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陕西省咸阳市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题
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这是一份陕西省咸阳市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题：，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
4．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
7．已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7
9．若双曲线
的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
10．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为( )
A.+y2=1B.x2+y2=16
C.y2-x2=8D.x2+y2=8
12．已知椭圆
：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为 ．
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是 .
15．若正实数满足，则的最小值为 .
16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)<0，命题：实数满足．若为真，求实数的取值范围。
18.（本题12分）
19．（本题12分）在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 求二面角的余弦值．
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．
2020-2021学年度第一学期高二年级理科
数学期终试题参考答案
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题：，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】因为命题：，
所以为，，
故选A
2．关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】不等式可化为，有，
故不等式的解集为.
故选B
3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由已知得，即，则，故选A。
4．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得：，是必要条件，
而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。
5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
由，得，
作出直线，即直线，
将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，
由，得，即，
所以的最小值为，
故选D
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
【答案】B
【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，
设大夫得的鹿数为首项，且，公差为，
则，解得，∴，∴簪裹得一鹿，故选B。
7．已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
答案：A
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7
【解析】选D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,
∴P到另一焦点的距离是10-3=7.
9．若双曲线
的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由双曲线性质：，，∴，，故选B。
10．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，焦点到渐近线的距离为，则，则，
∴双曲线方程为，故选B。
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为( )
A.+y2=1B.x2+y2=16
C.y2-x2=8D.x2+y2=8
【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.
【解析】选B.设P(x,y),∴=(-2-x,-y),
=(2-x,-y).由·=12得
x2-4+y2=12即x2+y2=1612．已知椭圆
：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，
整理可得：，∴，，则：，，故选B。
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为 ．
【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．【解答】解：由抛物线方程得：焦点坐标（，0），∴＝，∴m＝2，
故答案为：2
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是 .
【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
即(λ+1,0,2λ)=k(6,0,2),
∴解得k=λ=.
答案:
15．若正实数满足，则的最小值为_____.
【答案】6；
【解析】因为，所以，即，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6
故填6
16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
解析 PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋eq \r((6－3)2＋42)＝15.
答案 15
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)<0，命题：实数满足．若为真，求实数的取值范围。
【解析】由(x-1)(x-3)<0，则：，
由解得．即：．
若为真，则，同时为真，即，解得，
∴实数的取值范围．
18.（本题12分）
19．（本题12分）在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得．
（Ⅱ）因为，所以，
由，所以．
由余弦定理得，
解得或（舍）．
所以△ABC的面积．
20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 求二面角的余弦值．
解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．
设P(x0，y0，z0)，由eq \(SP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(SD,\s\up6(→))，
得(x0，y0，z0－2)＝eq \f(1,3)(0，2，－2)，
∴ x0＝0，y0＝eq \f(2,3)，z0＝eq \f(4,3)，点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)，\f(4,3))).
∴ eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,3)，\f(4,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)．
设直线AB与CP所成的角为α，
则cs α＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1×1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×0＋\f(4,3)×0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2))×1)＝eq \f(3\r(41),41).
(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AC,\s\up6(→))＝x1＋2y1＝0，,m·\(AP,\s\up6(→))＝\f(2,3)y1＋\f(4,3)z1＝0.))
令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(DS,\s\up6(→))＝(0，－2，2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝x2＝0，,n·\(DS,\s\up6(→))＝－2y2＋2z2＝0.))
令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
设二面角APCD的大小为θ，由于cs〈m，n〉＝eq \f(0×4＋1×（－2）＋1×1,\r(2)×\r(21))＝－eq \f(\r(42),42)，
所以由向量m，n的方向，得cs θ＝－cs〈m，n〉＝eq \f(\r(42),42).
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
解 (1)由已知，得c＝eq \r(13)，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.
故椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2eq \r(13)，
故cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
＝eq \f(102＋42－(2\r(13))2,2×10×4)＝eq \f(4,5).
