2023-2024学年河北省邢台市一中五岳联盟高二上学期第三次月考（12月）数学含答案

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数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在等差数列中，若，则（）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列基本性质进行计算，得出，最终计算得答案即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2. 抛物线C：的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果.
【详解】抛物线C：的标准方程为，
所以其准线方程为
故选：D
3. 在等比数列中，若，则（）
A. 6B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列性质直接求解即可.
【详解】因为，所以（负值舍去），
所以.
故选：A
4. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.
【详解】由题意得，设该抛物线的方程为，
则，得，所以该抛物线的焦点为.
故选：C
5. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，根据椭圆定义可得，结合计算即可求解.
【详解】因为的最大值为3，所以．
因为，所以，即，所以，．
又，所以，所以椭圆的标准方程为
故选：B
6. 设抛物线C：的焦点为F，点P在C上，，若，则（）
A. B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用抛物线的定义求点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得到答案.
【详解】由题意可知抛物线C：的焦点为，，所以．
设点，因为点P在C上，
所以抛物线的定义可知，即，得，
又，即，则.
.
故选：D.
7. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（）
A. 786B. 240C. 486D. 726
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列前n项和的性质可得，，，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解.
【详解】因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列．
设，因为，，所以6，，成等比数列．
由，解得或（舍去），
所以数列，，…的公比为3．
因为，，，
所以，，
故，.
故选：D
8. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，Q为双曲线C的渐近线上一点，且，，则双曲线C的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到垂直关系，在和计算同一个角的余弦值，得到相等关系，在利用双曲线求得的关系，从而得到渐近线方程.
【详解】由，点到渐近线的距离为，则可知，所以.
在中，．
由，得．
因为，所以，
所以，故双曲线C的渐近线方程为．
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于抛物线，下列说法正确的是（）
A. 抛物线没有离心率
B. 抛物线的离心率为1
C. 若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D. 抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】由抛物线以及它的离心率的定义即可判断ABD；当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，由此可判断C.
【详解】抛物线上的点M到焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫作抛物线的离心率，
所以由抛物线的定义可知抛物线的离心率为1，故A不正确，B正确；
若直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线也只有一个交点，
此时直线与抛物线相交，所以C不正确；
抛物线有且仅有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，所以D正确．
故选：BD.
10. 已知为等差数列，，，则（）
A. 的公差为3B.
C. 数列的前n项和为D. 数列的前50项和为1250
【答案】BCD
【解析】
【分析】由、可计算出的通项公式，得出A、B选项；
数列的前项和可通过裂项相消求和计算；的前50项中前25项为负数，后25项为正数，即可得其和为，结合等差数列前项和公式即可得.
【详解】设的公差为，前项和为，
因为，，
所以，，所以，
所以，
故A不正确，B正确；
因为，
所以，
所以的前n项和为，故C正确；
因为，且当时，，
所以的前50项和为，
故D正确.
故选：BCD.
11. 已知A，B，C是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，直线l为抛物线的准线，AB的中点为，则（）
A. 当时，的最小值为6
B. 当时，直线AB的斜率为1
C. 当A，B，F三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为2
D. 当时，的最小值为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，由抛物线定义得到；B选项，设，，代入抛物方程，相减后得到答案；C选项，点P到直线l的距离，由得到答案；D选项，由抛物线定义得到的最小值为点P到直线l的距离，即.
【详解】A选项，，过点分别作⊥于点，⊥于点，
由抛物线定义得，
当A，B，F三点共线时，有最大值6，故A错误；
B选项，设，，由得，
所以，故B正确；
C选项，当A，B，F三点共线时，点P到直线l距离，
而，所以，故C正确；
D选项，过点作⊥于点，过点作⊥于点，
由抛物线定义，，所以，
故的最小值为点P到直线l的距离，即，
所以，故D正确．
故选：BCD
12. 已知数列满足（m为正整数），，则下列选项正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则m所有可能取值的集合为
C. 若，则
D. 若，k为正整数，则的前k项和为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，依次计算出结果；B选项，从推出m所有可能取值的集合为；C选项，从第5项开始为周期数列，且周期为3，求出；D选项，推出的各项，利用等比数列求和公式求出答案.
详解】A选项，若，则，，，，，，，，故A正确；
B选项，若，则，或7．
当时，，，，或，，；
当时，，，，或，，，
或，，，或，，，
故m所有可能取值的集合为，故B不正确；
C选项，若，则，，，，，，，，…，
所以从第5项开始为周期数列，且周期为3，则，
，故，C正确；
D选项，若，则，，…，，，
所以的前k项和为，故D不正确.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 记为等差数列的前项和，公差为，若，则整数的一个值可以为__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得.
【详解】因为，所以.
所以，故的整数解为.
故答案：（答案不唯一）
14. 经过椭圆C：的左焦点的直线交椭圆C于A，B两点，是椭圆C的右焦点，则的周长为_____________．
【答案】32
【解析】
【分析】根据椭圆性质与椭圆上两定点的概念进行分析.
【详解】因，，
所以的周长为32。.
故答案为：32.
15. 抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为_______．
【答案】13
【解析】
【分析】根据抛物线定义并结合图形从而求解.
【详解】由题意知抛物线的准线为：，
点到直线的距离为，则，
所以．
结合图形可知，当时，最小，
故的最小值为，
故答案为：.
16. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于，两点，则的最小值为_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据表示,两点到直线的距离之和的倍，结合,两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值的倍即可.
【详解】
如图，设AB的中点为M，A，B，M在直线l：
的投影分别为，，．
圆心到直线l：的距离，
所以直线l与圆C相离．易得，
即（当M，C重合时，，当M，P重合时，），
所以点M在以CP为直径的圆上，其圆心为，半径为，
由题意得:
.
因为所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．
（1）求抛物线的方程
（2）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助抛物线焦点弦的性质即可得；
（2）设出点的坐标，借助点差法，结合中点公式即可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
故抛物线C的方程为；
【小问2详解】
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则，两式相减得，
整理得，
因为的中点为，故，
所以，
所以直线的方程为，即.
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：为等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）知，则，结合分组求和法计算即可求解.
【小问1详解】
证明：当时，，所以．
当时，，
所以，
即．
因为，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以，
所以.
19. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解.
（2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解.
【小问1详解】
设圆C：（），
由题意得，解得，
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，由，得，
则．
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34．
故的取值范围为.
20. 已知为等差数列，其前n项和为，，，且也为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】1.
2.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【小问1详解】
设的公差为d．
因为，，为等差数列，
所以，，成等差数列，
则，解得，
故．
【小问2详解】
因为，，
所以．
设的前n项和为，
则
21. 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
（1）若直线AB的斜率为，求．
（2）试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在点或，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值
【解析】
【分析】（1）设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式计算可得答案；
（2）设，，求出，若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，可得答案.
【小问1详解】
设直线AB的方程为，
由，得或，
所以；
【小问2详解】
因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在，
所以直线AP与直线BP的斜率均不为0，
设，，则，，
所以，
由，得，则
，
若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，
化简得，得或，
此时，
故在直线上存在点或，
使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值.
22. 设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）48
【解析】
【分析】（1）由题意设出点的坐标，结合点的坐标满足抛物线方程，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得的值，从而即可得解.
（2）由题意可得，进一步，设出直线方程将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线过定点，再结合韦达定理将的面积表示出来，进一步即可得其最小值.
【小问1详解】
设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
【点睛】关键点睛：第一问的关键是设点不设线，从而减少计算量，第二问的关键是数形结合，首先联立方程与抛物线方程，结合已知得到直线过定点，从而即可顺利求解.