安徽省宣城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

这是一份安徽省宣城市重点高中2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共11页。

一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.设是实数，且是实数，则（ ）
A．B．C．D．
2.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）
A．，，则B．，，则
C．，，则D．，，则
5.利用数学归纳法证明eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．
A．增加了eq \f(1,2k＋1)这一项 B．增加了eq \f(1,2k＋1)和eq \f(1,2k＋2)两项
C．增加了eq \f(1,2k＋1)和eq \f(1,2k＋2)两项，同时减少了eq \f(1,k)这一项 D．以上都不对
6.在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c B．a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c D.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)c
7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
9．过点引直线与曲线交于，两点，为坐标原点，当值时，直线的斜率等于（ ）.
A．B．C．D．
10．已知抛物线C：y2＝8x的焦为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
11．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点 的轨迹为（ ）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分
12．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．


填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x（万元）与相应的销售额y（万元）的几组对应数据如表所示：
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为_______.
14.为长方形，,为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为_______.
15.在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.
16．在菱形中，，，将△沿折起到△的位置，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为_______.
三、解答题 本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤

17．(本题10分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生人，高三年级共有人，抽取的样本中高二年级有人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：)的频率分布表.
（1）求该校高二学生的总数；
（2）求频率分布表中实数的值
（3）已知日睡眠时间在区间内的名高二学生中，有名女生，名男生，若从中任选人进行面谈，求选中的人恰好为两男一女的概率.
18．(本题10分）已知经过圆上点的切线方程是.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；
（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，求证：直线AB过定点.

19.(本题12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证：BM⊥AD.；
(2)求直线DC与平面DAB所成角的正弦值.
20．(本题13分）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值.
21.(本题12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，DE＝2eq \r(2)，DE>BF，∠ABC＝120°.
(1)当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF?
(2)在(1)的条件下，求二面角E－AC－F的余弦值.
22．(本题13分）已知动点C是椭圆Ω：上的任意一点，AB是圆G：的一条直径(A，B是端点)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最大值是eq \f(31,4).
(1)求椭圆Ω的方程；
(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆Ω于P，Q两点. 在线段上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
选择题
BAADC CCDAB BA
填空题
9 ， 14 ，15. 5， 16
16.由题意可得如下示意图，设交于，则，即
所以为二面角的平面角，即，
又，所以平面，过作于，，所以平面，
若分别是面的外接圆圆心、三棱锥的外接球的球心，
则平面，所以，
所以必共面且该面为球体的最大截面，
连接，有为外接球半径，
为面的外接圆半径，若设 则：，，
∵菱形中，，，
∴，，，
且，，，，∴，
即，解得，∴，
所以三棱锥的外接球的表面积，
17.解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为人. 由题意，解得，
，
.
（2）记“选中的人恰好为两男一女”为事件，记名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选人有以下情况： ；；；；；；；；；，共种情况，基本事件共有个，它们是等可能的，
事件包含的基本事件有个，分别为：；；；；；，
故，所以选中的人恰好为两男一女的概率为.
18.（1）类比上述性质知：切线方程为.
（2）①设切点为，点，
由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：，
通过点，∴有， ∴A，B满足方程：，
∴直线AB恒过点：，即直线AB恒过点.
19（1）略（2）
20（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则，
故为定值.
21解 (1)连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.
取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.
∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.
∴OG，AC，BD两两垂直.
以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设BF＝m(0由题意，易求A(eq \r(3)，0，0)，C(－eq \r(3)，0，0)，E(0，－1，2eq \r(2))，F(0，1，m).则eq \(AE,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，－1，2eq \r(2))，eq \(AF,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，1，m)，eq \(CE,\s\up8(→))＝(eq \r(3)，－1，2eq \r(2))，eq \(CF,\s\up8(→))＝(eq \r(3)，1，m)，
设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(AE,\s\up8(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up8(→))＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(3)x1－y1＋2\r(2)z1＝0，,－\r(3)x1＋y1＋mz1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z1＝\f(2\r(3),m＋2\r(2))x1，,y1＝\f(2\r(6)－\r(3)m,m＋2\r(2))x1.))
取x1＝m＋2eq \r(2)，得n1＝(m＋2eq \r(2)，2eq \r(6)－eq \r(3)m，2eq \r(3)).
同理可求n2＝(m＋2eq \r(2)，eq \r(3)m－2eq \r(6)，－2eq \r(3)).
若平面AEF⊥平面CEF，则n1·n2＝0，
∴(m＋2eq \r(2))2＋(eq \r(3)m－2eq \r(6))(2eq \r(6)－eq \r(3)m)－12＝0，
解得m＝eq \r(2)或m＝7eq \r(2)(舍)，
故当BF长为eq \r(2)时，平面AEF⊥平面CEF.
(2)当m＝eq \r(2)时，eq \(AE,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，－1，2eq \r(2))，eq \(AC,\s\up8(→))＝(－2eq \r(3)，0，0)，eq \(EF,\s\up8(→))＝(0，2，－eq \r(2))，eq \(AF,\s\up8(→))＝(－eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(CF,\s\up8(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，
则eq \(EF,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝0，eq \(EF,\s\up8(→))·eq \(CF,\s\up8(→))＝0，所以EF⊥AF，EF⊥CF，且AF∩CF＝F，所以EF⊥平面AFC，
所以平面AFC的一个法向量为eq \(EF,\s\up8(→))＝(0，2，－eq \r(2)).
设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up8(→))＝0，,n·\(AC,\s\up8(→))＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(3)x－y＋2\r(2)z＝0，,x＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)z，,x＝0.))令z＝eq \r(2)，n＝(0，4，eq \r(2)).
从而cs〈n，eq \(EF,\s\up8(→))〉＝eq \f(n·\(EF,\s\up8(→)),|n|·|\(EF,\s\up8(→))|)＝eq \f(6,6\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
故所求的二面角E－AC－F的余弦值为eq \f(\r(3),3).
22.解 (1)设点C的坐标为(x，y)，则eq \f(x2,a)＋y2＝1，
连接CG，由eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(GA,\s\up6(→))，又G(0,2)，
可得eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))2－eq \(GA,\s\up6(→))2＝x2＋(y－2)2－eq \f(9,4)＝a(1－y2)＋(y－2)2－eq \f(9,4)＝－(a－1)y2－4y＋a＋eq \f(7,4)，其中y∈[－1,1]．
因为a>1，故当y＝eq \f(4,21－a)≤－1，即1取y＝－1，得eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))有最大值－(a－1)＋4＋a＋eq \f(7,4)＝eq \f(27,4)，与条件矛盾；
当y＝eq \f(4,21－a)>－1，即a>3时，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最大值是eq \f(41－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(7,4)))－16,41－a)，
由条件得eq \f(41－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(7,4)))－16,41－a)＝eq \f(31,4)，即a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a＝2(舍去)．
综上所述，椭圆Ω的方程是eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点坐标为(x0，y0)，
则满足eq \f(x\\al(2,1),5)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),5)＋yeq \\al(2,2)＝1，两式相减，整理得eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(x2＋x1,5y2＋y1)＝－eq \f(x0,5y0)，从而直线PQ的方程为y－y0＝－eq \f(x0,5y0)(x－x0)，又右焦点F2的坐标是(2,0)，
将点F2的坐标代入PQ的方程得－y0＝－eq \f(x0,5y0)(2－x0)，
因为直线l与x轴不垂直，故2x0－xeq \\al(2,0)＝5yeq \\al(2,0)>0，从而0假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0x
1
2
3
4
y
3
5
6
a
分组
频数
频率
合计