相同的整数解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①当m－1=0时，方程无解；
②当m－1≠0， 即m≠1时，x=4m−6m−1 ，即x=4－2m−1
∵x，y均为整数
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整数，
∴m=2或3
综上所述，m=2或3．
【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
7．（2023秋·湖北荆州·七年级统考期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 x0是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且 x0，y0满足x0+y0=100，则称关于 y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x－2x－99=0的解是 x=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1时，x0+y0=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x－2x－99=0的“友好方程”
(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，哪个方程是一元一次方程3x－2x－102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．
(2)若关于y的方程2y−2+3=5 是关于 x的一元一次方程x−2x−2a3=a+1的“友好方程”，请求出 a的值．
【答案】(1)②
(2)95或97
【分析】（1）分别解出方程3x−2x−102=0、2y−2=4、y=2，将解出的x的值，分别与解出的y值相加，得数为100的y值所属的方程既符合“友好方程”的定义，即可确定答案；
（2）解出2y−2+3=5的解，再根据“友好方程”的定义，即可确定x−2x−2a3=a+1的解，代入求出a的值即可．
【详解】（1）解：解方程3x−2x−102=0，
得：x=102．
解方程2y−2=4，
得：y=3．
∵102+3=105，
∴方程2y−2=4不是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”；
解方程y=2，
得：y=2或y=−2．
当y=2时，102+2=104，不符合“友好方程”的定义；
当y=−2时，102+(-2)=100，
∴y=2是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”；
故答案为：②；
（2）解方程2y−2+3=5，
得：y=2或y=0
由关于y的方程2y−2+3=5 是关于 x的一元一次方程x−2x−2a3=a+1的“友好方程”
可分类讨论①当y=2时，x−2x−2a3=a+1的解为：x=100−2=98，
∴98−2×98−2a3=a+1，
解得：a=95；
②当y=0时，x−2x−2a3=a+1的解为：x=100−0=100，
∴100−2×100−2a3=a+1，
解得：a=97．
综上可知a的值为95或97．
【点睛】本题考查解一元一次方程的应用．读懂题意，理解“友好方程”的定义是解答本题的关键．
8．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣x−2m3＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣6mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)n=−54 或n=−14 ；
(3)m=1±2k
【分析】（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到−3m−4mn2=m，再根据m为正数，即可求解；
（3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到m=k−12 ，即可求解．
【详解】（1）解：是，理由如下：
2x＝5x﹣12，
解得：x=4 ，
3（y﹣1）﹣y＝1，
去括号得：3y−3−y=1 ，
解得：y=2 ，
∴x−y=4−2=2 ，
∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；
（2）解：x﹣x−2m3＝n﹣1，
去分母得：3x−x+2m=3n−3 ，
解得：x=3n−2m−32 ，
2（y﹣6mn）﹣3（n﹣1）＝m
去括号得：2y−4mn−3n+3=m ，
解得：y=4mn+3n+m−32 ，
∵关于x的方程x﹣x−2m3＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣6mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，
∴3n−2m−32−4mn+3n+m−32=m，
即−3m−4mn2=m ，
∴−3m−4mn2=m 或−3m−4mn2=−m，
即5m=−4mn 或m=−4mn
∵m为正数，
∴n=−54 或n=−14 ；
（3）解：sx+t＝h，解得：x=ℎ−ts ，
s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得：y=ℎ−ts+k−1 ，
∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，
∴ℎ−ts+k−1−ℎ−ts=2m，
解得：m=k−12 ，
即m=1±2k．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程及其应用，解含绝对值的方程，明确题意，理解新定义是解题的关键．