2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二上学期第三次月考（12月）数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二上学期第三次月考（12月）数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等差数列an中，若a2+a5+a19+a22=20，则a12=( )
A. 4B. 5C. −5D. −4
2.抛物线C：y=6x2的准线方程为
( )
A. x=−32B. x=32C. y=124D. y=−124
3.在等比数列an中，若a5a7a9a11=36，则a2a14=( )
A. 6B. 9C. ±6D. ±9
4.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8 m，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为
( )
A. 5,0B. 10,0C. 0,5D. 0,10
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，PF1的最大值为3，且PF1+PF2=2F1F2，则椭圆的标准方程为
( )
A. x24+y2=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x28+y24=1
6.设抛物线C：x2=16y的焦点为F，点P在C上，Q0,−4，若PF=QF，则PQ=( )
A. 16 3B. 12C. 6 2D. 8 2
7.在正项等比数列an中，Sn为其前n项和，若Sn=6，S3n=78，则S5n=( )
A. 786B. 240C. 486D. 726
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，Q为双曲线C的渐近线上一点，且QF1=b，QF2= 3c，则双曲线C的渐近线方程为
( )
A. x± 2y=0B. 2x±y=0C. x± 3y=0D. 3x±y=0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 抛物线没有离心率
B. 抛物线的离心率为1
C. 若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D. 抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
10.已知an为等差数列，a1+a3+a5=−135，a2+a4+a6=−129，则
( )
A. an的公差为3
B. an=2n−51
C. 数列1an+50an+1+50的前n项和为n2n+1
D. 数列an的前50项和为1250
11.已知A，B，C是抛物线y2=4x上的动点，F为抛物线的焦点，直线l为抛物线的准线，AB的中点为Pm,n，则
( )
A. 当m=2时，AB的最小值为6
B. 当n=2时，直线AB的斜率为1
C. 当A，B，F三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为2
D. 当m=2时，CP+CF的最小值为3
12.已知数列an满足a1=m(m为正整数)，an+1=an2,an=2k,k∈Z3an+1,an=2k+1,k∈Z，则下列选项正确的是
( )
A. 若m=40，则a9=1
B. 若a6=11，则m所有可能取值的集合为1,8,56,58,352
C. 若m=10，则a100=a1000
D. 若m=2k，k为正整数，则an的前k项和为2k−1+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若a1=190，S20>0，S24<0，则整数d的一个值可以为 ．
14.经过椭圆C：x264+y216=1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为_____________．
15.抛物线C：y2=36x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，M4,9，则PF+PM的最小值为_______．
16.已知圆C：x−22+y2=16，过点P4,2的直线l与圆C交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则x1+y1−10+x2+y2−10的最小值为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知抛物线C:x2=−2pyp>0的焦点为F，Px0,−6是抛物线C上的点，且PF=9．
(1)求抛物线C的方程
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为3,−6，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且4an=2Sn+n．
(1)证明：an+12为等比数列．
(2)求数列Sn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知经过点3,−3的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若A2,1，B4,1，点M在圆C上，求MA2+MB2的取值范围．
20.(本小题12分)
已知an为等差数列，其前n项和为Sn，a1=2，an>0，且 Sn也为等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=an+1SnSn+1，求数列bn的前n项和．
21.(本小题12分)
已知双曲线C：x25−y2=1，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
(1)若直线AB的斜率为 1010，求AB．
(2)试问在直线y=x−3上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
设A，B为抛物线C：y2=2px(p>0)上两点，直线AB的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点(异于点O)，以MN为直径的圆经过点O，求▵FMN面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用等差数列基本性质进行计算，得出4a12=20，最终计算得答案即可．
