苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第27讲 一次函数与二元一次方程（学生版+教师版）

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知识点01 一次函数与二元一次方程
一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.
【即学即练1】在平面直角坐标系中，以方程2x﹣3y＝6的解为坐标的点组成的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将方程转换成，找出直线与坐标轴的交点，即可确定以方程的解为坐标的点组成的图象．
【详解】解：由可得，
，
当时，，
∴直线与y轴的交点为；
当时，，
∴直线与x轴的交点为．
故选：B．
知识点02 一次函数与二元一次方程组
在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
【微点拨】
1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
【即学即练2】如图所示，在直角坐标系中的两条直线分别是和，那么方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线的交点，即为二元一次方程组的解即可得到答案．
【详解】解：∵，在直角坐标系中的两条直线分别是和，且它们的交点为（2，-1），
∴方程组的解是，
故选A．
知识点03 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【即学即练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，如果将关于x，y的二元一次方程的一个解，看做一个点的坐标，其中x的值为横坐标，y的值为纵坐标，那么根据一个二元一次方程的所有解，可以在平面直角坐标系中画出一条直线．有一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（ ）．
A．MB．NC．ED．F
【答案】C
【分析】由题意知，二元一次方程组的解为一次函数表示的两直线的交点坐标的横、纵坐标，观察图象，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，二元一次方程组的解为一次函数表示的两直线的交点坐标的横、纵坐标，
∴由图象可知，点即为二元一次方程组的解
故选C．
考法01 两直线的交点与二元一次方程的解
二元一次方程组的解与点的坐标的关系
（1）二元一次方程组的解（x，y）在直角坐标系中对应的点都在一条直线上；这条直线上的点的坐标确定的数对都是该方程组的解.
（2）二元一次方程组的两个方程所对应的两直线相交，两直线相交有唯一交点，且交点坐标适合两个方程，所以此方程组有唯一解；若两直线平行，则方程组无解；若两直线重合，则方程组有无数解.反之，利用方程组解的情况，可以推断方程所对应直线的交点的个数.
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点A（，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把点A代入直线求出b，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】∵直线l1：与直线l2：交于点A（，b），
∴，
∴，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为；
故选：B．
考法02 求直线围成的图形面积
1、利用数形结合思想画出图像，求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解
2、正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积相等的两部分，求此正比例函数的解析式.
3、变式：正比例函数y=kx图像将一次函数y=2x-4图像与两坐标轴围成的三角形分成了面积为1:2的两部分，求此正比例函数的解析式.
【典例2】如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（ ）
A．B．C．75D．15
【答案】A
【分析】先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可
【详解】两条直线和相交于点，
解得
，
令，解得
由，令，解得，
故选A
题组A 基础过关练
1．在平面直角坐标系中，一次函数和图象交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立两个函数解析式，组成方程组求解即可．
【详解】由题意得
解得
则交点坐标为(2，3)故选D．
2．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．
【详解】解：方程组的解为，
直线与直线的交点坐标为，
故选：D．
3．函数y＝ax＋b与函数y＝cx＋d的图象是两条相交直线，则二元一次方程组有（ ）解．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．据此即可得答案．
【详解】函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条相交直线，
∴只有一个交点，
∴二元一次方程组有唯一解，即1个解，
故选：B．
4．如图，直线与相交于点(2，－1)，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意直接利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行分析解决问题．
【详解】解：∵一次函数和相交于点（2，-1），
∴关于x、y的方程组的解为．
故选：C．
5．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则由图象可知关于x的方程kx＋b＝0的解为____．
【答案】x＝﹣3
【分析】关于x的方程kx + b =0的解其实就是求当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．
【详解】解：从图象上可知则关于x的方程kx+b＝0的解为的解是：x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解是______．
【答案】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
7．已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与两点.
（1）求这个一次函数解析式；
（2）若此一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积.