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．【解答】（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．
∴轨迹C的方程为y2＝4x．
（2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝，
∴|P1P2|＝x1+x2+p＝，
以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2，
∴＝
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题：，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
4．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
7．已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7
9．若双曲线
的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
10．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为( )
A.+y2=1B.x2+y2=16
C.y2-x2=8D.x2+y2=8
12．已知椭圆
：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为 ．
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是 .
15．若正实数满足，则的最小值为 .
16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)<0，命题：实数满足．若为真，求实数的取值范围。
18.（本题12分）
19．（本题12分）在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 求二面角的余弦值．
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．
2020-2021学年度第一学期高二年级理科
数学期终试题参考答案
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题：，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】因为命题：，
所以为，，
故选A
2．关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】不等式可化为，有，
故不等式的解集为.
故选B
3．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由已知得，即，则，故选A。
4．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得：，是必要条件，
而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。
5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
由，得，
作出直线，即直线，
将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，
由，得，即，
所以的最小值为，
故选D
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
【答案】B
【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，
设大夫得的鹿数为首项，且，公差为，
则，解得，∴，∴簪裹得一鹿，故选B。
7．已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
答案：A
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7
【解析】选D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,
∴P到另一焦点的距离是10-3=7.
9．若双曲线
的一个焦点为，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由双曲线性质：，，∴，，故选B。
10．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，焦点到渐近线的距离为，则，则，
∴双曲线方程为，故选B。
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为( )
A.+y2=1B.x2+y2=16
C.y2-x2=8D.x2+y2=8
【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.
【解析】选B.设P(x,y),∴=(-2-x,-y),
=(2-x,-y).由·=12得
x2-4+y2=12即x2+y2=1612．已知椭圆
：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，
整理可得：，∴，，则：，，故选B。
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为 ．
【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．【解答】解：由抛物线方程得：焦点坐标（，0），∴＝，∴m＝2，
故答案为：2
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是 .
【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
即(λ+1,0,2λ)=k(6,0,2),
∴解得k=λ=.
答案:
15．若正实数满足，则的最小值为_____.
【答案】6；
【解析】因为，所以，即，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6
故填6
16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
解析 PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋eq \r((6－3)2＋42)＝15.
答案 15
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)<0，命题：实数满足．若为真，求实数的取值范围。
【解析】由(x-1)(x-3)<0，则：，
由解得．即：．
若为真，则，同时为真，即，解得，
∴实数的取值范围．
18.（本题12分）
19．（本题12分）在中，=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得．
（Ⅱ）因为，所以，
由，所以．
由余弦定理得，
解得或（舍）．
所以△ABC的面积．
20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 求二面角的余弦值．
解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．
设P(x0，y0，z0)，由eq \(SP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(SD,\s\up6(→))，
得(x0，y0，z0－2)＝eq \f(1,3)(0，2，－2)，
∴ x0＝0，y0＝eq \f(2,3)，z0＝eq \f(4,3)，点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)，\f(4,3))).
∴ eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,3)，\f(4,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)．
设直线AB与CP所成的角为α，
则cs α＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1×1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×0＋\f(4,3)×0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2))×1)＝eq \f(3\r(41),41).
(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AC,\s\up6(→))＝x1＋2y1＝0，,m·\(AP,\s\up6(→))＝\f(2,3)y1＋\f(4,3)z1＝0.))
令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(DS,\s\up6(→))＝(0，－2，2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝x2＝0，,n·\(DS,\s\up6(→))＝－2y2＋2z2＝0.))
令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
设二面角APCD的大小为θ，由于cs〈m，n〉＝eq \f(0×4＋1×（－2）＋1×1,\r(2)×\r(21))＝－eq \f(\r(42),42)，
所以由向量m，n的方向，得cs θ＝－cs〈m，n〉＝eq \f(\r(42),42).
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
解 (1)由已知，得c＝eq \r(13)，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.
故椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2eq \r(13)，
故cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
＝eq \f(102＋42－(2\r(13))2,2×10×4)＝eq \f(4,5).
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．【解答】（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．
∴轨迹C的方程为y2＝4x．
（2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝，
∴|P1P2|＝x1+x2+p＝，
以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2，
∴＝
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