解：因为a2+a5+a19+a22=a2+a22+a5+a19=4a12=20，所以a12=5．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果．
解：抛物线C：y=6x2的标准方程为x2=16y，
所以其准线方程为y=−124．
故选：D
3.【答案】A
【解析】【分析】根据等比数列性质直接求解即可．
解：因为a5a7a9a11=a84=36，所以a82=6(负值舍去)，
所以a2a14=a82=6．
故选：A
4.【答案】C
【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点．
解：由题意得B4,0.8，设该抛物线的方程为x2=2py(p>0)，
则42=2p×0.8，得p=10，所以该抛物线的焦点为0,5．
故选：C
5.【答案】B
【解析】【分析】由题意得a+c=3，根据椭圆的定义可得2a=4c，结合a2−b2=c2计算即可求解．
解：因为PF1的最大值为3，所以a+c=3．
因为PF1+PF2=2F1F2，所以2a=4c，即a=2c，所以c=1，a=2．
又a2−b2=c2，所以b= 3，所以椭圆的标准方程为x24+y23=1
故选：B
6.【答案】D
【解析】【分析】先利用抛物线的定义求点P的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得到答案．
解：由题意可知抛物线C：x2=16y的焦点为F0,4，QF= 0−02+4+42=8，所以PF=QF=8．
设点Px0,y0，因为点P在C上，
所以抛物线的定义可知PF=p2+y0=8，即4+y0=8，得y0=4，
又x02=16y0=16×4=64，即x0=±8，则P±8,4．
PQ= ±8−02+4+42=8 2．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据等比数列前n项和Sn的性质可得Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解．
解：因为an为等比数列，所以Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，…仍为等比数列．
设S2n=x，因为Sn=6，S3n=78，所以6，x−6，78−x成等比数列．
由x−62=678−x，解得x=24或x=−18(舍去)，
所以数列Sn，S2n−Sn，S3n−S2n…的公比为3．
因为Sn=6，S2n−Sn=18，S3n−S2n=54，
所以S4n−S3n=162，S5n−S4n=486，
故S4n=240，S5n=726．
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】根据QF1=b得到垂直关系，在▵F1QO和▵QF1F2计算同一个角的余弦值，得到相等关系，在利用双曲线c2=a2+b2求得a,b的关系，从而得到渐近线方程．
解：由QF1=b，点F1到渐近线y=−bax的距离为b，则可知QF1⊥OQ，所以cs∠QF1O=bc．
在▵QF1F2中，cs∠QF1F2=b2+4c2−3c24bc．
由b2+4c2−3c24bc=bc，得c2=3b2．
因为c2=3b2=a2+b2，所以a2=2b2，
所以a= 2b，故双曲线C的渐近线方程为x± 2y=0．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】由抛物线以及它的离心率的定义即可判断ABD；当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，由此可判断C．
解：抛物线上的点M到焦点F的距离和点M到准线的距离d的比MFd，叫作抛物线的离心率，
所以由抛物线的定义可知抛物线的离心率为1，故A不正确，B正确；
若直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线也只有一个交点，
此时直线与抛物线相交，所以C不正确；
抛物线有且仅有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，所以D正确．
故选：BD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】由a1+a3+a5=−135、a1+a3+a5=−135可计算出an的通项公式，得出A、B选项；
数列1an+50an+1+50的前n项和可通过裂项相消求和计算；an的前50项中前25项为负数，后25项为正数，即可得其和为S50−2S25，结合等差数列前n项和公式即可得．
解：设an的公差为d，前n项和为Sn，
因为a1+a3+a5=3a3=−135，a2+a4+a6=3a4=−129，
所以a3=−45，a4=−43，所以d=a4−a3=2，
所以an=a3+n−3d=2n−51，
故A不正确，B正确；
因为an=2n−51，
所以1an+50an+1+50=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
所以1an+50an+1+50的前n项和为121−12n+1=n2n+1，故 C正确；
因为Sn=na1+an2=n2−50n，且当n≥26时，an>0，
所以an的前50项和为S50−2S25=0−2×252−50×25=1250，
故D正确．
故选：BCD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】A选项，由抛物线定义得到AB≤AF+BF=xA+xB+2=2m+2=6；B选项，设Ax1,y1，Bx2,y2，代入抛物方程，相减后得到答案；C选项，点P到直线l的距离d=12AB，由ABmin得到答案；D选项，由抛物线定义得到CP+CF的最小值为点P到直线l的距离，即PT=3．
解：A选项，F1,0，过点A,B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，
由抛物线定义得AB≤AF+BF=xA+xB+2=2m+2=6，
当A，B，F三点共线时，AB有最大值6，故A错误；
B选项，设Ax1,y1，Bx2,y2，由y12=4x1y22=4x2得y1+y2y1−y2=4x1−x2，
所以y1−y2x1−x2=4y1+y2=2n=1，故 B正确；
C选项，当A，B，F三点共线时，点P到直线l的距离d=AM+BN2=AF+BF2=12AB，
而ABmin=2p=4，所以dmin=2，故 C正确；
D选项，过点C作CE⊥l于点E，过点P作PT⊥l于点T，
由抛物线定义，CF=CE，所以CP+CF=CP+CE，
故CP+CF的最小值为点P到直线l的距离，即PT=3，