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）根据一次函数的图象经过（3，2）与（-1，-6）两点，可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以求得点A和点B的坐标，从而可以求得△AOB的面积．
【详解】解：（1）设这个一次函数解析式为（）
∵的图象过点与
∴
解这个方程组得
∴这个一次函数解析式为；
（2）令，则
∴点坐标为
令，则
∴点坐标为
∴．
故答案为（1）；（2）4．
题组B 能力提升练
1．如图，已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．
【详解】解：当直线过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，
当直线过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，
当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），
∵直线与线段有公共点，
∴0≤k≤2，
故选：D．
2．如果直线与交点坐标是（a，b），则是下面哪个方程组的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】两直线的交点为两直线的解析式所组成的二元一次方程组的解，由此即可得．
【详解】解：由题意，是方程组的解，
这个方程组可变形为，
故选：D．
3．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：y=x-1的交点坐标为（ ）
A．（4，1）B．（1，-4）C．（-1，-4）D．（-4，1）
【答案】D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=x-1的交点坐标为（-4，1）．
故选：D．
4．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），
∴方程组的解是，
故选：B．
5．若直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为______．
【答案】(3，5)
【分析】观察直线的解析式，得到直线l1与直线l2分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到直线l3与直线l4，故直线l3与直线l4的交点坐标为点(-1， 2)向右平移4个单位，再向上平移3个单位对应的点的坐标．
【详解】解：直线l1： y= kx +b(k≠0)与直线l2：y= 8x+t(s≠0)分别向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到
直线l3：y=k(x-4)+b+ 3(k≠0)与直线l4：y=s(x-4)+t+3(s≠0)，
∵直线l1： y= kx+ b(k≠0)与直线l2：y= sx+ t(s≠0)的交点坐标为(-1，2)，
∴直线l3： y=k(x-4)+b+3(k≠0)与直线l4： y= s(x-4)+t+ 3(s≠0)的交点坐标为(-1 +4，2+3)，即(3， 5)，
故答案为(3， 5)．
6．如图，一次函数与交于点A，则方程组的解是______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
【详解】解：∵一次函数与交于点A（2，−1），
∴方程组的解是，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：ymx2与直线l2：yxn相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是_________．
【答案】
【分析】直接利用一次函数与二元一次方程组之间的关系求解即可．
【详解】解：由图象观察可知，点P，
∴该二元一次方程组的解是，
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论中：
①a＜b；
②当0＜x＜1时，y1＜y2＜0；
③关于x，y的方程组的解是；
所有正确结论的序号是 _____．
【答案】①③
【分析】根据一次函数的基本性质及二元一次方程组与一次函数交点的关系依次判断即可得．
【详解】解：根据图像可得：y1和y2都经过（1，-3），
分别代入y1和y2的解析式可得，a=-2,b=1,
由图可得a当0∴y2由二元一次方程组与一次函数的关系可得，交点即为方程组的解，
交点为(1,-3)，
∴方程组的解为，
故③正确；
故答案为：①③．
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18．
(1)求一次函数的解析式；
(2)点C在直线上，且，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)（12，18）或（-12，-6）
【分析】（1）先求出点A（-b，0），b（0，b），可得OB=b，OA=b，再由的面积为18，可得b的值，即可求解；
（2）根据题意可得，然后设点C的横坐标为m，可得，即可求解．
【详解】(1)解：令x=0，则y=b，令y=0则x=-b，
∴点A（-b，0），b（0，b），
∵b＞0，
∴OB=b，OA=b，
∵的面积为18，
∴，
解得：b=6或-6（舍去），
∴一次函数的解析式为；
(2)解：∵，
∴，
设点C的横坐标为m，
∴，即，
解得：，
∵点C在直线上，
当时，；
当时，；
∴点C的坐标为（12，18）或（-12，-6）．
10．设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：
(1)求过点P（1，4）且与已知直线y＝﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
