河北省邢台市2023-2024学年高二下学期质检联盟第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份河北省邢台市2023-2024学年高二下学期质检联盟第三次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析、集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知随机变量，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．12B．8C．－12D．－8
4．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．在数轴上，一质点从原点0出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有（ ）
A．165种B．210种C．330种D．462种
8．已知函数，则（ ）
A．－11520B．－23040C．11520D．23040
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中是偶函数，且在上单调递减的有（ ）
A．B．
C．D．
10．某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（ ）
A．晚会节目不同的安排顺序共有种
B．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种
C．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
D．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种
11．已知函数是定义在上的奇函数，，对任意的，且，均有，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．函数为常数函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．随机变量的分布列为
则______．
13．已知集合，若“”是“”的充要条件，则______．
14．若不等式对任意满足的正实数均成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
从被调查的高中、初中学生中各随机选取1人，这2人都经常做家务的概率为．
（1）通过计算将列联表中的数据补充完善；
（2）依据的独立性检验，能否认为学生的年级段与经常做家务有关？
附：．
16．（15分）
人口结构的变化能明显影响住房需求．当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降．某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格．
经计算得．
（1）若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率；
（2）估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）．
参考公式：样本相关系数
17．（15分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
（2）讨论的单调性．
18．（17分）
在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题．若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为．
（1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望；
（2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，证明：．
2023—2024学年高二（下）质检联盟第三次月考
数学参考答案
1．A因为，所以．
2．B因为，所以．
3．D展开式的通项．令，得，所以展开式中的常数项为．
4．C因为，所以，则．
5．B因为，所以，
故．
6．B设的零点分别为，其中，当时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，选项符合条件．
7．C从原点0出发，平移11次最终达到3的位置，则可知这11次有7次向右平移，4次向左平移，故不同的平移方法共有种．
8．A令，则，则，所以
9．BC对于选项A，为奇函数，不符合题意，A不正确．对于选项为偶函数，且当时，恒成立，故在上单调递减，正确．对于选项C，为偶函数，且当时，恒成立，故在上单调递减，正确．对于选项D，为偶函数，且当时，在上单调递增，不符合题意，不正确．
10．AC由题可知，晚会节目不同的安排顺序共有种，正确．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种，B不正确．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种，正确．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有
种，D不正确．
11．ACD（法一）由，得，
则．
由的任意性可知函数为常数函数，不妨令（为常数），
则，即，
所以，解得，故，
则在上单调递增，为常数函数．
故选ACD．
（法二）令，易得，结合，解得，A正确．令，易得，则．因为是奇函数，
所以，B不正确．令，
则，
则（为常数），则，由，得，
从而，易得正确．
12．由题可得，解得．
13．1由题意知关于的方程只有一个解，则，即，则．
14．由题可知，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立．
15．解：（1）设被调查的高中学生中，不经常做家务的人数为，则
解得或（舍去），
故列联表的数据补充完善后如下：
（2）零假设为：学生的年级段与经常做家务之间无关联．
由（1）可知，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生的年级段与经常做家务有关联．
16．解：（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，
故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为．
（2），
则
．
故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63．
17．解：（1）因为，所以．
由，
得曲线在点处的切线方程为，
即，
则
解得
（2）．
若，则当时，，当时，．
若，则当时，，当时，．
若，则在上恒成立．
若，则当时，，当时，．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18．解：（1）由题可知，的所有可能取值为，且，
的分布列为
则．
（2）设“考生甲答对第道试题”，
则，
则．
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
则，即他第10道试题也答对的概率为．
19．（1）解：当时，等价于．
令，则．
令，则．
当时，单调递增，则，从而在
上恒成立，则在上单调递增，
故，则的取值范围为．
（2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，
当且仅当时，等号成立．
令，则，则，
即．
因为，
所以．
1
2
3
经常做家务
不经常做家务
合计
高中学生
50
初中学生
100
合计
400
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
城市
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
老龄化率
0.17
0.2
0.18
0.05
0.21
0.09
0.19
0.3
0.17
0.24
1.8
空置率
0.06
0.13
0.09
0.05
0.09
0.08
0.11
0.15
0.16
0.28
1.2
经常做家务
不经常做家务
合计
高中学生
50
150
200
初中学生
100
100
200
合计
150
250
400
0
1
2
3