所以CP+CFmin=3，故 D正确．
故选：BCD
12.【答案】AC
【解析】【分析】A选项，依次计算出结果；B选项，从a6=11推出m所有可能取值的集合为1,8,9,56,58,352；C选项，an从第5项开始为周期数列，且周期为3，求出a100=a1000；D选项，推出an的各项，利用等比数列求和公式求出答案．
解：A选项，若m=40，则a2=20，a3=10，a4=5，a5=16，a6=8，a7=4，a8=2，a9=1，故 A正确；
B选项，若a6=11，则a5=22，a4=44或7．
当a4=44时，a3=88，a2=176，a1=352，或a3=88，a2=29，a1=58；
当a4=7时，a3=14，a2=28，a1=56，或a3=14，a2=28，a1=9，
或a3=2，a2=4，a1=8，或a3=2，a2=4，a1=1，
故m所有可能取值的集合为1,8,9,56,58,352，故 B不正确；
C选项，若m=10，则a2=5，a3=16，a4=8，a5=4，a6=2，a7=1，a8=4，a9=2，…，
所以an从第5项开始为周期数列，且周期为3，则a100=a3×31+7=a7=1，
a1000=a3×331+7=a7=1，故a100=a1000， C正确；
D选项，若m=2k，则a2=2k−1，a3=2k−2，…，ak=2，ak+1=1，
所以an的前k项和为21−2k1−2=2k+1−2，故 D不正确．
故选：AC
13.【答案】−17(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．
利用等差数列前n项和的基本量计算可求得．
【解答】
解：因为a1=190，所以S20=20×190+190d>0,S24=24×190+24×232×d<0，
所以−20故d的整数解为−19，−18，−17．
故答案为：−17(答案不唯一)．
14.【答案】32
【解析】【分析】根据椭圆性质与椭圆上两定点的概念进行分析．
解：因为AF1+AF2=2a=16，BF1+BF2=2a=16，
所以△ABF2的周长为32。．
故答案为：32．
15.【答案】13
【解析】【分析】根据抛物线定义并结合图形从而求解．
解：由题意知抛物线C的准线为l：x=−9，
点P到直线l的距离为d=PQ，则PF=d=PQ，
所以PF+PM=PQ+PM．
结合图形可知，当PM⊥l时，PQ+PM最小，
故PF+PM的最小值为4+p2=13，
故答案为：13．
16.【答案】8
【解析】【分析】根据x1+y1−10+x2+y2−10= 2x1+y1−10 2+x2+y2−10 2表示A，B两点到直线x+y−10=0的距离之和的 2倍，结合A，B两点到直线的距离之和等于线段的中点M到直线的距离的2倍，求出线段AB的中点到直线的距离的最大值的2 2倍即可．
解：
如图，设AB的中点为M，A，B，M在直线l：x+y−10=0
的投影分别为A1，B1，M1．
圆心C2,0到直线l：x+y−10=0的距离d=2−10 2=4 2>4，
所以直线l与圆C相离．易得CM⊥AB，
即CM⊥MP(当M，C重合时，MP⊥AB，当M，P重合时，CM⊥AB)，
所以点M在以CP为直径的圆上，其圆心为N3,1，半径为 2，
由题意得：
x1+y1−10+x2+y2−10= 2x1+y1−10 2+x2+y2−10 2
= 2AA1+BB1=2 2MM1．
因为NM1=3+1−10 2=3 2所以MM1≥NM1− 2=2 2，
所以x1+y1−10+x2+y2−10=2 2MM1≥8．
故答案为 ：8
17.【答案】解：(1)
因为PF=6+p2=9，
所以p=6，
故抛物线C的方程为x2=−12y；
(2)
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，Mx1,y1，Nx2,y2，
则x12=−12y1x22=−12y2，两式相减得x12−x22=−12y1−y2，
整理得y1−y2x1−x2=−x1+x212，
因为MN的中点为3,−6，故x1+x2=6，
所以k=y1−y2x1−x2=−612=−12，
所以直线l的方程为y+6=−12x−3，即x+2y+9=0．