(2)设（1）中的直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝﹣2x﹣1分别与x轴、y轴交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)y＝﹣2x+6，见解析；(2)
【分析】（1）根据直线l与直线平行，设直线l的解析式为，再将点代入即可求解；
（2）根据直线与直线的解析式，求出点A、B、C、D的坐标，再利用即可求解．
【详解】(1)解：∵直线l与直线平行
∴设直线l的解析式为
∵过点
∴
解得：
∴直线l的解析式为：
(2)如图，
令，得，
令，得
∴C点的坐标为，
D点的坐标为，
令，得，
令，得，
∴点A的坐标，
点B的坐标为
∴AC=OA+OC=3+=
∴
．
题组C 培优拔尖练
1．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可．
【详解】解：根据题意，可得方程组，
根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，
故选：A．
2．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，求点的坐标（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方法一：先分别求出，，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点作轴于点，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点的纵坐标，由此即可得；方法二：先根据垂线段最短可知，当时，线段最短，再设直线的解析式为，将点的坐标代入可得直线的解析式，与直线联立，解方程组即可得．
【详解】解：方法一：对于直线，
当时，，解得，即，
当时，，即，
是等腰直角三角形，
，
由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短，
则是等腰直角三角形，
过点作轴于点，
点是的中点（等腰三角形的三线合一），
点的坐标为，即为，
点的横坐标为，
将代入直线得：，
则点的坐标为，
故选：A．
方法二：由垂线段最短可知，当时，线段最短，
则可设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
故选：A．
3．甲、乙是由两组一模一样的三个圆柱组合而成的容器，现匀速地向两容器注水至满，在注水过程中，甲、乙两容器水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则实线对应的容器的形状和A点的坐标分别是（ ）
A．甲，（，3）B．甲，（， ）C．乙，（，3）D．乙，（，）
【答案】B
【分析】首先分别求得各圆柱体的高度，可得出点B、C、D、E的坐标，再分别求得直线BE、CD的解析式，即可求得点A的坐标．
【详解】解：由甲、乙组合容器及图象可知：甲容器刚开始注水的高度比乙容器里的水的高度高
故实线对应的容器的形状是甲
由图象可知：注满小圆柱体的时间为10-9=1，注满中型圆柱体的时间为3，注满大圆柱体的时间为9-3=6，小圆柱体的高度为6-4=2，中型圆柱体的高度为2，大圆柱体的高度为4-2=2
如图：
B(3,2)，C(6,2)，D(7,4)，E(9,4)设BE所在直线的解析式为h=at+b
把B、E的坐标分别代入解析式，得

解得
故BE所在直线的解析式为
设CD所在直线的解析式为h=mt+n
把C、D的坐标分别代入解析式，得

解得
故CD所在直线的解析式为

解得
故点A的坐标为
故选：B
4．如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边，以AO为一边向左作等边，连接DC交直线l于点E．则点E的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意求出C和D点坐标，求出直线CD的解析式，再与直线AB解析式联立方程组即可求出交点E的坐标．
【详解】解：令直线中，得到，故，
令直线中，得到，故，
由勾股定理可知：，
∵，且，
∴，，
过C点作CH⊥x轴于H点，过D点作DF⊥x轴于F，如下图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，代入和，
得到：，解得，
∴CD的解析式为：，
与直线联立方程组，
解得，故E点坐标为，
故选：C．
5．如图，已知点，，点P在直线y＝x上运动，则当的值最大时，则点P的坐标为______．
【答案】（−3，−3）
【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【详解】解：作A关于直线y＝x对称点C，
∴OC＝OA，
∵A（1，0），
∴C的坐标为（0，1）；
连接CB并延长，交直线y＝x于P点，此时|PA−PB|＝|PC−PB|＝BC，取得最大值，
设直线BC的解析式为y＝kx＋，
把C（0，1）、代入得，
解得，
∴直线BC的方程为y＝x＋1，
联立，
解得：；
∴P点的坐标为（−3，−3）；
故答案为（−3，−3）．
6．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______．
【答案】−4或．
【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．
【详解】解：如图，连接OP，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A(，0)，B(0，1)，AB==2，
∴S△ABP=S△ABC=2，
又S△ABP=S△OPB+S△OAB−S△AOP，
∴|a|×1+×1−=4，
解得a=−4或，
故答案为−4或．
7．如图，直线经过，两点，直线；
①若，则的值为______；
②当时，总有，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】①求出直线的解析式，再由可得；②先求出，时的值，根据图像可得减小至两直线平行时满足题意．
【详解】解：①∵直线经过，两点