【解析】【分析】(1)借助抛物线焦点弦的性质即可得；
(2)设出点的坐标，借助点差法，结合中点公式即可得．
18.【答案】解：(1)
证明：当n=1时，4a1=2S1+1=2a1+1，所以a1=12．
当n≥2时，4an−1=2Sn−1+n−1，
所以4an−4an−1=2Sn−2Sn−1+1=2an+1，
即an=2an−1+12．
因为an+12=2an−1+12，a1+12=1≠0，
所以an+12是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)
解：由(1)知an=2n−1−12，
所以Sn=2an−n2=2n−n+22，
所以Tn=S1+S2+S3+⋯+Sn=21−2n1−2−12×n3+n+22=2n+1−2−nn+54．

【解析】【分析】(1)利用an=Sn−Sn−1可得an+12=2an−1+12，结合等比数列的定义即可证明；
(2)由(1)知an=2n−1−12，则Sn=2n−n+22，结合分组求和法计算即可求解．
19.【答案】解：(1)
设圆C：x−a2+y2=r2(r>0)，
由题意得a=r3−a2+9=r2，解得a=3r=3,
所以圆C的方程为x−32+y2=9．
(2)
设Mx,y，−3≤y≤3，由x−32+y2=9，得x2−6x+y2=0，
则MA2+MB2=x−22+y−12+x−42+y−12=2x2−6x+y2−4y+22=−4y+22．
当y=3时，MA2+MB2取得最小值，最小值为10；
当y=−3时，MA2+MB2取得最大值，最大值为34．
故MA2+MB2的取值范围为10,34．

【解析】【分析】(1)由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解．
(2)由题意设点Mx,y在圆上，则x2−6x+y2=0，−3≤y≤3，由两点之间的距离公式化简可得MA2+MB2=−4y+22，由此即可得解．
20.【答案】解：(1)
设an的公差为d．
因为a1=2，an>0， Sn为等差数列，
所以 S1= 2， S2= 4+d， S3= 6+3d成等差数列，
则 2+ 6+3d=2 4+d，解得d=4，
故an=2+4n−1=4n−2．
(2)
因为an+1=4n+2，Sn=n4n−2+22=2n2，
所以bn=an+1SnSn+1=4n+22n2×2n+12=121n2−1n+12．
设bn的前n项和为Tn，
则Tn=12112−122+12122−132+⋯+121n2−1n+12=121−1n+12=n2+2n2n+12

【解析】【分析】(1)设等差数列an的公差为d，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解．
(2)利用裂项求和法即可求解．
21.【答案】解：(1)
设直线AB的方程为y= 1010x，
由y= 1010xx25−y2=1，得x= 10y=1或x=− 10y=−1,
所以AB= 1+12+ 10+ 102=2 11；
(2)
因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在，
所以直线AP与直线BP的斜率均不为0，
设Ax1,y1，Pm,m−3，则B−x1,−y1，x1≠±m，
所以kAP⋅kBP=y1−m+3x1−m⋅−y1−m+3−x1−m=y12−m−32x12−m2，
由x125−y12=1，得y12=x125−1，则kAP⋅kBP=y12−m−32x12−m2=x125−1−m−32x12−m2
=15x12−5−5m−32x12−m2，
若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则5+5m−32=m2，
化简得2m2−15m+25=m−52m−5=0，得m=5或52，
此时kAP⋅kBP=x125−1−m−32x12−m2=15，
故在直线y=x−3上存在点P5,2或P52,−12，
使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值15．

【解析】【分析】(1)设直线AB的方程为y= 1010x，与双曲线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式计算可得答案；
(2)设Ax1,y1，Pm,m−3，求出kAP⋅kBP=15x12−5−5m−32x12−m2，若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则5+5m−32=m2，可得答案．
22.【答案】解：(1)
设 AxA,yA,BxB,yB ，则 yA2=2pxA ， yB2=2pxB ， yA+yB=2 ．
直线 AB 的斜率 k=yA−yBxA−xB=yA−yByA22p−yB22p=2pyA+yB=4 ，
解得 p=4 ，所以抛物线C的方程为 y2=8x ．
(2)
设直线l的方程为 x=my+n ， Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，
联立 x=my+ny2=8x ，消去x得 y2−8my−8n=0 ，且 Δ=64m2+32n>0 ，
由韦达定理得 y1+y2=8m ， y1y2=−8n ．
以MN为直径的圆经过点O，即 OM⋅ON=x1x2+y1y2=y12y2264+y1y2=0 ，
因为M，N两点异于点O，所以解得 y1y2=−64≠0 ，
即 y1y2=−8n=−64 ，则 n=8 ，直线l恒过定点 8,0 ．
易知 F2,0 ， S▵FMN=12×8−2×y1−y2=3 y1+y22−4y1y2=24 m2+4≥48 ，当且仅当 m=0 ，即直线l的方程为 x=8 时取等号；
故 ▵FMN 面积的最小值为48．

【解析】【分析】第一问的关键是设点不设线，从而减少计算量，第二问的关键是数形结合，首先联立 MN 方程与抛物线方程，结合已知得到 MN 直线过定点，从而即可顺利求解．
(1)由题意设出点 A,B 的坐标，结合点 A,B 的坐标满足抛物线方程，直线 AB 的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得 p 的值，从而即可得解．
(2)由题意可得 OM⋅ON=x1x2+y1y2=y12y2264+y1y2=0 ，进一步 y1y2=−64 ，设出直线 MN 方程将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线过定点，再结合韦达定理将 ▵FMN 的面积表示出来，进一步即可得其最小值．