∴
解得：
∴：
∵
∴
②当时，
∴直线过点
将点代入直线中得：
∵直线经过定点
∴当直线绕着点顺时针旋转至两直线平行时满足题意
∴
故答案为：；．
8．如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点，且两函数图像相交于点E．
(1)求一次函数的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)坐标轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组，求出点E的坐标，根据三角形面积公式求解即可得到答案；
（3）由（2）知的面积为，得，再根据点P在x轴和y轴上分类讨论求解即可．
【详解】(1)设，将，代入得
，
解得，
∴；
(2)过点E作EF垂直y轴于点F
∵，
解得，
∴点E的坐标为，
∴点F的坐标为，
当时，，，
∴点B的坐标为，
∴OB=4
∵D（0，1）
∴OD=1
∴，
∴
(3)存在
由（2）知的面积为，
∴，
当点P在x轴上时，设P（a，0），则有
或
解得，或-5
∴P的坐标为或
当点P在y轴上时，设点P（0，m）
同理可得或-5
∴P的坐标为或．
综上，点P的坐标为或或或．
9．已知：如图，直线：分别交x，y轴于A、B两点．以线段为直角边在第一象限内作等腰直角；直线经过点C与点，且与直线在x轴下方相交于点E．
(1)请求出直线的函数关系式；
(2)求出的面积；
(3)在直线上不同于点E，是否存在一点P，使得与面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
【答案】(1)；(2)；(3)P点坐标为
【分析】（1）先利用几何关系求出点C的坐标，因为直线经过点C与点，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）联立与的解析式，求出点E的坐标，根据求出面积即可；
（3）设直线上点P坐标为，因为△ADP与△ADE等底，所以当△ADP与△ADE面积相等时，，求出x的值，即可写出点P的坐标．
【详解】(1)解：（1）在y=-x+4中，
令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=3，
∴A（3，0），
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠BOA=∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠CAM+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BOA≌△AMC（AAS），
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=7，
∴C点坐标为（7，3），
设直线l2的函数关系式为y=kx+b，
将D（4，0），C（7，3）代入，
得：，解得：，
∴直线l2的函数关系式为；
(2)解：联立方程组
，解得：，
∴E点坐标为，
∴，
即△ADE的面积为；
(3)解：设直线l2上点P坐标为，
∵△ADP与△ADE等底，
∴当△ADP与△ADE面积相等时，，解得：，
∴P点坐标为；
10．若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且点的横坐标为．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)直接写出方程组的解；
(3)在一次函数的图象上是否存在点，使的面积为9，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=2x+6
(2)的解为
(3)存在，点坐标为(1,8)或(-5,-4)
【分析】（1）先求出A点的纵坐标，把A点的坐标代入y=2x+m，求出m即可；
（2）根据方程组的特点和A点的坐标得出答案即可；
（3）设直线y=2x+6与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，6），D（-3，0），求出△AOC和△AOD的面积，分为两种情况：①当B点在第一象限时，则S△BOC=3，②当B点在第三象限时，则S△BOD=6，根据三角形的面积求出B点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．
【详解】(1)解：将x=-2代入y=-x，得y=2，
则点A坐标为（-2，2），
将A（-2，2）代入y=2x+m，得2×(-2)+m=2，
解得：m=6，
所以一次函数的解析式为y=2x+6；
(2)解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点(-2,2)∴方程组的解为，
∴方程组的解为；
(3)解：设直线y=x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，
C(0,6)，D(-3,0)，
∵A(-2,2)，
∴S△AOC＝，
S△AOD＝，
当B点在第一象限时，则S△BOC= S△AOB- S△AOC＝9-6=3，
设B的横坐标为P，
∴S△BOC＝，
解得：P=1，
即点B的横坐标是1，
把x=1代入y=2x+6得：y=8，
∴B(1,8)；
②当B点在第三象限时，则S△BOD= S△AOB- S△AOD =9-3=6，
设B的纵坐标为n，
∴S△BOD＝，
解得：n=-4，
即点B的纵坐标是-4，
把y=-4代入y=2x+6得：x=-5，
∴B(-5,-4)，
综上，点B的坐标为(1,8)或(-5,-4)．
课程标准
课标解读
1. 能用函数观点看二元一次方程，能用辨证的观点认识一次函数与二元一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
1、知道二元一次方程（组）与一次函数关系.
2、能根据一次函数图像求二元一次方程组近似解
3、方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力